Klasická skupina - Classical group

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lieovy skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

v matematika, klasické skupiny jsou definovány jako speciální lineární skupiny přes realitu R, komplexní čísla C a čtveřice H společně se speciálními^[1] automorfické skupiny z symetrický nebo šikmo symetrický bilineární formy a Hermitian nebo šikmo-poustevník sesquilineární formy definované na reálných, komplexních a kvaternionových konečných trojrozměrných vektorových prostorech.^[2] Z nich složité klasické Lieovy skupiny jsou čtyři nekonečné rodiny Lež skupiny že spolu s výjimečné skupiny vyčerpat klasifikaci jednoduché Lieovy skupiny. The kompaktní klasické skupiny jsou kompaktní skutečné formy komplexních klasických skupin. Konečnými analogy klasických skupin jsou klasický skupiny typu Lie. Termín „klasická skupina“ vytvořil Hermann Weyl, což je název jeho monografie z roku 1939 Klasické skupiny.^[3]

Klasické skupiny tvoří nejhlubší a nejužitečnější část předmětu lineárních Lieových skupin.^[4] Většina typů klasických skupin najde uplatnění v klasické i moderní fyzice. Následuje několik příkladů. The rotační skupina SO (3) je symetrie Euklidovský prostor a všechny základní fyzikální zákony, Skupina Lorentz O (3,1) je skupina symetrie vesmírný čas z speciální relativita. The speciální jednotná skupina SU (3) je skupina symetrie kvantová chromodynamika a symplektická skupina Sp (m) najde aplikaci v Hamiltoniánská mechanika a kvantově mechanické jeho verze.

Klasické skupiny

The klasické skupiny jsou přesně obecné lineární skupiny přes R, C a H společně se skupinami automorfismu nedegenerovaných forem popsaných níže.^[5] Tyto skupiny jsou obvykle dodatečně omezeny na podskupiny, jejichž prvky mají určující 1, takže jejich centra jsou diskrétní. Klasické skupiny s podmínkou determinantu 1 jsou uvedeny v tabulce níže. V pokračování je podmínka determinantu 1 ne důsledně používány v zájmu větší obecnosti.

název	Skupina	Pole	Formulář	Maximální kompaktní podskupina	Lež algebra	Kořenový systém
Speciální lineární	SL (n, R)	R	-	TAK(n)
Komplexní speciální lineární	SL (n, C)	C	-	SU(n)	Komplex	${displaystyle color {Blue} A_ {m}, n = m + 1}$
Kvartérní speciální lineární	SL (n, H) = SU∗(2n)	H	-	Sp (n)
(Neurčitý) speciální ortogonální	TAK(p, q)	R	Symetrický	TAK(p) × O (q))
Komplexní speciální ortogonální	TAK(n, C)	C	Symetrický	TAK(n)	Komplex	${displaystyle color {Blue} {egin {cases} B_ {m}, & n = 2m + 1 D_ {m}, & n = 2mend {cases}}}$
Symplektický	Sp (n, R)	R	Šikmo symetrické	U (n)
Komplexní symplektik	Sp (n, C)	C	Šikmo symetrické	Sp(n)	Komplex	${displaystyle color {Blue} C_ {m}, n = 2m}$
(Neurčitý) speciální unitární	SU (p, q)	C	Hermitian	S (U (p) × U (q))
(Neurčitý) kvartérní unitární	Sp (p, q)	H	Hermitian	Sp (p) × Sp (q)
Kvartérní ortogonální	TAK∗(2n)	H	Skew-Hermitian	SO (2n)

The složité klasické skupiny jsou SL (n, C), TAK(n, C) a Sp (n, C). Skupina je složitá podle toho, zda je její Lieova algebra složitá. The skutečné klasické skupiny odkazuje na všechny klasické skupiny, protože jakákoli Lieova algebra je skutečná algebra. The kompaktní klasické skupiny jsou kompaktní skutečné formy komplexních klasických skupin. To jsou zase SU (n), TAK(n) a Sp (n). Jedna z charakteristik kompaktní reálné formy je z hlediska Lieovy algebry G. Li G = u + iu, komplexifikace z u, a pokud je připojená skupina K. generováno uživatelem {exp (X): X ∈ u} je tedy kompaktní K. je kompaktní skutečná forma.^[6]

Klasické skupiny lze jednotně charakterizovat odlišným způsobem pomocí skutečné formy. Klasické skupiny (zde s podmínkou determinant 1, ale to není nutné) jsou následující:

Komplexní lineární algebraické skupiny SL (n, C), TAK(n, C), a Sp (n, C) společně s jejich skutečné formy.^[7]

Například, TAK^∗(2n) je skutečná forma SO (2n, C), SU (p, q) je skutečná forma SL (n, C), a SL (n, H) je skutečná forma SL (2n, C). Bez podmínky determinantu 1 nahraďte speciální lineární skupiny v charakterizaci odpovídajícími obecnými lineárními skupinami. Dotčené algebraické skupiny jsou Lieovy skupiny, ale pro získání správného pojmu „reálná forma“ je zapotřebí kvalifikace „algebraický“.

Bilineární a seskvilineární formy

Klasické skupiny jsou definovány z hlediska forem definovaných na Rⁿ, Cⁿ, a Hⁿ, kde R a C jsou pole z nemovitý a komplexní čísla. The čtveřice, H, nepředstavují pole, protože násobení nedojíždí; tvoří a dělící prsten nebo a šikmé pole nebo nekomutativní pole. Stále je však možné definovat kvaternionové skupiny matic. Z tohoto důvodu vektorový prostor PROTI je možné definovat znovu R, C, stejně jako H níže. V případě H, PROTI je že jo vektorový prostor umožňující reprezentaci skupinové akce jako násobení matice z vlevo, odjet, stejně jako pro R a C.^[8]

Formulář φ: PROTI × PROTI → F na nějakém konečném trojrozměrném pravém vektorovém prostoru F = R, Cnebo H je bilineární -li

${displaystyle varphi (xalpha, y eta) = alpha varphi (x, y) eta, quad forall x, yin V, forall alpha, eta in F.}$ a pokud

