Lež algebra - Lie algebra

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence p-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo pn ${displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer p-prsten ${displaystyle mathbb {Z} (p ^ {infty})}$ • Základna -p kruhový prsten ${displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -p celá čísla ${displaystyle mathbb {Z}}$ • p-adic racionální ${displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -p reálná čísla ${displaystyle mathbb {R}}$ • p-adická celá čísla ${displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • p-adická čísla ${displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • p-adický solenoid ${displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v matematika, a Lež algebra (výrazný /liː/ "Lee") je a vektorový prostor ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ společně s úkon volal Lež držák, an střídající se bilineární mapa ${displaystyle {mathfrak {g}} imes {mathfrak {g}} ightarrow {mathfrak {g}}, (x, y) mapsto [x, y]}$, který uspokojuje Jacobi identita.^[A] Vektorový prostor ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ společně s touto operací je a neasociativní algebra, což znamená, že Lieova závorka nemusí být nutně asociativní.

Lie algebry jsou úzce spjaty s Lež skupiny, což jsou skupiny to jsou také hladké potrubí: jakákoli Lieova skupina vede k Lieově algebře, což je její tečný prostor v identitě. Naopak jakékoli konečně-dimenzionální Lieově algebře nad reálnými nebo komplexními čísly existuje odpovídající připojeno Ložní skupina jedinečná až do konečných krytin (Lieova třetí věta ). Tento korespondence umožňuje studovat strukturu a klasifikace Lieových skupin z hlediska Lieových algeber.

Ve fyzice se Lieovy skupiny objevují jako skupiny symetrie fyzických systémů a jejich Lieovy algebry (tečné vektory poblíž identity) lze považovat za nekonečně malé pohyby symetrie. Proto se Lieovy algebry a jejich reprezentace hojně používají ve fyzice, zejména v kvantová mechanika a částicová fyzika.

Elementárním příkladem je prostor trojrozměrných vektorů ${displaystyle {mathfrak {g}} = mathbb {R} ^ {3}}$ s operací závorky definovanou křížový produkt ${displaystyle [x, y] = x imes y.}$ Od té doby je to symetrické šikmo ${displaystyle x imes y = -y imes x}$, a místo asociativity uspokojuje Jacobi identitu:

${displaystyle x imes (y imes z) = (x imes y) imes z + y imes (x imes z).}$

Toto je Lieova algebra skupiny Lie ze skupiny rotace prostoru a každý vektor ${displaystyle vin mathbb {R} ^ {3}}$ může být zobrazen jako nekonečně malá rotace kolem osy proti, s rychlostí rovnou velikosti proti. Ležina závorka je měřítkem nekomutativity mezi dvěma rotacemi: protože rotace dojíždí sama se sebou, máme střídavou vlastnost ${displaystyle [x, x] = x imes x = 0}$.

Dějiny

Lie algebry byly zavedeny ke studiu konceptu nekonečně malé transformace podle Marius Sophus Lie v 70. letech 19. století^[1] a nezávisle objevil Wilhelm Killing^[2] v 80. letech 19. století. Název Lež algebra byl dán Hermann Weyl ve 30. letech; ve starších textech termín nekonečně malá skupina se používá.

Definice

Definice Lieovy algebry

Lie algebra je a vektorový prostor ${displaystyle, {mathfrak {g}}}$ přes některé pole F společně s a binární operace ${displaystyle [, cdot ,, cdot,]: {mathfrak {g}} imes {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$ zavolal Lieovu závorku splňující následující axiomy:^[b]

• Bilinearita,

${displaystyle [ax + by, z] = a [x, z] + b [y, z],}$

${displaystyle [z, ax + by] = a [z, x] + b [z, y]}$

pro všechny skaláry A, b v F a všechny prvky X, y, z v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.

• Alternativita,

${displaystyle [x, x] = 0}$

pro všechny X v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.

• The Jacobi identita,

${displaystyle [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0}$

pro všechny X, y, z v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.

Pomocí bilinearity rozšířit Lieův držák ${displaystyle [x + y, x + y]}$ a použití alternativity to ukazuje ${displaystyle [x, y] + [y, x] = 0}$ pro všechny prvky X, y v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, což ukazuje, že bilinearita a alternativita společně znamenají

• Anticommutativity,

${displaystyle [x, y] = - [y, x],}$

pro všechny prvky X, y v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Pokud je pole charakteristický není 2, pak anticommutativity znamená alternativitu.^[3]

Je obvyklé označovat Lieovu algebru malými písmeny fraktur dopis jako ${displaystyle {mathfrak {g, h, b, n}}}$. Pokud je Lieova algebra spojena s a Lež skupina, pak je algebra označena frakturovou verzí skupiny: například Lieova algebra z SU (n) je ${displaystyle {mathfrak {su}} (n)}$.

Generátory a dimenze

Prvky Lieovy algebry ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ jsou prý generovat pokud je nejmenší subalgebra obsahující tyto prvky ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ sám. The dimenze lže algebry je její rozměr jako vektorový prostor F. Mohutnost minimální generující množiny Lieovy algebry je vždy menší nebo rovna její dimenzi.

Viz klasifikace nízkodimenzionálních skutečných Lieových algeber pro další malé příklady.

