v matematika, multinomická věta popisuje, jak rozšířit a Napájení součtu z hlediska pravomocí výrazů v této součtu. Jedná se o zobecnění binomická věta od binomií po multinomály.
Teorém
Pro jakékoli kladné celé číslo m a jakékoli nezáporné celé číslo n, multinomiální vzorec nám říká, jak součet s m podmínky se rozšíří, když se zvýší na libovolnou moc n:

kde

je multinomický koeficient. Součet je převzat za všechny kombinace nezáporné celé číslo indexy k1 přes km tak, že součet všech ki je n. To znamená, že pro každý člen v expanzi jsou exponenty Xi musí přidat až n. Stejně jako u binomická věta, množství formuláře X0 které se objevují, jsou rovny 1 (i když X se rovná nule).
V případě m = 2, toto tvrzení se redukuje na binomickou větu.
Příklad
Třetí síla trinomia A + b + C darováno

To lze vypočítat ručně pomocí distribuční vlastnosti násobení nad sčítáním, ale lze to provést (snad snadněji) pomocí multinomické věty, která nám dává jednoduchý vzorec pro jakýkoli koeficient, který bychom mohli chtít. Je možné „odečíst“ multinomiální koeficienty z výrazů pomocí vzorce multinomiálního koeficientu. Například:
má koeficient 
má koeficient 
Alternativní výraz
Výrok věty lze napsat výstižně pomocí multiindices:

kde

a

Důkaz
Tento důkaz multinomické věty používá binomická věta a indukce na m.
Nejprve pro m = 1, obě strany stejné X1n protože existuje pouze jeden termín k1 = n v součtu. Pro indukční krok předpokládejme, že platí multinomální věta m. Pak
![{ displaystyle { begin {aligned} & (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {m} + x_ {m + 1}) ^ {n} = (x_ {1} + x_ {2 } + cdots + (x_ {m} + x_ {m + 1})) ^ {n} [6pt] = {} & sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m-1} + K = n} {n zvolte k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m-1}, K} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2 } ^ {k_ {2}} cdots x_ {m-1} ^ {k_ {m-1}} (x_ {m} + x_ {m + 1}) ^ {K} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adc5f8add6e0ee01e9fc422b22e5d75ac722cc7)
indukční hypotézou. Aplikování binomické věty na poslední faktor,


který dokončí indukci. Následuje poslední krok, protože

jak lze snadno vidět napsáním tří koeficientů pomocí faktoriálů takto:

Multinomiální koeficienty
Čísla

objevující se ve větě jsou multinomiální koeficienty. Mohou být vyjádřeny mnoha způsoby, včetně jako produkt binomické koeficienty nebo faktoriály:

Součet všech multinomálních koeficientů
Nahrazení Xi = 1 pro všechny i do multinomické věty

dává to okamžitě

Počet multinomálních koeficientů
Počet termínů v multinomálním součtu, #n,m, se rovná počtu monomiálů stupně n na proměnné X1, …, Xm:

Počet lze snadno provést pomocí metody hvězdy a pruhy.
Ocenění multinomálních koeficientů
Největší síla prvočísla
který rozděluje multinomiální koeficient lze vypočítat pomocí zobecnění Kummerova věta.
Výklady
Způsoby vkládání předmětů do košů
Multinomiální koeficienty mají přímou kombinatorickou interpretaci jako počet způsobů ukládání n odlišné objekty do m odlišné koše, s k1 objekty v první přihrádce, k2 objekty ve druhém zásobníku atd.[1]
Počet způsobů výběru podle distribuce
v statistická mechanika a kombinatorika má-li jeden počet distribucí značek, pak multinomické koeficienty přirozeně vznikají z binomických koeficientů. Vzhledem k rozdělení čísel {ni} na množině N celkový počet položek, ni představuje počet položek, kterým má být přidělen štítek i. (Ve statistické mechanice i je štítek energetického stavu.)
Počet opatření je zjištěn
- Výběr n1 z celkového počtu N být označen 1. To lze provést
způsoby. - Ze zbývajících N − n1 položky vybrat n2 označit 2. To lze provést
způsoby. - Ze zbývajících N − n1 − n2 položky vybrat n3 označit 3. To je opět možné
způsoby.
Vynásobení počtu možností v každém kroku povede k:

Po zrušení se dostaneme k vzorci uvedenému v úvodu.
Počet jedinečných obměn slov
Multinomiální koeficient je také počet odlišných způsobů, jak obměňovat A multiset z n prvky a ki jsou multiplicity každého z odlišných prvků. Například počet různých permutací písmen slova MISSISSIPPI, které má 1 M, 4 Is, 4 Ss a 2 Ps, je

(Je to jako říct, že existuje 11! Způsobů permutace písmen - běžná interpretace faktoriál jako počet jedinečných permutací. Vytvořili jsme však duplicitní permutace, protože některá písmena jsou stejná a je třeba je rozdělit, abychom opravili naši odpověď.)
Zobecněný Pascalov trojúhelník
K zobecnění lze použít multinomickou větu Pascalův trojúhelník nebo Pascalova pyramida na Pascalův simplex. To poskytuje rychlý způsob, jak vygenerovat vyhledávací tabulku pro multinomiální koeficienty.
Viz také
Reference