${displaystyle varphi (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2}) = varphi (x_ {1}, y_ {1}) + varphi (x_ {1}, y_ {2}) + varphi (x_ {2}, y_ {1}) + varphi (x_ {2}, y_ {2}), quad for all x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2} in V .}$

To se nazývá sesquilinear -li

${displaystyle varphi (xalpha, y eta) = {ar {alpha}} varphi (x, y) eta, quad forall x, yin V, forall alpha, eta in F.}$ a pokud :${displaystyle varphi (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2}) = varphi (x_ {1}, y_ {1}) + varphi (x_ {1}, y_ {2}) + varphi (x_ {2}, y_ {1}) + varphi (x_ {2}, y_ {2}) pro všechna x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2} ve V.}$

Tyto konvence jsou vybrány, protože fungují ve všech zvažovaných případech. An automorfismus z φ je mapa Α v sadě lineárních operátorů PROTI takhle

${displaystyle varphi (Ax, Ay) = varphi (x, y), quad forall x, yin V.}$

(1)

Soubor všech automorfismů φ tvoří skupinu, nazývá se to automorfická skupina φ, označeno Aut (φ). To vede k předběžné definici klasické skupiny:

Klasická skupina je skupina, která zachovává bilineární nebo seskvilineární formu na konečných trojrozměrných vektorových prostorech nad R, C nebo H.

Tato definice má určitou redundanci. V případě F = R, bilineární je ekvivalentní seskvilineární. V případě F = H, neexistují žádné nenulové bilineární formy.^[9]

Symetrické, šikmo-symetrické, hermitovské a zkosené-hermitovské formy

Formulář je symetrický -li

${displaystyle varphi (x, y) = varphi (y, x).}$

to je šikmo symetrický -li

${displaystyle varphi (x, y) = - varphi (y, x).}$

to je Hermitian -li

${displaystyle varphi (x, y) = {overline {varphi (y, x)}}}$

Konečně je šikmo-poustevník -li

${displaystyle varphi (x, y) = - {overline {varphi (y, x)}}.}$

Bilineární forma φ je jednoznačně součet symetrické formy a zkosené symetrické formy. Zachování transformace φ konzervuje obě části samostatně. Skupiny zachovávající symetrické a zkosené symetrické tvary lze tedy studovat samostatně. Totéž platí mutatis mutandis pro hermitovské a zkosené hermitovské formy. Z tohoto důvodu se pro účely klasifikace berou v úvahu pouze čistě symetrické, šikmo-symetrické, hermitovské nebo zkosené-hermitovské formy. The normální formy formy odpovídají konkrétním vhodným volbám základen. Jedná se o báze dávající v souřadnicích následující normální formy:

${displaystyle {egin {aligned} {ext {Bilineární symetrická forma v (pseudo-) orthonormálním základě:}} qquad varphi (x, y) & = pm xi _ {1} eta _ {1} pm xi _ {2} eta _ {2} pm cdots pm xi _ {n} eta _ {n} ,,, (mathbf {R}) {ext {Bilineární symetrická forma v ortonormálním základě:}} qquad varphi (x, y) & = xi _ {1} eta _ {1} + xi _ {2} eta _ {2} + cdots + xi _ {n} eta _ {n} ,,, (mathbf {C}) {ext {Bilineární zkosení-symetrické v symplektický základ:}} qquad varphi (x, y) & = xi _ {1} eta _ {m + 1} + xi _ {2} eta _ {m + 2} + cdots + xi _ {m} eta _ { 2m = n} & - xi _ {m + 1} eta _ {1} -xi _ {m + 2} eta _ {2} -cdots -xi _ {2m = n} eta _ {m} ,,, (mathbf {R}, mathbf {C}) {ext {Sesquilinear Hermitian:}} qquad varphi (x, y) & = pm {ar {xi _ {1}}} eta _ {1} pm {ar {xi _ {2}}} eta _ {2} pm cdots pm {ar {xi _ {n}}} eta _ {n} ,,, (mathbf {C}, mathbf {H}) {ext {Sesquilinear skew- Hermitian:}} qquad varphi (x, y) & = {ar {xi _ {1}}} mathbf {j} eta _ {1} + {ar {xi _ {2}}} mathbf {j} eta _ { 2} + cdots + {ar {xi _ {n}}} mathbf {j} eta _ {n} ,,, (mathbf {H}) .end {zarovnáno}}}$

The j v zkosené-hermitovské formě je třetím základním prvkem v základu (1, i, j, k) pro H. Důkaz o existenci těchto základen a Sylvestrov zákon setrvačnosti nezávislost počtu znamének plus a minus, p a q, v symetrické a hermitovské formě, stejně jako přítomnost nebo nepřítomnost polí v každém výrazu, lze nalézt v Rossmann (2002) nebo Goodman & Wallach (2009). Dvojice (p, q), a někdy p − q, se nazývá podpis formuláře.

Vysvětlení výskytu polí R, C, H: Neexistují žádné netriviální bilineární formy H. V symetrickém bilineárním případě se tvoří pouze nad R mít podpis. Jinými slovy, komplexní bilineární forma s „podpisem“ (p, q) může být změnou základny redukován do formy, kde jsou všechny znaky "+„ve výše uvedeném výrazu, zatímco ve skutečném případě je to nemožné p − q je při uvedení do této formy nezávislý na bázi. Hermitovské formy však mají podpis nezávislý na bázi jak v komplexním, tak v kvartérním případě. (Skutečný případ se zmenší na symetrický.) Zkosený-hermitovský tvar na komplexním vektorovém prostoru se vykreslí jako hermitovský vynásobením i, takže v tomto případě pouze H je zajímavý.

Automorfické skupiny

Hermann Weyl, autor Klasické skupiny. Weyl významně přispěl k teorii reprezentace klasických skupin.

První část představuje obecný rámec. Ostatní oddíly vyčerpávají kvalitativně odlišné případy, které vznikají jako automorfní skupiny bilineárních a sesquilineárních forem na konečných trojrozměrných vektorových prostorech R, C a H.