Subalgebry, ideály a homomorfismy

Ložní závorka nemusí být asociativní, znamenající, že ${displaystyle [[x, y], z]}$ nemusí se rovnat ${displaystyle [x, [y, z]]}$. Ale je flexibilní. Nicméně, hodně z terminologie asociativní prsteny a algebry se běžně používá pro Lie algebry. A Lež subalgebra je podprostor ${displaystyle {mathfrak {h}} subseteq {mathfrak {g}}}$ který je uzavřen pod Lieovým držákem. An ideál ${displaystyle {mathfrak {i}} subseteq {mathfrak {g}}}$ je subalgebra splňující silnější podmínku:^[4]

${displaystyle [{mathfrak {g}}, {mathfrak {i}}] subseteq {mathfrak {i}}.}$

Lieova algebra homomorfismus je lineární mapa kompatibilní s příslušnými Lieovými závorkami:

${displaystyle phi: {mathfrak {g}} o {mathfrak {g '}}, quad phi ([x, y]) = [phi (x), phi (y)] {ext {for all}} x, yin {mathfrak {g}}.}$

Pokud jde o asociativní prsteny, ideály jsou přesně ty jádra homomorfismů; dostal ležovou algebru ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ a ideální ${displaystyle {mathfrak {i}}}$ v tom jeden vytvoří faktorová algebra nebo kvocientová algebra ${displaystyle {mathfrak {g}} / {mathfrak {i}}}$a první věta o izomorfismu platí pro Lie algebry.

Protože Lieův držák je jakýmsi nekonečně malým komutátor odpovídajících Lieových skupin říkáme, že dva prvky ${displaystyle x, yin {mathfrak {g}}}$ dojíždět pokud jejich držák zmizí: ${displaystyle [x, y] = 0}$.

The centralizátor subalgebra podmnožiny ${displaystyle Ssubset {mathfrak {g}}}$ je sada prvků dojíždějících za S: to znamená, ${displaystyle {mathfrak {z}} _ {mathfrak {g}} (S) = {xin {mathfrak {g}} střední [x, s] = 0 {ext {pro všechny}} hřích S}}$. Centralizátor ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ sám o sobě je centrum ${displaystyle {mathfrak {z}} ({mathfrak {g}})}$. Podobně pro podprostor S, normalizátor subalgebra z S je ${displaystyle {mathfrak {n}} _ {mathfrak {g}} (S) = {xin {mathfrak {g}} uprostřed [x, s] v S {ext {pro všechny}} hřích S}}$.^[5] Ekvivalentně, pokud S je Lieova subalgebra, ${displaystyle {mathfrak {n}} _ {mathfrak {g}} (S)}$ je největší subalgebra taková ${displaystyle S}$ je ideál ${displaystyle {mathfrak {n}} _ {mathfrak {g}} (S)}$.

Příklady

Pro ${displaystyle {mathfrak {d}} (2) podmnožina {mathfrak {gl}} (2)}$, komutátor dvou prvků

${displaystyle {egin {aligned} left [{egin {bmatrix} a & b c & dend {bmatrix}}, {egin {bmatrix} x & 0 0 & yend {bmatrix}} ight] & = {egin {bmatrix} ax & by cx & dy end {bmatrix }} - {egin {bmatrix} ax & bx cy & dy end {bmatrix}} & = {egin {bmatrix} 0 & b (yx) c (xy) & 0end {bmatrix}} konec {zarovnáno}}}$

ukazuje ${displaystyle {mathfrak {d}} (2)}$ je subalgebra, ale není ideální. Ve skutečnosti proto, že každý jednorozměrný sub-vektorový prostor Lieovy algebry má indukovanou abelianskou Lieovu algebru, což obecně není ideální. U jakékoli jednoduché Lieovy algebry nemohou být všechny abelianské Lieovy algebry nikdy ideály.

Přímý součet a polopřímý produkt

Pro dvě Lieovy algebry ${displaystyle {mathfrak {g ^ {}}}}$ a ${displaystyle {mathfrak {g '}}}$, jejich přímý součet Lie algebra je vektorový prostor${displaystyle {mathfrak {g}} oplus {mathfrak {g '}}}$skládající se ze všech párů ${displaystyle {mathfrak {}} (x, x ') ,, xin {mathfrak {g}}, x'in {mathfrak {g'}}}$, s operací

${displaystyle [(x, x '), (y, y')] = ([x, y], [x ', y']),}$

tak, aby kopie ${displaystyle {mathfrak {g}}, {mathfrak {g}} '}$ dojíždět mezi sebou: ${displaystyle [(x, 0), (0, x ')] = 0.}$ Nechat ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ být Lie Algebra a ${displaystyle {mathfrak {i}}}$ ideál ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Pokud je kanonická mapa ${displaystyle {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}} / {mathfrak {i}}}$ rozděluje (tj. připouští část) ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ se říká, že je polopřímý produkt z ${displaystyle {mathfrak {i}}}$ a ${displaystyle {mathfrak {g}} / {mathfrak {i}}}$, ${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {g}} / {mathfrak {i}} ltimes {mathfrak {i}}}$. Viz také polopřímý součet Lieových algeber.

Leviho věta říká, že konečně-dimenzionální Lieova algebra je polopřímým produktem její radikální a doplňkové subalgebry (Levi subalgebra ).

Odvození

A derivace na algebře Lie ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ (nebo na jakémkoli neasociativní algebra ) je lineární mapa ${displaystyle delta colon {mathfrak {g}} ightarrow {mathfrak {g}}}$ který se řídí Leibnizův zákon, to znamená,

${displaystyle delta ([x, y]) = [delta (x), y] + [x, delta (y)]}$

pro všechny ${displaystyle x, yin {mathfrak {g}}}$. The vnitřní derivace spojené s jakýmkoli ${displaystyle xin {mathfrak {g}}}$ je adjointové mapování ${displaystyle mathrm {ad} _ {x}}$ definován ${displaystyle mathrm {ad} _ {x} (y): = [x, y]}$. (Toto je odvození v důsledku Jacobiho identity.) vnější derivace jsou derivace, které nepocházejí z adjunktní reprezentace Lieovy algebry. Li ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je polojednoduchý, každá derivace je vnitřní.

