Složitění - Complexification

v matematika, komplexifikace a vektorový prostor $PROTI$ přes pole reálných čísel („skutečný vektorový prostor“) získá vektorový prostor $PROTI ℂ$ přes komplexní číslo pole, získané formálním rozšířením měřítka vektorů o reálná čísla tak, aby zahrnovalo jejich měřítko („násobení“) o komplexní čísla. Žádný základ pro $PROTI$ (mezera nad reálnými čísly) může také sloužit jako základ pro $PROTI ℂ$ přes komplexní čísla.

Formální definice

Nechat $PROTI$ být skutečným vektorovým prostorem. The komplexifikace z $PROTI$ je definována převzetím tenzorový produkt z $PROTI$ s komplexními čísly (považovanými za 2dim (V) -dimenzionální vektorový prostor nad reálemi):

{ displaystyle V ^ { mathbb {C}} = V otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C} ,.}

Dolní index, ${ displaystyle mathbb {R}}$ , na tenzorovém součinu označuje, že tenzorový součin převezme reálná čísla (od $PROTI$ je skutečný vektorový prostor, je to stejně jediná rozumná možnost, takže index lze bezpečně vynechat). Jak to stojí, $PROTI ℂ$ je pouze skutečný vektorový prostor. Můžeme však udělat $PROTI ℂ$ do komplexního vektorového prostoru definováním komplexního násobení následujícím způsobem:

{ displaystyle alpha (proti otimes beta) = proti otimes ( alpha beta) qquad { mbox {pro všechny}} proti ve V { mbox {a}} alfa, beta v mathbb {C} ,.}

Obecněji je příkladem složitost rozšíření skalárů - zde rozšíření skalárů z reálných čísel na komplexní čísla - což lze provést pro libovolné rozšíření pole, nebo dokonce pro jakýkoli morfismus prstenů.

Formálně je složitost a funktor Vect_$ℝ$ → Vect_$ℂ$, z kategorie reálných vektorových prostorů do kategorie komplexních vektorových prostorů. To je adjunkční funktor - konkrétně vlevo adjoint - do zapomnětlivý funktor Vect_$ℂ$ → Vect_$ℝ$ zapomenout na složitou strukturu.

Toto zapomenutí na složitou strukturu komplexního vektorového prostoru ${ displaystyle V}$ je nazýván dekomplexifikace (nebo někdy „realizace“). Dekomplexifikace komplexního vektorového prostoru ${ displaystyle V}$ se základem ${ displaystyle e _ { mu}}$ odstraňuje možnost komplexního násobení skalárů, čímž se získá skutečný vektorový prostor ${ displaystyle W _ { mathbb {R}}}$ dvojnásobné dimenze se základnou ${ displaystyle {e _ { mu}, tj. _ { mu} }}$ .^[1]

Základní vlastnosti

Podle povahy tenzorového produktu každý vektor $proti$ v $PROTI ℂ$ lze napsat jednoznačně ve formě

{ displaystyle v = v_ {1} otimes 1 + v_ {2} otimes i}

kde $proti 1$ a $proti 2$ jsou vektory v $PROTI$ . Je běžnou praxí upustit symbol produktu tensor a jednoduše psát

{ displaystyle v = v_ {1} + iv_ {2}. ,}

Násobení komplexním číslem $A + já b$ je pak dáno obvyklým pravidlem

{ displaystyle (a + ib) (v_ {1} + iv_ {2}) = (av_ {1} -bv_ {2}) + i (bv_ {1} + av_ {2}). ,}

Můžeme to pak považovat $PROTI ℂ$ jako přímý součet dvou kopií $PROTI$ :

{ displaystyle V ^ { mathbb {C}} cong V oplus iV}

s výše uvedeným pravidlem pro násobení komplexními čísly.

Existuje přirozené zakotvení $PROTI$ do $PROTI ℂ$ dána

{ displaystyle v mapsto proti otimes 1.}

Vektorový prostor $PROTI$ pak lze považovat za nemovitý podprostor z $PROTI ℂ$ . Li $PROTI$ má základ ${E i}$ (přes pole $ℝ$ ) pak odpovídající základ pro $PROTI ℂ$ darováno ${E i \otimes 1 }$ přes pole $ℂ$ . Komplex dimenze z $PROTI ℂ$ se tedy rovná skutečné dimenzi $PROTI$ :

{ displaystyle dim _ { mathbb {C}} V ^ { mathbb {C}} = dim _ { mathbb {R}} V.}

Alternativně, místo použití tenzorových produktů, lze použít tento přímý součet jako definice komplexifikace:

{ displaystyle V ^ { mathbb {C}}: = V oplus V,}

kde ${ displaystyle V ^ { mathbb {C}}}$ dostává a lineární komplexní struktura provozovatelem $J$ definováno jako ${ displaystyle J (v, w): = (- w, v),}$ kde $J$ kóduje operaci „násobení pomocí $i$ “. V maticové formě, $J$ darováno:

{ displaystyle J = { begin {bmatrix} 0 & -I_ {V} I_ {V} & 0 end {bmatrix}}.}

Tím se získá identický prostor - skutečný vektorový prostor s lineární komplexní strukturou je identická data s komplexním vektorovým prostorem - i když tento prostor konstruuje jinak. V souladu s tím ${ displaystyle V ^ { mathbb {C}}}$ lze psát jako ${ displaystyle V oplus JV}$ nebo ${ displaystyle V oplus iV,}$ identifikace $PROTI$ s prvním přímým součtem. Tento přístup je konkrétnější a má tu výhodu, že se vyhne použití technicky zapojeného tenzorového produktu, ale je ad hoc.