Aut (φ) - skupina automorfismu

Předpokládat, že φ je nedegenerovaný tvoří na konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru PROTI přes R, C nebo H. Skupina automorfismu je definována na základě podmínky (1), tak jako

${displaystyle mathrm {Aut} (varphi) = {Ain mathrm {GL} (V): varphi (Ax, Ay) = varphi (x, y), quad forall x, yin V}.}$

Každý A ∈ M_n(PROTI) má adjoint A^φ s ohledem na φ definován

${displaystyle varphi (Ax, y) = varphi (x, A ^ {varphi} y), qquad x, yin V.}$

(2)

Použití této definice v podmínce (1), skupina automorfismu je patrně dána

${displaystyle operatorname {Aut} (varphi) = {Ain operatorname {GL} (V): A ^ {varphi} A = 1}.}$[10]

(3)

Opravte základ pro PROTI. Z hlediska tohoto základu řečeno

${displaystyle varphi (x, y) = součet xi _ {i} varphi _ {ij} eta _ {j}}$

kde ξ_i, η_j jsou komponenty X, y. To je vhodné pro bilineární formy. Sesquilinear formy mají podobné výrazy a jsou zpracovány samostatně později. V maticovém zápisu se najde

${displaystyle varphi (x, y) = x ^ {mathrm {T}} Phi y}$

a

${displaystyle A ^ {varphi} = Phi ^ {- 1} A ^ {mathrm {T}} Phi}$[11]

(4)

z (2) kde Φ je matice (φ_ij). Podmínka nedegenerace to přesně znamená Φ je invertible, takže adjoint vždy existuje. Aut (φ) tímto vyjádřením se stává

${displaystyle operatorname {Aut} (varphi) = {Ain operatorname {GL} (V): Phi ^ {- 1} A ^ {mathrm {T}} Phi A = 1}.}$

Lieova algebra aut(φ) skupin automorfismu lze okamžitě zapsat. Abstraktně X ∈ aut(φ) kdyby a jen kdyby

${displaystyle (e ^ {tX}) ^ {varphi} e ^ {tX} = 1}$

pro všechny t, odpovídající podmínce v (3) pod exponenciální mapování Lieových algeber, takže

${displaystyle {mathfrak {aut}} (varphi) = {Xin M_ {n} (V): X ^ {varphi} = - X},}$

nebo na základě

${displaystyle {mathfrak {aut}} (varphi) = {Xin M_ {n} (V): Phi ^ {- 1} X ^ {mathrm {T}} Phi = -X}}$

(5)

jak je vidět pomocí výkonová řada expanze exponenciálního mapování a linearity zapojených operací. Naopak, předpokládejme to X ∈ aut(φ). Poté pomocí výše uvedeného výsledku φ(Xx, y) = φ (X, X^φy) = -φ (X, Xy). Ložní algebru lze tedy charakterizovat bez odkazu na základ nebo adjoint jako

${displaystyle {mathfrak {aut}} (varphi) = {Xin M_ {n} (V): varphi (Xx, y) = - varphi (x, Xy), quad forall x, yin V}.}$

Normální forma pro φ budou uvedeny pro každou klasickou skupinu níže. Z té normální formy, matice Φ lze odečíst přímo. V důsledku toho lze výrazy pro adjunkt a Lieovy algebry získat pomocí vzorců (4) a (5). To je ukázáno níže ve většině netriviálních případů.

Bilineární případ

Když je formulář symetrický, Aut (φ) je nazýván Ó(φ). Když je to šikmo symetrické, pak Aut (φ) je nazýván Sp (φ). To platí pro skutečné i složité případy. Kvaternionový případ je prázdný, protože na kvartérních vektorových prostorech neexistují žádné nenulové bilineární formy.^[12]

Skutečný případ

Skutečný případ se dělí na dva případy, symetrickou a antisymetrickou formu, které by měly být zpracovány samostatně.

Ó(p, q) a O (n) - ortogonální skupiny

Li φ je symetrický a vektorový prostor je skutečný, lze zvolit základnu tak

${displaystyle varphi (x, y) = pm xi _ {1} eta _ {1} pm xi _ {1} eta _ {1} cdots pm xi _ {n} eta _ {n}.}$

Počet znamének plus a minus je nezávislých na konkrétním základě.^[13] V případě PROTI = Rⁿ jeden píše Ó(φ) = O (p, q) kde p je počet znamének plus a q je počet mínusů, p + q = n. Li q = 0 notace je Ó(n). Matice Φ je v tomto případě

${displaystyle Phi = left ({egin {matrix} I_ {p} & 0 0 & -I_ {q} end {matrix}} ight) equiv I_ {p, q}}$

v případě potřeby po doobjednání základny. Operace adjoint (4) se pak stane

${displaystyle A ^ {varphi} = left ({egin {matrix} I_ {p} & 0 0 & -I_ {q} end {matrix}} ight) left ({egin {matrix} A_ {11} & cdots cdots & A_ { nn} end {matrix}} ight) ^ {mathrm {T}} vlevo ({egin {matrix} I_ {p} & 0 0 & -I_ {q} end {matrix}} ight),}$

který se redukuje na obvyklou transpozici, když p nebo q je 0. Lieova algebra se nachází pomocí rovnice (5) a vhodný ansatz (toto je podrobně popsáno pro případ Sp (m, R) níže),

${displaystyle {mathfrak {o}} (p, q) = left {left.left ({egin {matrix} X_ {p imes p} & Y_ {p imes q} Y ^ {mathrm {T}} & W_ {q imes q} end {matrix}} ight) ight | X ^ {mathrm {T}} = - X, quad W ^ {mathrm {T}} = - Wight},}$

a skupina podle (3) darováno

${displaystyle mathrm {O} (p, q) = {gin mathrm {GL} (n, mathbb {R}) | I_ {p, q} ^ {- 1} g ^ {mathrm {T}} I_ {p, q} g = I}.}$

Skupiny Ó(p, q) a Ó(q, p) jsou izomorfní skrz mapu

${displaystyle mathrm {O} (p, q) ightarrow mathrm {O} (q, p), quad gightarrow sigma gsigma ^ {- 1}, quad sigma = left [{egin {smallmatrix} 0 & 0 & cdots & 1 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 1 & cdots & 0 1 & 0 & cdots & 0end {smallmatrix}} ight].}$

Například Lieovu algebru skupiny Lorentz lze zapsat jako

${displaystyle {mathfrak {o}} (3,1) = mathrm {span} left {left ({egin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0end {smallmatrix}} ight), left ({egin {smallmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end {smallmatrix}} ight), left ({egin {smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0end {smallmatrix}} ight), left ({egin {0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0end {smallmatrix}} ight), left ({egin {smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0end {smallmatrix}} ight), left ({egin {smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 hned}.}$

Přirozeně je možné změnit uspořádání tak, aby q-block je vlevo nahoře (nebo jakýkoli jiný blok). Zde „časová složka“ končí jako čtvrtá souřadnice ve fyzické interpretaci, a ne první, jak může být běžnější.