Derivace tvoří vektorový prostor ${displaystyle mathrm {Der} ({mathfrak {g}})}$, což je Lieova subalgebra ${displaystyle {mathfrak {gl}} ({mathfrak {g}})}$; držák je komutátor. Vnitřní derivace tvoří Lieovu subalgebru ${displaystyle mathrm {Der} ({mathfrak {g}})}$.

Příklady

Například vzhledem k lži algebry ideální ${displaystyle {mathfrak {i}} podmnožina {mathfrak {g}}}$ adjunkční reprezentace ${displaystyle {mathfrak {ad}} _ {mathfrak {g}}}$ z ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ působí jako vnější derivace na ${displaystyle {mathfrak {i}}}$ od té doby ${displaystyle [x, i] podmnožina {mathfrak {i}}}$ pro všechny ${displaystyle xin {mathfrak {g}}}$ a ${displaystyle iin {mathfrak {i}}}$. Pro Lieovu algebru ${displaystyle {mathfrak {b}} _ {n}}$ horních trojúhelníkových matic v ${displaystyle {mathfrak {gl}} (n)}$, má ideál ${displaystyle {mathfrak {n}} _ {n}}$ přísně horních trojúhelníkových matic (kde jediné nenulové prvky jsou nad úhlopříčkou matice). Například komutátor prvků v ${displaystyle {mathfrak {b}} _ {3}}$ a ${displaystyle {mathfrak {n}} _ {3}}$ dává

${displaystyle {egin {aligned} left [{egin {bmatrix} a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & fend {bmatrix}}, {egin {bmatrix} 0 & x & y 0 & 0 z 0 & 0 & 0end {bmatrix}} ight] & = {egin {bmatrix}} ight] & = {egin {bmatrix} }ight 0 & 0 & dz 0 & 0 & 0end {bmatrix}} - {egin {bmatrix} 0 & dx & ex-yf 0 & 0 & fz 0 & 0 & 0end {bmatrix}} & = {egin {bmatrix} 0 & (ad) x & (ae) x + (bf) y 0 & 0 & (df ) z 0 & 0 & 0end {bmatrix}} konec {zarovnáno}}}$

ukazuje, že existují vnější derivace z ${displaystyle {mathfrak {b}} _ {3}}$ v ${displaystyle {ext {Der}} ({mathfrak {n}} _ {3})}$.

Split Lie algebra

Nechat PROTI být konečným trojrozměrným vektorovým prostorem nad polem F, ${displaystyle {mathfrak {gl}} (V)}$ Lieova algebra lineárních transformací a ${displaystyle {mathfrak {g}} subseteq {mathfrak {gl}} (V)}$ Lieova subalgebra. Pak ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ se říká, že je rozdělit pokud kořeny charakteristických polynomů všech lineárních transformací v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ jsou v základním poli F.^[6] Obecněji řečeno, konečně-dimenzionální Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ se říká, že je rozdělena, pokud má kartanskou subalgebru, jejíž obraz je pod adjunkční reprezentace ${displaystyle operatorname {ad}: {mathfrak {g}} o {mathfrak {gl}} ({mathfrak {g}})}}$ je rozdělená Lieova algebra. A rozdělit skutečnou podobu komplexní polojednodušé Lieovy algebry (srov. # Skutečná forma a složitost ) je příklad rozdělené skutečné Lieovy algebry. Viz také rozdělit Lieovu algebru pro další informace.

Základ vektorového prostoru

Pro praktické výpočty je často vhodné zvolit explicitní základ vektorového prostoru pro algebru. V článku je načrtnuta společná konstrukce pro tento základ strukturní konstanty.

Definice používající teoreticko-teoretický zápis

Ačkoli výše uvedené definice jsou dostatečné pro konvenční chápání Lieových algeber, jakmile je to pochopeno, lze získat další vhled pomocí zápisu běžného pro teorie kategorií. V této notaci lze Lieovu algebru definovat jako objekt ${displaystyle A}$ v kategorie vektorových prostorů společně s a morfismus ${displaystyle [cdot, cdot]: Aotimes Aightarrow A}$ takhle

${displaystyle [cdot, cdot] circ Delta = 0}$ kde ${displaystyle Delta: Aightarrow Aotimes A}$

je diagonální morfismus. To fakticky uvádí ${displaystyle [X, X] = 0}$. To je doplněno o Jacobi identita, který má podobu

${displaystyle [cdot, cdot] circ ([cdot, cdot] otimes id) circ (id + sigma + sigma ^ {2}) = 0}$

kde σ je cyklická permutace opletení ${displaystyle (idotimes au) circ (au otimes id)}$. Tady ${displaystyle id}$ je morfismus identity a

${displaystyle au: Aotimes Aightarrow Aotimes A}$ brát ${displaystyle au: aotimes bmapsto botimes a}$

se označuje jako zaměnit morfismus. Tato definice může být užitečná v pokročilejších nastaveních, která se obvykle objevují v diskusích o univerzální obklopující algebry a afinní Lieovy algebry.

Příklady

Vektorové prostory

Libovolný vektorový prostor ${displaystyle V}$ obdařen shodně nulovou Lieovou závorkou se stává Lieova algebra. Takové Lie algebry se nazývají abelian srov. níže. Jakákoli jednorozměrná Lieova algebra nad polem je abelianská podle střídavé vlastnosti Lieovy závorky.