Sp (m, R) - skutečná symplektická skupina

Li φ je šikmo symetrický a vektorový prostor je skutečný, existuje dání základu

${displaystyle varphi (x, y) = xi _ {1} eta _ {m + 1} + xi _ {2} eta _ {m + 2} cdots + xi _ {m} eta _ {2m = n} -xi _ {m + 1} eta _ {1} -xi _ {m + 2} eta _ {2} cdots -xi _ {2m = n} eta _ {m},}$

kde n = 2m. Pro Aut (φ) jeden píše Sp (φ) = Sp (PROTI) V případě PROTI = Rⁿ = R^2m jeden píše Sp (m, R) nebo Sp (2m, R). Z normální formy se čte

${displaystyle Phi = left ({egin {matrix} 0_ {m} & I_ {m} - I_ {m} & 0_ {m} end {matrix}} ight) = J_ {m}.}$

Vytvořením odpovědi

${displaystyle V = left ({egin {matrix} X&Y Z & Wend {matrix}} ight),}$

kde X, Y, Z, Ž jsou m-dimenzionální matice a uvažování (5),

${displaystyle left ({egin {matrix} 0_ {m} & - I_ {m} I_ {m} & 0_ {m} end {matrix}} ight) left ({egin {matrix} X&Y Z & Wend {matrix}} ight ) ^ {mathrm {T}} vlevo ({egin {matrix} 0_ {m} & I_ {m} - I_ {m} & 0_ {m} end {matrix}} ight) = - vlevo ({egin {matrix} X&Y Z & Wend {matrix}} ight)}$

jeden najde Lieovu algebru z Sp (m, R),

${displaystyle {mathfrak {sp}} (m, mathbb {R}) = {Xin M_ {n} (mathbb {R}): J_ {m} X + X ^ {mathrm {T}} J_ {m} = 0 } = left {left.left ({egin {matrix} X&Y Z & -X ^ {mathrm {T}} end {matrix}} ight) ight | Y ^ {mathrm {T}} = Y, Z ^ {mathrm { T}} = Zima},}$

a skupina je dána

${displaystyle mathrm {Sp} (m, mathbb {R}) = {gin M_ {n} (mathbb {R}) | g ^ {mathrm {T}} J_ {m} g = J_ {m}}.}$

Složitý případ

Stejně jako v reálném případě existují dva případy, symetrický a antisymetrický případ, z nichž každý poskytuje rodinu klasických skupin.

Ó(n, C) - komplexní ortogonální skupina

Pokud ano φ je symetrický a vektorový prostor je složitý, základ

${displaystyle varphi (x, y) = xi _ {1} eta _ {1} + xi _ {1} eta _ {1} cdots + xi _ {n} eta _ {n}}$

lze použít pouze znaménka plus. Skupina automorfismu je v případě PROTI = Cⁿ volala Na, C). Algebra lži je jednoduše speciální případ Ó(p, q),

${displaystyle {mathfrak {o}} (n, mathbb {C}) = {mathfrak {so}} (n, mathbb {C}) = {X | X ^ {mathrm {T}} = - X},}$

a skupina je dána

${displaystyle mathrm {O} (n, mathbb {C}) = {g | g ^ {mathrm {T}} g = I_ {n}}.}$

Ve smyslu klasifikace jednoduchých Lieových algeber, tak(n) jsou rozděleny do dvou tříd, těch s n zvláštní s kořenovým systémem B_n a n i s kořenovým systémem D_n.

Sp (m, C) - komplexní symplektická skupina

Pro φ skew-symetrický a komplex vektorového prostoru, stejný vzorec,

${displaystyle varphi (x, y) = xi _ {1} eta _ {m + 1} + xi _ {2} eta _ {m + 2} cdots + xi _ {m} eta _ {2m = n} -xi _ {m + 1} eta _ {1} -xi _ {m + 2} eta _ {2} cdots -xi _ {2m = n} eta _ {m},}$

platí jako ve skutečném případě. Pro Aut (φ) jeden píše Sp (φ) = Sp (PROTI) V případě PROTI = ℂⁿ = ℂ^2m jeden píše Sp (m, ℂ) nebo Sp (2m, ℂ). Lieova algebra se vyrovná té sp(m, ℝ),

${displaystyle {mathfrak {sp}} (m, mathbb {C}) = {Xin M_ {n} (mathbb {C}): J_ {m} X + X ^ {mathrm {T}} J_ {m} = 0 } = left {left.left ({egin {matrix} X&Y Z & -X ^ {mathrm {T}} end {matrix}} ight) ight | Y ^ {mathrm {T}} = Y, Z ^ {mathrm { T}} = Zima},}$

a skupina je dána

${displaystyle mathrm {Sp} (m, mathbb {C}) = {gin M_ {n} (mathbb {C}) | g ^ {mathrm {T}} J_ {m} g = J_ {m}}.}$

Sesquilineární případ

V sekvenčním případě lze u formy použít trochu odlišný přístup, pokud jde o základ,

${displaystyle varphi (x, y) = součet {ar {xi}} _ {i} varphi _ {ij} eta _ {j}.}$

Ostatní výrazy, které se upraví, jsou

${displaystyle varphi (x, y) = x ^ {*} Phi y, qquad A ^ {varphi} = Phi ^ {- 1} A ^ {*} Phi,}$^[14]

${displaystyle operatorname {Aut} (varphi) = {Ain operatorname {GL} (V): Phi ^ {- 1} A ^ {*} Phi A = 1},}$

${displaystyle {mathfrak {aut}} (varphi) = {Xin M_ {n} (V): Phi ^ {- 1} X ^ {*} Phi = -X}.}$

(6)

Skutečný případ samozřejmě neposkytuje nic nového. Složitost a kvaternionový případ budou zváženy níže.

Složitý případ

Z kvalitativního hlediska neposkytuje úvaha o šikmo-hermitských formách (až do izomorfismu) žádné nové skupiny; násobení i vykreslí šikmo-hermitovskou formu Hermitiana a naopak. Je tedy třeba uvažovat pouze o Hermitianově případu.

U (p, q) a U (n) - nečleněné skupiny

Nedegenerovaná hermitská forma má normální formu

${displaystyle varphi (x, y) = pm {ar {xi _ {1}}} eta _ {1} pm {ar {xi _ {2}}} eta _ {2} cdots pm {ar {xi _ {n }}} eta _ {n}.}$

Stejně jako v bilineárním případě je podpis (p, q) je nezávislý na základně. Skupina automorfismu je označena U (PROTI), nebo v případě PROTI = Cⁿ, U (p, q). Li q = 0 notace je U (n). V tomto případě, Φ má formu

${displaystyle Phi = left ({egin {matrix} 1_ {p} & 0 0 & -1_ {q} end {matrix}} ight) = I_ {p, q},}$

a Lieova algebra je dána

${displaystyle {mathfrak {u}} (p, q) = left {left.left ({egin {matrix} X_ {p imes p} & Z_ {p imes q} {overline {Z_ {p imes q}}} ^ {mathrm {T}} & Y_ {q imes q} end {matrix}} ight) ight | {overline {X}} ^ {mathrm {T}} = - X, quad {overline {Y}} ^ {mathrm {T }} = - V noci}.}$

Skupina je dána

${displaystyle mathrm {U} (p, q) = {g | I_ {p, q} ^ {- 1} g ^ {*} I_ {p, q} g = I}.}$

kde g je obecná n x n komplexní matice a ${displaystyle g ^ {*}}$ je definována jako konjugovaná transpozice g, co fyzici nazývají ${displaystyle g ^ {dagger}}$.

Jako srovnání je definována Unitary matrix U (n) jako

${displaystyle mathrm {U} (n) = {g | g ^ {*} g = I}.}$

Poznamenáváme to ${displaystyle mathrm {U} (n)}$ je stejné jako ${displaystyle mathrm {U} (n, 0)}$

Kvartérní případ

Prostor Hⁿ je považován za že jo vektorový prostor nad H. Tudy, A(vh) = (Av)h pro čtveřici h, vektor sloupce čtveřice proti a čtvercová matice A. Li Hⁿ byl vlevo, odjet vektorový prostor nad H, pak násobení matice z že jo na řádkových vektorech by bylo zapotřebí k udržení linearity. To neodpovídá obvyklé lineární operaci skupiny ve vektorovém prostoru, když je uveden základ, což je maticové násobení z vlevo, odjet na vektory sloupců. Tím pádem PROTI je nadále správným vektorovým prostorem H. Přesto je třeba dávat pozor na nekomutativní povahu H. (Většinou zjevné) podrobnosti jsou přeskočeny, protože budou použity složité reprezentace.

Při jednání s kvaternionovými skupinami je vhodné reprezentovat čtveřice pomocí komplexu 2 × 2-matice,

${displaystyle q = amathrm {1} + bmathrm {i} + cmathrm {j} + dmathrm {k} = alpha + j eta leftrightarrow {egin {bmatrix} alpha & - {overline {eta}} eta & {overline {alpha }} end {bmatrix}} = Q, quad qin mathbb {H}, quad a, b, c, din mathbb {R}, quad alpha, eta v mathbb {C}.}$[15]

(7)

S touto reprezentací se kvartérní násobení stává maticovým množením a kvartérní konjugace se stane hermitovským adjungem. Navíc, pokud čtveřice podle komplexního kódování q = X + jy je uveden jako vektor sloupce (X, y)^T, poté násobení zleva maticovou reprezentací čtveřice vytvoří nový sloupcový vektor představující správný čtveřice. Toto zastoupení se mírně liší od běžnějšího zastoupení nalezeného v čtveřice článek. Častější konvence by nutila násobení zprava na matici řádků, aby bylo dosaženo stejné věci.

Mimochodem, výše uvedené znázornění jasně ukazuje, že skupina čtverců jednotek (αα + ββ = 1 = det Q) je izomorfní s SU (2).

Kvartérní n×n-matrice mohou být zjevnou příponou reprezentovány 2n×2n blokové matice komplexních čísel.^[16] Pokud někdo souhlasí, že bude představovat kvartérní n×1 vektor sloupce a 2n×1 vektor sloupce se složitými čísly podle kódování výše, s horním n čísla jsou α_i a nižší n the β_i, potom kvartérní n×n-matice se stává komplexem 2n×2n-matice přesně ve formě uvedené výše, ale nyní s α a β n×n- matice. Více formálně

${displaystyle left (Qight) _ {n imes n} = left (Xight) _ {n imes n} + mathrm {j} left (Yight) _ {n imes n} leftrightarrow left ({egin {matrix} X & - {ar {Y}} Y & {ar {X}} end {matrix}} ight) _ {2n imes 2n}.}$

(8)

Matice T ∈ GL (2n, C) má formulář zobrazený v (8) právě tehdy J_nT = TJ_n. S těmito identifikacemi

${displaystyle mathbb {H} ^ {n} přibližně mathbb {C} ^ {2n}, M_ {n} (mathbb {H}) přibližně vlevo {left.Tin M_ {2n} (mathbb {C}) ight | J_ { n} T = {overline {T}} J_ {n}, quad J_ {n} = left ({egin {matrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0end {matrix}} ight) ight}.}$

Prostor M_n(H) ⊂ M_2n(C) je skutečná algebra, ale nejde o složitý podprostor M_2n(C). Násobení (zleva) o i v M_n(H) pomocí vstupní kvartérní násobení a poté mapování na obrázek v M_2n(C) přináší jiný výsledek než vynásobení vstupním i přímo v M_2n(C). Pravidla kvartérního násobení dávají i(X + jY) = (iX) + j(−iY) kde nové X a Y jsou uvnitř závorek.