Asociativní algebra s držákem komutátoru

• Na asociativní algebra ${displaystyle A}$ přes pole ${displaystyle F}$ s množením ${displaystyle (x, y) mapsto xy}$, Ložní závorka může být definována pomocí komutátor ${displaystyle [x, y] = xy-yx}$. S tímto držákem ${displaystyle A}$ je Lieova algebra.^[7] Asociativní algebra A se nazývá obklopující algebra lži algebry ${displaystyle (A, [, cdot ,, cdot,])}$. Každá Lieova algebra může být vložena do jedné, která tímto způsobem vzniká z asociativní algebry; vidět univerzální obalová algebra.
• Asociativní algebra endomorfismy z F-vektorový prostor ${displaystyle V}$ s výše uvedenou závorkou Lie je označen ${displaystyle {mathfrak {gl}} (V)}$.
• Pro konečný rozměrný vektorový prostor ${displaystyle V = F ^ {n}}$, z předchozího příkladu se stane Lieova algebra n × n matice, označené ${displaystyle {mathfrak {gl}} (n, F)}$ nebo ${displaystyle {mathfrak {gl}} _ {n} (F)}$,^[8] s držákem ${displaystyle [X, Y] = Xcdot Y-Ycdot X}$, kde ${displaystyle cdot}$ označuje násobení matice. Toto je Lieova algebra obecná lineární skupina, skládající se z invertibilních matic.

Speciální matice

Dvě důležité subalgebry ${displaystyle {mathfrak {gl}} _ {n} (F)}$ jsou:

• Matice z stopa nula z speciální lineární Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {sl}} _ {n} (F)}$, Lieova algebra speciální lineární skupina ${displaystyle mathrm {SL} _ {n} (F)}$.^[9]
• The šikmý poustevník matice tvoří jednotnou Lieovu algebru ${displaystyle {mathfrak {u}} (n)}$, Lieova algebra jednotná skupina  U(n).

Matice Lie algebry

Komplex maticová skupina je Lieova skupina skládající se z matic, ${displaystyle Gsubset M_ {n} (mathbb {C})}$, kde násobení G je násobení matic. Odpovídající Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je prostor matic, k nimž jsou vektory tečny G uvnitř lineárního prostoru ${displaystyle M_ {n} (mathbb {C})}$: skládá se z derivátů hladkých křivek v G na totožnosti:

${displaystyle {mathfrak {g}} = {X = c '(0) v M_ {n} (mathbb {C}) uprostřed {ext {smooth}} c: mathbb {R} o G, c (0) = I }.}$

The Lie bracket of ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je dána komutátorem matic, ${displaystyle [X, Y] = XY-YX}$. Vzhledem k Lieově algebře lze obnovit Lieovu skupinu jako obraz exponenciální matice mapování ${displaystyle exp: M_ {n} (mathbb {C}) o M_ {n} (mathbb {C})}$ definován ${displaystyle exp (X) = I + X + {frac {1} {2!}} X ^ {2} + cdots}$, který konverguje pro každou matici ${displaystyle X}$: to znamená, ${displaystyle G = exp ({mathfrak {g}})}$.

Následují příklady Lieových algeber maticových Lieových skupin:^[10]

• The speciální lineární skupina ${displaystyle {m {SL}} _ {n} (mathbb {C})}$, skládající se ze všech n × n matice s determinantem 1. Jeho Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {sl}} _ {n} (mathbb {C})}$skládá se ze všeho n × n matice se složitými záznamy a trasováním 0. Podobně lze definovat odpovídající skutečnou Lieovu skupinu ${displaystyle {m {SL}} _ {n} (mathbb {R})}$ a jeho Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {sl}} _ {n} (mathbb {R})}$.
• The jednotná skupina ${displaystyle U (n)}$ skládá se z n × n unitární matice (uspokojivé ${displaystyle U ^ {*} = U ^ {- 1}}$). Je to Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {u}} (n)}$ sestává ze zkosených samojistných matic (${displaystyle X ^ {*} = - X}$).
• Speciální ortogonální skupina ${displaystyle mathrm {SO} (n)}$, sestávající ze skutečných ortogonálních matic determinant-jedna (${displaystyle A ^ {mathrm {T}} = A ^ {- 1}}$). Je to Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {so}} (n)}$ skládá se ze skutečných symetrických matic zešikmení (${displaystyle X ^ {m {T}} = - X}$). Celá ortogonální skupina ${displaystyle mathrm {O} (n)}$, bez podmínky determinant-jedna, se skládá z ${displaystyle mathrm {SO} (n)}$ a samostatná připojená součást, takže má stejný Lie algebra jako ${displaystyle mathrm {SO} (n)}$. Podobně lze definovat složitou verzi této skupiny a algebry jednoduše povolením složitých maticových záznamů.

Dva rozměry

• Na jakémkoli poli ${displaystyle F}$ existuje, až do izomorfismu, jediná dvourozměrná neaabeliánská Lieova algebra. S generátory x, y, jeho závorka je definována jako ${displaystyle left [x, yight] = y}$. Generuje afinní skupina v jedné dimenzi.