Působení kvaternionových matic na kvaternionové vektory je nyní reprezentováno komplexními veličinami, ale jinak je to stejné jako u „běžných“ matic a vektorů. Kvaternionové skupiny jsou tak vloženy do M_2n(C) kde n je rozměr kvaternionových matic.

Determinant kvaternionové matice je v této reprezentaci definován jako běžný komplexní determinant její reprezentativní matice. Nekomutativní povaha kvaternionového násobení by v kvaternionálním vyjádření matic byla nejednoznačná. Cesta M_n(H) je vložen do M_2n(C) není jedinečný, ale všechna tato vložení spolu souvisejí G ↦ AgA⁻¹, G ∈ GL (2n, C) pro A ∈ O (2n, C), přičemž determinant není ovlivněn.^[17] Jméno SL (n, H) v této složité masce je SU^∗(2n).

Na rozdíl od v případě C, jak Hermitian, tak šikmo-Hermitian případ přinášejí něco nového, když H je zvažováno, takže tyto případy jsou posuzovány samostatně.

GL (n, H) a SL (n, H)

Pod výše uvedenou identifikací

${displaystyle mathrm {GL} (n, mathbb {H}) = {gin mathrm {GL} (2n, mathbb {C}) | Jg = {overline {g}} J, mathrm {det} quad geq 0} equiv mathrm {U} ^ {*} (2n).}$

Je to Lieova algebra gl(n, H) je sada všech matic na obrázku mapování M_n(H) ↔ M_2n(C) shora,

${displaystyle {mathfrak {gl}} (n, mathbb {H}) = left {left.left ({egin {matrix} X & - {overline {Y}} Y & {overline {X}} end {matrix}} ight ) ight | X, Yin {mathfrak {gl}} (n, mathbb {C}) ight} equiv {mathfrak {u}} ^ {*} (2n).}$

Kvaternionová speciální lineární skupina je dána vztahem

${displaystyle mathrm {SL} (n, mathbb {H}) = {gin mathrm {GL} (n, mathbb {H}) | mathrm {det} g = 1} equiv mathrm {SU} ^ {*} (2n) ,}$

kde je determinant převzat z matic v C²ⁿ. Lieova algebra je

${displaystyle {mathfrak {sl}} (n, mathbb {H}) = left {left.left ({egin {matrix} X & - {overline {Y}} Y & {overline {X}} end {matrix}} ight ) ight | operatorname {Tr} X = 0ight} equiv {mathfrak {su}} ^ {*} (2n).}$

Sp (p, q) - kvartérní jednotná skupina

Stejně jako výše v komplexním případě je normální forma

${displaystyle varphi (x, y) = pm {ar {xi _ {1}}} eta _ {1} pm {ar {xi _ {2}}} eta _ {2} cdots pm {ar {xi _ {n }}} eta _ {n}}$

a počet znamének plus je nezávislý na bázi. Když PROTI = Hⁿ s tímto formulářem, Sp (φ) = Sp (p, q). Důvodem pro zápis je, že skupinu lze pomocí výše uvedeného předpisu reprezentovat jako podskupinu Sp (n, C) zachování komplexně-poustevnické formy podpisu (2p, 2q)^[18] Li p nebo q = 0 skupina je označena U (n, H). Někdy se tomu říká hyperunitární skupina.

V kvaternionové notaci

${displaystyle Phi = left ({egin {matrix} I_ {p} & 0 0 & -I_ {q} end {matrix}} ight) = I_ {p, q}}$

znamenající, že kvartérní matice formuláře

${displaystyle {mathcal {Q}} = left ({egin {matrix} {mathcal {X}} _ {p imes p} & {mathcal {Z}} _ {p imes q} {mathcal {Z}} ^ { *} & {mathcal {Y}} _ {q imes q} end {matrix}} ight), qquad {mathcal {X}} ^ {*} = - {mathcal {X}}, {mathcal {Y}} ^ {*} = - {mathcal {Y}}}$

(9)

uspokojí

${displaystyle Phi ^ {- 1} {mathcal {Q}} ^ {*} Phi = - {mathcal {Q}},}$

viz část o u(p, q). Při práci s množením kvaternionové matice je nutná opatrnost, ale pouze zde Já a -Já jsou zapojeny a ty dojíždějí s každou čtveřicí matice. Nyní použijte předpis (8) ke každému bloku,

${displaystyle {mathcal {X}} = left ({egin {matrix} X_ {1 (p imes p)} & - {overline {X}} _ {2} X_ {2} & {overline {X}} _ {1} end {matrix}} ight), {mathcal {Y}} = left ({egin {matrix} Y_ {1 (q imes q)} & - {overline {Y}} _ {2} Y_ {2 } & {overline {Y}} _ {1} end {matrix}} ight), {mathcal {Z}} = left ({egin {matrix} Z_ {1 (p imes q)} & - {overline {Z} } _ {2} Z_ {2} & {overline {Z}} _ {1} end {matrix}} ight),}$

a vztahy v (9) bude spokojen, pokud

${displaystyle X_ {1} ^ {*} = - X_ {1}, Y_ {1} ^ {*} = - Y_ {1}.}$

Lie algebra se stává

${displaystyle {mathfrak {sp}} (p, q) = left {left (left. {egin {matrix} {egin {bmatrix} X_ {1 (p imes p)} & - {overline {X}} _ {2 } X_ {2} & {overline {X}} _ {1} end {bmatrix}} & {egin {bmatrix} Z_ {1 (p imes q)} & - {overline {Z}} _ {2} Z_ {2} & {overline {Z}} _ {1} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} Z_ {1 (p imes q)} & - {overline {Z}} _ {2} Z_ { 2} & {overline {Z}} _ {1} end {bmatrix}} ^ {*} & {egin {bmatrix} Y_ {1 (q imes q)} & - {overline {Y}} _ {2} Y_ {2} & {overline {Y}} _ {1} end {bmatrix}} end {matrix}} ight) ight | X_ {1} ^ {*} = - X_ {1}, Y_ {1} ^ { *} = - Y_ {1} ight}.}$