To lze realizovat pomocí matic:

${displaystyle x = left ({egin {array} {cc} 1 & 0 0 & 0end {array}} ight), qquad y = left ({egin {array} {cc} 0 & 1 0 & 0end {array}} ight).}$

Od té doby

${displaystyle left ({egin {array} {cc} 1 & c 0 & 0end {array}} ight) ^ {n + 1} = left ({egin {array} {cc} 1 & c 0 & 0end {array}} ight)}$

pro jakékoli přirozené číslo ${displaystyle n}$ a jakékoli ${displaystyle c}$, jeden vidí, že výsledné Lieovy grupové prvky jsou horní trojúhelníkové matice 2 × 2 s jednotkovou spodní úhlopříčkou:

${displaystyle exp (acdot {} x + bcdot {} y) = left ({egin {array} {cc} e ^ {a} & {frac {b} {a}} (e ^ {a} -1) 0 & 1end {array}} ight) = 1 + {frac {e ^ {a} -1} {a}} vlevo (acdot {} x + bcdot {} yight).}$

Tři rozměry

• The Heisenbergova algebra ${displaystyle {m {H}} _ {3} (mathbb {R})}$ je trojrozměrná Lieova algebra generovaná prvky X, y, a z s Lieovými závorkami

${displaystyle [x, y] = z, kvadrant [x, z] = 0, kvadrant [y, z] = 0}$.

Je realizován jako prostor 3 × 3 striktně matic s horním trojúhelníkem, s držákem komutátoru Lie:

${displaystyle x = left ({egin {array} {ccc} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end {array}} ight), quad y = left ({egin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0end {array}} ight) , quad z = left ({egin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end {array}} ight) ~ .quad}$

Jakýkoli prvek Skupina Heisenberg je tedy reprezentovatelný jako produkt skupinových generátorů, tj. maticové exponenciály z těchto generátorů algebry lži,

${displaystyle left ({egin {array} {ccc} 1 & a & c 0 & 1 & b 0 & 0 & 1end {array}} ight) = e ^ {by} e ^ {cz} e ^ {ax} ~.}$

• Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {so}} (3)}$ skupiny SO (3) je překlenuta třemi maticemi^[11]

${displaystyle F_ {1} = left ({egin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0end {array}} ight), quad F_ {2} = left ({egin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0end {array}} ight), quad F_ {3} = left ({egin {array} {ccc} 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0end {array}} ight) ~ .quad}$

Komutační vztahy mezi těmito generátory jsou

${displaystyle [F_ {1}, F_ {2}] = F_ {3},}$

${displaystyle [F_ {2}, F_ {3}] = F_ {1},}$

${displaystyle [F_ {3}, F_ {1}] = F_ {2}.}$

Trojrozměrný Euklidovský prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ s Lieovým držákem daným křížový produkt z vektory má stejné komutační vztahy jako výše: je tedy izomorfní s ${displaystyle {mathfrak {so}} (3)}$. Tato Lieova algebra je jednotně ekvivalentní obvyklé Spin (fyzika) operátory složek momentu hybnosti pro částice spin-1 dovnitř kvantová mechanika.

Nekonečné rozměry

• Vzniká důležitá třída nekonečně dimenzionálních skutečných Lieových algeber diferenciální topologie. Prostor hladký vektorová pole na diferencovatelné potrubí M tvoří Lieovu algebru, kde je Lieova závorka definována jako komutátor vektorových polí. Jedním ze způsobů, jak vyjádřit Lieovu skupinu, je formalizmus Lživé deriváty, který identifikuje vektorové pole X s operátorem částečného diferenciálu prvního řádu L_X působí na hladké funkce tím, že nechá L_X(F) být směrový derivát funkce F ve směru X. Ložní závorka [X,Y] dvou vektorových polí je vektorové pole definované prostřednictvím jeho působení na funkce vzorcem:

${displaystyle L _ {[X, Y]} f = L_ {X} (L_ {Y} f) -L_ {Y} (L_ {X} f).,}$

• Kac – Moodyho algebry jsou velkou třídou nekonečně-rozměrných Lieových algeber, jejichž struktura je velmi podobná výše uvedeným případům konečných rozměrů.
• The Moyal algebra je nekonečně trojrozměrná Lieova algebra, která obsahuje vše klasické Lieovy algebry jako subalgebry.
• The Virasoro algebra má prvořadý význam v teorie strun.

Zastoupení

Definice

Vzhledem k tomu, vektorový prostor PROTI, nechť ${displaystyle {mathfrak {gl}} (V)}$ označit Lieovu algebru skládající se ze všech lineárních endomorfismy z PROTI, s držákem daným ${displaystyle [X, Y] = XY-YX}$. A zastoupení lže algebry ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ na PROTI je homomorfismus lži algebry

${displaystyle pi: {mathfrak {g}} o {mathfrak {gl}} (V).}$

Reprezentace se říká, že je věřící pokud je jeho jádro nulové. Adova věta^[12] uvádí, že každá konečně-dimenzionální Lieova algebra má věrné zastoupení na konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru.

Sdružené zastoupení

Pro jakoukoli Lieovu algebru ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, můžeme definovat reprezentaci

${displaystyle operatorname {ad} dvojtečka {mathfrak {g}} o {mathfrak {gl}} ({mathfrak {g}})}$

dána ${displaystyle operatorname {ad} (x) (y) = [x, y]}$; jedná se o reprezentaci ve vektorovém prostoru ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ volal adjunkční reprezentace.

Cíle teorie reprezentace

Jedním důležitým aspektem studia Lieových algeber (zejména polojednodušých Lieových algeber) je studium jejich reprezentací. (Většina knih uvedených v části s odkazy věnuje teorii reprezentace podstatnou část svých stránek.) Ačkoliv je Adova věta důležitým výsledkem, primárním cílem teorie reprezentace není najít věrné zastoupení dané Lieovy algebry. ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. V polojediném případě je adjunktní zobrazení skutečně věrné. Cílem je spíše porozumět Všechno možné zastoupení ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, až do přirozeného pojmu ekvivalence. V polojediném případě nad polem charakteristické nuly, Weylova věta^[13] říká, že každá konečně-dimenzionální reprezentace je přímým součtem neredukovatelných reprezentací (těch bez netriviálních invariantních podprostorů). Neredukovatelné reprezentace jsou zase klasifikovány a věta o nejvyšší hmotnosti.

Teorie reprezentace ve fyzice

Teorie reprezentace Lieových algeber hraje důležitou roli v různých částech teoretické fyziky. Tam se uvažuje o operátorech v prostoru států, které uspokojují určité přirozené komutační vztahy. Tyto komutační vztahy obvykle pocházejí ze symetrie problému - konkrétně se jedná o vztahy Lieovy algebry příslušné skupiny symetrie. Příkladem může být operátory momentu hybnosti, jejichž komutační vztahy jsou vztahy Lieovy algebry ${displaystyle {mathfrak {so}} (3)}$ z rotační skupina SO (3). Prostor států obvykle není daleko od toho, aby byl podle příslušných operátorů neredukovatelný, ale člověk se ho může pokusit rozložit na neredukovatelné části. Přitom je třeba znát neredukovatelné reprezentace dané Lieovy algebry. Při studiu kvanta atom vodíku například učebnice kvantové mechaniky dávají (aniž by se tomu říkalo) klasifikaci neredukovatelných reprezentací Lieovy algebry ${displaystyle {mathfrak {so}} (3)}$.

Teorie struktury a klasifikace

Algebry lži lze do určité míry klasifikovat. To platí zejména pro klasifikaci Lieových skupin.

Abelian, nilpotentní a řešitelný

Analogicky k abelianským, nilpotentním a řešitelným skupinám, definovaným z hlediska odvozených podskupin, lze definovat abelianské, nilpotentní a řešitelné Lieovy algebry.

Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je abelian pokud držák Lie zmizí, tj. [X,y] = 0, pro všechny X a y v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Abelian Lieovy algebry odpovídají komutativním (nebo abelian ) propojené Lieovy skupiny, jako jsou vektorové prostory ${displaystyle mathbb {K} ^ {n}}$ nebo Tori ${displaystyle mathbb {T} ^ {n}}$, a jsou všechny formy ${displaystyle {mathfrak {k}} ^ {n},}$ což znamená n-dimenzionální vektorový prostor s triviální ležkovou závorkou.

Obecnější třída Lieových algeber je definována zmizením všech komutátorů dané délky. Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je nilpotentní pokud spodní centrální série

${displaystyle {mathfrak {g}}> [{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}]>> [[{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}], {mathfrak {g}}]> [[[{{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}], {mathfrak {g}}], {mathfrak {g}}]> cdots}$

nakonec se stane nulou. Podle Engelova věta, Lieova algebra je nilpotentní právě tehdy, když pro každou u v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ the adjungovaný endomorfismus

${displaystyle operatorname {ad} (u): {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}, quad operatorname {ad} (u) v = [u, v]}$

je nilpotentní.

Obecněji řečeno, Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ se říká, že je řešitelný pokud odvozené řady:

${displaystyle {mathfrak {g}}> [{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}]> [[{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}], [{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}]]> [[[{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}], [{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}]]], [[{mathfrak {g }}, {mathfrak {g}}], [{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}]]]]> cdots}$

nakonec se stane nulou.

Každá konečně-dimenzionální Lieova algebra má jedinečný maximální řešitelný ideál, který se nazývá jeho radikální. Pod Lieovou korespondencí odpovídají nilpotentní (respektive řešitelné) spojené Lieovy skupiny nilpotentní (respektive řešitelné) Lieovy algebry.

Jednoduché a polojednoduché

Lže algebra je „jednoduchý „Pokud nemá netriviální ideály a není abelian. (To znamená, že jednorozměrná - nutně abelianská - lže algebra není ze své podstaty jednoduchá, i když nemá žádné netriviální ideály.) Lže algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je nazýván polojednoduchý pokud je izomorfní s přímým součtem jednoduchých algeber. Existuje několik ekvivalentních charakterizací polojednoduchých algeber, jako například nemající nenulové řešitelné ideály.

Koncept semiimplicity pro Lieovy algebry úzce souvisí s úplnou redukovatelností (semisimplicitou) jejich reprezentací. Když pozemní pole F má charakteristický nula, jakákoli konečně-dimenzionální reprezentace polojednodušé Lieovy algebry je polojednoduchý (tj. přímý součet neredukovatelných reprezentací.) Obecně se nazývá Lieova algebra redukční je-li adjunktní reprezentace poloviční. Polojednoduchá Lieova algebra je tedy redukční.

Cartanovo kritérium

Cartanovo kritérium dává podmínky, aby Lieova algebra byla nilpotentní, řešitelná nebo polojednoduchá. Je založen na pojmu Formulář zabíjení, a symetrická bilineární forma na ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ definovaný vzorcem

${displaystyle K (u, v) = operatorname {tr} (operatorname {ad} (u) operatorname {ad} (v)),}$

kde tr označuje stopa lineárního operátoru. Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je polojediný, právě když je formulář pro zabíjení nedegenerovat. Lieova algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je řešitelný právě tehdy ${displaystyle K ({mathfrak {g}}, [{mathfrak {g}}, {mathfrak {g}}]) = 0.}$

Klasifikace

The Leviho rozklad vyjadřuje libovolnou Lieovu algebru jako a polopřímý součet jeho řešitelného radikálu a polojednodušé Lieovy algebry, téměř kanonickým způsobem. (Takový rozklad existuje pro konečně-dimenzionální Lieovu algebru nad polem charakteristické nuly.^[14]) Kromě toho byly polokruhové Lieovy algebry nad algebraicky uzavřeným polem zcela klasifikovány prostřednictvím jejich kořenové systémy.