Skupina je dána

${displaystyle mathrm {Sp} (p, q) = {gin mathrm {GL} (n, mathbb {H}) | I_ {p, q} ^ {- 1} g ^ {*} I_ {p, q} g = I_ {p + q}} = {gin mathrm {GL} (2n, mathbb {C}) | K_ {p, q} ^ {- 1} g ^ {*} K_ {p, q} g = I_ { 2 (p + q)}, qquad K = mathrm {diag} (I_ {p, q}, I_ {p, q})}}}$

Návrat k normální formě φ(w, z) pro Sp (p, q), proveďte substituce w → u + jv a z → X + jy s u, v, x, y ∈ Cⁿ. Pak

${displaystyle varphi (w, z) = {egin {bmatrix} u ^ {*} & v ^ {*} end {bmatrix}} K_ {p, q} {egin {bmatrix} x yend {bmatrix}} + j { egin {bmatrix} u & -vend {bmatrix}} K_ {p, q} {egin {bmatrix} y xend {bmatrix}} = varphi _ {1} (w, z) + mathbf {j} varphi _ {2} (w, z), qquad K_ {p, q} = mathrm {diag} (I_ {p, q}, I_ {p, q})}$

zobrazeno jako H-hodnotící formulář na C²ⁿ.^[19] Tak prvky Sp (p, q), nahlíženo jako lineární transformace C²ⁿ, zachovat jak hermitovskou formu podpisu (2p, 2q)a nedegenerovaný symetrický tvar zkosení. Obě formy nabývají čistě komplexních hodnot a vzhledem k prefaktoru j druhé formy jsou samostatně konzervovány. Tohle znamená tamto

${displaystyle mathrm {Sp} (p, q) = mathrm {U} (mathbb {C} ^ {2n}, varphi _ {1}) cap mathrm {Sp} (mathbb {C} ^ {2n}, varphi _ { 2})}$

a to vysvětluje jak název skupiny, tak notaci.

Ó^∗(2n) = O (n, H) - kvartérní ortogonální skupina

Normální forma pro zkosovo-hermitskou formu je dána vztahem

${displaystyle varphi (x, y) = {ar {xi _ {1}}} mathbf {j} eta _ {1} + {ar {xi _ {2}}} mathbf {j} eta _ {2} cdots + {ar {xi _ {n}}} mathbf {j} eta _ {n},}$

kde j je třetí základní čtveřice v objednaném seznamu (1, i, j, k). V tomto případě, Aut (φ) = O.^∗(2n) lze realizovat pomocí komplexního maticového kódování výše, jako podskupiny O (2n, C) který zachovává nedegenerovanou složitou šikmo-hermitskou formu podpisu (n, n).^[20] Z normální formy to člověk vidí v kvaternionické notaci

${displaystyle Phi = left ({egin {smallmatrix} mathbf {j} & 0 & cdots & 0 0 & mathbf {j} & cdots & vdots vdots && ddots && 0 & cdots & 0 & mathbf {j} end {smallmatrix}} ight) equiv mathrm {j} _ {n} }$

a od (6) z toho vyplývá

${displaystyle -Phi V ^ {*} Phi = -VLeftrightarrow V ^ {*} = mathrm {j} _ {n} Vmathrm {j} _ {n}.}$

(9)

pro PROTI ∈ Ó(2n). Nyní

${displaystyle V = X + mathbf {j} Yleftrightarrow left ({egin {matrix} X & - {overline {Y}} Y & {overline {X}} end {matrix}} ight)}$

podle předpisu (8). Stejný předpis výnosy pro Φ,

${displaystyle Phi leftrightarrow left ({egin {matrix} 0 & -I_ {n} I_ {n} & 0end {matrix}} ight) equiv J_ {n}.}$

Nyní poslední podmínka v (9) ve složité notaci čte

${displaystyle left ({egin {matrix} X & - {overline {Y}} Y & {overline {X}} end {matrix}} ight) ^ {*} = left ({egin {matrix} 0 & -I_ {n} I_ {n} & 0end {matrix}} ight) left ({egin {matrix} X & - {overline {Y}} Y & {overline {X}} end {matrix}} ight) left ({egin {matrix} 0 ight) -I_ {n} I_ {n} & 0end {matrix}} ight) Leftrightarrow X ^ {mathrm {T}} = - X, quad {overline {Y}} ^ {mathrm {T}} = Y.}$

Lie algebra se stává

${displaystyle {mathfrak {o}} ^ {*} (2n) = left {left.left ({egin {matrix} X & - {overline {Y}} Y & {overline {X}} end {matrix}} ight) ight | X ^ {mathrm {T}} = - X, quad {overline {Y}} ^ {mathrm {T}} = Yight},}$

a skupina je dána

${displaystyle mathrm {O} ^ {*} (2n) = {gin mathrm {GL} (n, mathbb {H}) | mathrm {j} _ {n} ^ {- 1} g ^ {*} mathrm {j } _ {n} g = I_ {n}} = {gin mathrm {GL} (2n, mathbb {C}) | J_ {n} ^ {- 1} g ^ {*} J_ {n} g = I_ { 2n}}.}$

Skupina TAK^∗(2n) lze charakterizovat jako

${displaystyle mathrm {O} ^ {*} (2n) = {gin mathrm {O} (2n, mathbb {C}) | heta ({overline {g}}) = g},}$^[21]

kde je mapa θ: GL (2n, C) → GL (2n, C) je definováno G ↦ −J_2ngJ_2nFormulář určující skupinu lze také zobrazit jako H-hodnotící formulář na C²ⁿ.^[22] Proveďte náhrady X → w₁ + iw₂ a y → z₁ + iz₂ ve výrazu pro formulář. Pak

${displaystyle varphi (x, y) = {overline {w}} _ {2} I_ {n} z_ {1} - {overline {w}} _ {1} I_ {n} z_ {2} + mathbf {j } (w_ {1} I_ {n} z_ {1} + w_ {2} I_ {n} z_ {2}) = {overline {varphi _ {1} (w, z)}} + mathbf {j} varphi _ {2} (w, z).}$

Formulář φ₁ je Hermitian (zatímco první forma na levé straně je šikmo-Hermitian) podpisu (n, n). Podpis je evidentní změnou základu z (E, F) na ((E + iF)/√2, (E − iF)/√2) kde E, F jsou první a poslední n základní vektory. Druhá forma, φ₂ je symetrický pozitivní určitý. Tedy kvůli faktoru j, Ó^∗(2n) zachovává samostatně a lze vyvodit závěr, že

${displaystyle mathrm {O} ^ {*} (2n) = mathrm {O} (2n, mathbb {C}) cap mathrm {U} (mathbb {C} ^ {2n}, varphi _ {1}),}$

a je vysvětlen zápis „O“.

Klasické skupiny přes obecná pole nebo algebry

Obzvláště zajímavé jsou klasické skupiny, obecněji uvažované v algebře maticové skupiny. Když pole  F koeficientů maticové skupiny je buď reálné číslo, nebo komplexní čísla, jedná se pouze o klasické Lieovy skupiny. Když je pozemní pole a konečné pole, pak jsou klasické skupiny skupiny typu Lie. Tyto skupiny hrají důležitou roli v EU klasifikace konečných jednoduchých skupin. Jeden může také uvažovat o klasických skupinách nad unitalem asociativní algebra  R přes F; kde R = H (algebra nad reálemi) představuje důležitý případ. Z důvodu obecnosti bude článek odkazovat na celé skupiny R, kde R může být pozemní poleF sám.

Vzhledem k jejich teorii abstraktních skupin má mnoho lineárních skupin „speciální"podskupina, obvykle sestávající z prvků určující 1 nad pozemním polem a většina z nich má přidružené „projektivní"kvocienty, které jsou kvocienty středem skupiny. Pro ortogonální skupiny v charakteristice 2 má" S "jiný význam.

Slovo "Všeobecné„před názvem skupiny obvykle znamená, že skupině je dovoleno vynásobit nějaký druh formy konstantou, místo aby ji nechala pevnou. Dolní index n obvykle udává rozměr modul na které skupina jedná; to je vektorový prostor -li R = F. Upozornění: tato notace se poněkud střetává s n Dynkinových diagramů, což je hodnost.

Obecné a speciální lineární skupiny

The obecná lineární skupina GL_n(R) je skupina všech R-lineární automorfismy z Rⁿ. Existuje podskupina: speciální lineární skupina SL_n(R) a jejich kvocienty: projektivní obecná lineární skupina PGL_n(R) = GL_n(R) / Z (GL_n(R)) a projektivní speciální lineární skupina PSL_n(R) = SL_n(R) / Z (SL_n(R)). Projektivní speciální lineární skupina PSL_n(F) přes pole F je jednoduché pro n ≥ 2, s výjimkou dvou případů, kdy n = 2 a pole má pořadí^{[je zapotřebí objasnění ]} 2 nebo 3.

Unitární skupiny

The jednotná skupina U_n(R) je skupina zachovávající a sesquilineární forma na modulu. Existuje podskupina, speciální jednotná skupina SU_n(R) a jejich kvocienty projektivní unitární skupina PU_n(R) = U_n(R) / Z (U_n(R)) a projektivní speciální jednotná skupina PSU_n(R) = SU_n(R) / Z (SU_n(R))

Symplektické skupiny

The symplektická skupina Sp_2n(R) zachovává a zkosit symetrický tvar na modulu. Má kvocient, projektivní symplektická skupina PSp_2n(R). The obecná symplektická skupina GSp_2n(R) se skládá z automorfismů modulu, který vynásobí zkosenou symetrickou formu nějakým invertibilním skalárem. Projektivní symplektická skupina PSp_2n(F_q) přes konečné pole je jednoduché pro n ≥ 1, s výjimkou případů PSp₂ přes pole dvou a tří prvků.

Ortogonální skupiny

The ortogonální skupina Ó_n(R) zachovává nedegenerovanou kvadratickou formu na modulu. Existuje podskupina, speciální ortogonální skupina TAK_n(R) a kvocienty, projektivní ortogonální skupina PO_n(R) a projektivní speciální ortogonální skupina PSO_n(R). V charakteristice 2 je determinant vždy 1, takže speciální ortogonální skupina je často definována jako podskupina prvků Dicksonův invariant 1.

Existuje bezejmenná skupina často označovaná Ω_n(R) sestávající z prvků ortogonální skupiny prvků z spinorova norma 1, s odpovídajícími podskupinami a kvocientovými skupinami SΩ_n(R), PΩ_n(R), PSΩ_n(R). (U pozitivních definitivních kvadratických forem nad reálemi je skupina Ω stejná jako ortogonální skupina, ale obecně je menší.) Existuje také dvojité krytí Ω_n(R), nazvaný skupina čepů Kolík_n(R) a má podskupinu nazvanou spinová skupina Roztočit_n(R). The obecná ortogonální skupina JÍT_n(R) se skládá z automorfismů modulu, který vynásobí kvadratickou formu nějakým invertibilním skalárem.

Notační konvence

Kontrastujte s výjimečnými Lieovými skupinami

Kontrastem s klasickými Lieovými skupinami jsou výjimečné Lie skupiny, G.₂, F₄, E.₆, E.₇, E.₈, které sdílejí své abstraktní vlastnosti, ale ne jejich známost.^[23] These were only discovered around 1890 in the classification of the simple Lie algebras over the complex numbers by Wilhelm Killing a Élie Cartan.

Poznámky

Reference

• E. Artin (1957) Geometrická algebra, Mezivědní
• Dieudonné, Jean (1955), La géométrie des groupes classiques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (N.F.), Heft 5, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-05391-2, PAN  0072144
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (2009), Symetrie, reprezentace a invarianty„Postgraduální texty z matematiky, 255, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-79851-6
• Knapp, A. W. (2002). Skupiny lži nad rámec úvodu. Pokrok v matematice. 120 (2. vyd.). Boston · Basilej · Berlín: Birkhäuser. ISBN  0-8176-4259-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• V. L. Popov (2001) [1994], "Classical group", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN  0 19 859683 9