Vztah k Lieovým skupinám

Ačkoli Lie algebry jsou často studovány samy o sobě, historicky vznikly jako prostředek ke studiu Lež skupiny.

Nyní stručně načrtneme vztah mezi Lieovými skupinami a Lieovými algebrami. Jakákoli Lieova skupina vede ke kanonicky určené Lieově algebře (konkrétně tečný prostor v identitě). Naopak pro jakoukoli konečně-dimenzionální Lieovu algebru ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, existuje odpovídající propojená Lieova skupina ${displaystyle G}$ s Lieovou algebrou ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Tohle je Lieova třetí věta; viz Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec. Tato Lieova skupina není určena jednoznačně; jsou však jakékoli dvě Lieovy skupiny se stejnou Lieovou algebrou místně izomorfní, a zejména mají stejné univerzální kryt. Například speciální ortogonální skupina SO (3) a speciální jednotná skupina SU (2) dát vzniknout stejné Lieově algebře, která je izomorfní s ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ s křížovým produktem, ale SU (2) je jednoduše připojený dvojitý kryt SO (3).

Pokud vezmeme v úvahu jednoduše připojeno Ležové skupiny však máme korespondenci jedna ku jedné: Pro každou (konečně-dimenzionální skutečnou) Lieovu algebru ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, existuje jedinečná jednoduše spojená Lieova skupina ${displaystyle G}$ s Lieovou algebrou ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.

Korespondence mezi Lieovými algebrami a Lieovými skupinami se používá několika způsoby, mimo jiné v klasifikace Lieových skupin a související záležitost teorie reprezentace Lieových skupin. Každá reprezentace Lieovy algebry se jedinečně zvedne k reprezentaci odpovídající připojené, jednoduše připojené Lieovy skupiny a naopak každá reprezentace libovolné Lieovy skupiny vyvolá reprezentaci Liehovy algebry skupiny; reprezentace jsou v korespondenci jedna ku jedné. Znalost reprezentací Lieovy algebry proto řeší otázku reprezentací skupiny.

Pokud jde o klasifikaci, je možné ukázat, že jakákoli připojená Lieova skupina s danou Lieovou algebrou je isomorfní s univerzálním krycím modem diskrétní centrální podskupiny. Takže klasifikace Lieových skupin se stává jednoduše otázkou spočítání diskrétních podskupin centrum, jakmile bude známa klasifikace Lieových algeber (vyřešeno Cartan et al. v polojednoduchý případ).

Pokud je Lieova algebra nekonečně dimenzionální, problém je jemnější. V mnoha případech exponenciální mapa není ani lokálně a homeomorfismus (například v Diff (S¹), lze najít libovolně podobné difeomorfismy totožnosti, které nejsou v obraze exp). Kromě toho některé nekonečně-dimenzionální Lieovy algebry nejsou Lieovou algebrou žádné skupiny.

Skutečná podoba a složitost

Vzhledem k tomu, komplexní Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, skutečná algebra lži ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {0}}$ se říká, že je skutečná forma z ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ pokud komplexifikace ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {0} další _ {mathbb {R}} mathbb {C} simeq {mathfrak {g}}}$ je izomorfní s ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.^[15] Skutečná forma nemusí být jedinečná; například, ${displaystyle {mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$ má dvě skutečné formy ${displaystyle {mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {R}}$ a ${displaystyle {mathfrak {su}} _ {2}}$.^[15]

Vzhledem k polojedinému konečnému trojrozměrnému komplexu Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, a rozdělená forma je to skutečná forma, která se rozděluje; tj. má kartalskou subalgebru, která působí prostřednictvím adjunktní reprezentace se skutečnými vlastními hodnotami. Rozdělená forma existuje a je jedinečná (až do izomorfismů).^[15] A kompaktní forma je skutečná forma, která je Lieovou algebrou kompaktní Lieovy skupiny. Kompaktní forma existuje a je také jedinečná.^[15]

Leží algebra s dalšími strukturami

Liege algebra může být vybavena několika dalšími strukturami, o nichž se předpokládá, že jsou kompatibilní s držákem. Například a klasifikovaná Lieova algebra je Lieova algebra s odstupňovanou strukturou vektorového prostoru. Pokud přichází také s diferenciálem (takže podkladový odstupňovaný vektorový prostor je a řetězový komplex ), pak se nazývá a diferenciálně odstupňovaná Lieova algebra.

A zjednodušená Lieova algebra je zjednodušený objekt v kategorii Lieových algeber; jinými slovy, získá se nahrazením podkladové sady znakem a zjednodušená sada (takže by se to dalo lépe považovat za rodinu Lieových algeber).

Lež prsten

A Lež prsten vyvstává jako zobecnění Lieových algeber, nebo studiem spodní centrální série z skupiny. Ložní prsten je definován jako neasociativní kruh s množením to je antikomutativní a uspokojuje Jacobi identita. Přesněji můžeme definovat Lieův prsten ${displaystyle L}$ být abelianská skupina s operací ${displaystyle [cdot, cdot]}$ který má následující vlastnosti:

• Bilinearita:

${displaystyle [x + y, z] = [x, z] + [y, z], quad [z, x + y] = [z, x] + [z, y]}$

pro všechny X, y, z ∈ L.

• The Jacobi identita:

${displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 quad}$

pro všechny X, y, z v L.

• Pro všechny X v L:

${displaystyle [x, x] = 0quad}$

Ložní prsteny nemusí být Lež skupiny pod přidáním. Libovolná Lieova algebra je příkladem Lieova kruhu. Žádný asociativní prsten lze z něj udělat Lieův prsten definováním operátoru závorky ${displaystyle [x, y] = xy-yx}$. Naopak k jakékoli Lieově algebře existuje odpovídající kruh, který se nazývá univerzální obalová algebra.

Lži kroužky se používají při studiu konečných p-skupiny skrz Lazardova korespondence '. Nižší centrální faktory a p-skupina je konečná abelian p-skupiny, takže moduly skončily Z/pZ. Přímý součet nižších centrálních faktorů je dán strukturou Lieova kruhu definováním závorky jako komutátor dvou zástupců cosetů. Lieova prstencová struktura je obohacena o další modulový homomorfismus, pth power map, což přidružené Lie ring zvané tzv. Lie Lie Ring.

Ložní prsteny jsou také užitečné při definici a p-adic analytické skupiny a jejich endomorfismy studiem Lieových algeber na prstenech celých čísel, jako je celá čísla p-adic. Definice konečných skupin typu Lie kvůli Chevalleymu zahrnuje omezení z Lieovy algebry nad komplexními čísly na Lieovu algebru nad celými čísly a redukční modulo p dostat Liege algebru přes konečné pole.

Příklady

• Jakákoli lže algebra nad generálem prsten místo a pole je příkladem lži. Ložní prsteny jsou ne Lež skupiny navíc, navzdory jménu.
• Jakýkoli asociativní prsten může být přeměněn na Lieův prsten definováním operátoru závorky

${displaystyle [x, y] = xy-yx.}$

• Příklad lžijského prstenu vznikajícího při studiu skupiny, nechť ${displaystyle G}$ být skupina s ${displaystyle (x, y) = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy}$ provoz komutátoru a nechte ${displaystyle G = G_ {0} supseteq G_ {1} supseteq G_ {2} supseteq cdots supseteq G_ {n} supseteq cdots}$ být centrální řada v ${displaystyle G}$ - to je podskupina komutátoru ${displaystyle (G_ {i}, G_ {j})}$ je obsažen v ${displaystyle G_ {i + j}}$ pro všechny ${displaystyle i, j}$. Pak

${displaystyle L = igoplus G_ {i} / G_ {i + 1}}$

je Lieův prsten s přídavkem dodávaný operací skupiny (která bude × v každé homogenní části) a operace závorky daná

${displaystyle [xG_ {i}, yG_ {j}] = (x, y) G_ {i + j}}$

prodloužena lineárně. Centrálnost řady zajišťuje komutátor ${displaystyle (x, y)}$ dává operaci závorky příslušné Lieovy teoretické vlastnosti.

Viz také

Poznámky

Reference

Zdroje

• Beltiţă, Daniel (2006). Smooth Homogeneous Structures in Operator Theory. CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. 137. CRC Press. ISBN  978-1-4200-3480-6. PAN  2188389.
• Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M.; Núñez, Juan (2001-06-01). "A new method for classifying complex filiform Lie algebras". Applied Mathematics and Computation. 121 (2–3): 169–175. doi:10.1016/s0096-3003(99)00270-2. ISSN  0096-3003.
• Bourbaki, Nicolasi (1989). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3. Springer. ISBN  978-3-540-64242-8.
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN  1-84628-040-0
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015). Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Postgraduální texty z matematiky. 222 (2. vyd.). Springer. doi:10.1007/978-3-319-13467-3. ISBN  978-3319134666. ISSN  0072-5285.
• Hofmann, Karl H .; Morris, Sidney A (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups. European Mathematical Society. ISBN  978-3-03719-032-6.
• Humphreys, James E. (1978). Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace. Postgraduální texty z matematiky. 9 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90053-7.
• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Lež algebry. Doveru. ISBN  978-0-486-63832-4.
• Kac, Victor G.; et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras. Archived from the original on 2010-04-20.CS1 maint: BOT: stav původní adresy URL neznámý (odkaz)
• Mubarakzyanov, G.M. (1963). "On solvable Lie algebras". Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika (v Rusku). 1 (32): 114–123. PAN  0153714. Zbl  0166.04104.
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (2000). "Biography of Sophus Lie". MacTutor History of Mathematics Archive.
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (2005). "Biography of Wilhelm Killing". MacTutor History of Mathematics Archive.
• Popovych, R.O.; Boyko, V.M.; Nesterenko, M.O.; Lutfullin, M.W.; et al. (2003). "Realizations of real low-dimensional Lie algebras". J. Phys. A: Math. Gen. 36 (26): 7337–60. arXiv:math-ph/0301029. Bibcode:2003JPhA...36.7337P. doi:10.1088/0305-4470/36/26/309. S2CID  9800361.
• Serre, Jean-Pierre (2006). Lie Algebras and Lie Groups (2. vyd.). Springer. ISBN  978-3-540-55008-2.
• Steeb, Willi-Hans (2007). Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra (2. vyd.). World Scientific. doi:10.1142/6515. ISBN  978-981-270-809-0. PAN  2382250.
• Varadarajan, Veeravalli S. (2004). Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations (1. vyd.). Springer. ISBN  978-0-387-90969-1.

externí odkazy

• "Lie algebra", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• McKenzie, Douglas (2015). "An Elementary Introduction to Lie Algebras for Physicists".