Příklady

Složitost skutečný souřadnicový prostor $ℝ n$ je komplexní souřadnicový prostor $ℂ n$ .
Stejně tak, pokud $PROTI$ se skládá z $m \times n$ matice se skutečnými vstupy, $PROTI ℂ$ by se skládala z $m \times n$ matice se složitými záznamy.

Dickson zdvojnásobil

Proces komplexizace přechodem od $ℝ$ na $ℂ$ byl odebrán matematiky dvacátého století včetně Leonard Dickson. Jeden začíná používáním mapování identity $X * = X$ jako triviální involuce na $ℝ$ . Další dvě kopie ℝ se používají k vytvoření $z = (a, b)$ s komplexní konjugace zavedena jako involuce $z * = (A, - b)$ . Dva prvky $w$ a $z$ ve zdvojené množině vynásobte

{ displaystyle wz = (a, b) krát (c, d) = (ac - d ^ {*} b, da + bc ^ {*}).}

Nakonec se zdvojnásobené sadě dostane a norma $N (z) = z * z$ . Při startu od $ℝ$ s involucí identity je zdvojená sada $ℂ$ s normou $A 2 + b 2$ Pokud se jeden zdvojnásobí $ℂ$ a používá konjugaci (a, b)* = (A*, –b), stavební výnosy čtveřice. Zdvojnásobení opět produkuje octonions, nazývaná také Cayleyova čísla. To bylo v tomto bodě, kdy Dickson v roce 1919 přispěl k odhalení algebraické struktury.

Proces lze také zahájit pomocí $ℂ$ a triviální involuce $z * = z$ . Vytvořená norma je jednoduše $z 2$ , na rozdíl od generace $ℂ$ zdvojnásobením $ℝ$ . Když tohle $ℂ$ zdvojnásobuje produkuje dvojkomplexní čísla a zdvojnásobení, které produkuje biquaternions a opětovné zdvojnásobení má za následek bioktoniony. Když je základní algebra asociativní, algebra produkovaná touto konstrukcí Cayley-Dickson se nazývá složení algebra protože je možné ukázat, že má tuto vlastnost

{ displaystyle N (p , q) = N (p) , N (q) ,.}

Složitá konjugace

Složitý vektorový prostor $PROTI ℂ$ má více struktury než obyčejný komplexní vektorový prostor.^{[potřebný příklad ]} Dodává se s kanonický komplexní konjugace mapa:

{ displaystyle chi: V ^ { mathbb {C}} {{overline {V ^ { mathbb {C}}}}}

definován

{ displaystyle chi (v otimes z) = v otimes { bar {z}}.}

Mapa $χ$ lze považovat za konjugovaná lineární mapa z $PROTI ℂ$ sám o sobě nebo jako komplexní lineární izomorfismus z $PROTI ℂ$ k jeho komplexní konjugát ${ displaystyle { overline {V ^ { mathbb {C}}}}}$ .

Naopak, vzhledem ke složitému vektorovému prostoru $Ž$ se složitou konjugací $χ$ , $Ž$ je izomorfní jako komplexní vektorový prostor ke komplexizaci $PROTI ℂ$ skutečného podprostoru

{ displaystyle V = {w ve W: chi (w) = w }.}

Jinými slovy, všechny složité vektorové prostory se složitou konjugací představují komplexizaci skutečného vektorového prostoru.

Například když $Ž = ℂ n$ se standardní komplexní konjugací

{ displaystyle chi (z_ {1}, ldots, z_ {n}) = ({ bar {z}} _ {1}, ldots, { bar {z}} _ {n})}

neměnný podprostor $PROTI$ je jen skutečný podprostor $ℝ n$ .

Lineární transformace

Vzhledem k tomu, skutečné lineární transformace $F : PROTI \to Ž$ mezi dvěma reálnými vektorovými prostory existuje přirozená komplexní lineární transformace

{ displaystyle f ^ { mathbb {C}}: V ^ { mathbb {C}} do W ^ { mathbb {C}}}

dána

{ displaystyle f ^ { mathbb {C}} (v otimes z) = f (v) otimes z.}

Mapa ${ displaystyle f ^ { mathbb {C}}}$ se nazývá komplexifikace z F. Složitost lineárních transformací splňuje následující vlastnosti

${ displaystyle ( mathrm {id} _ {V}) ^ { mathbb {C}} = mathrm {id} _ {V ^ { mathbb {C}}}}$
${ displaystyle (f circ g) ^ { mathbb {C}} = f ^ { mathbb {C}} circ g ^ { mathbb {C}}}$
${ displaystyle (f + g) ^ { mathbb {C}} = f ^ { mathbb {C}} + g ^ { mathbb {C}}}$
${ displaystyle (af) ^ { mathbb {C}} = af ^ { mathbb {C}} quad forall a in mathbb {R}}$

V jazyce teorie kategorií jeden říká, že komplexizace definuje (přísada ) funktor z kategorie skutečných vektorových prostorů do kategorie komplexních vektorových prostorů.

Mapa $F ℂ$ dojíždí s časováním a tak mapuje skutečný podprostor PROTI^ℂ do skutečného podprostoru $Ž ℂ$ (přes mapu $F$ ). Navíc komplexní lineární mapa $G : PROTI ℂ \to Ž ℂ$ je komplexizace skutečné lineární mapy právě tehdy, pokud dojíždí s konjugací.

Jako příklad zvažte lineární transformaci z $ℝ n$ na $ℝ m$ myšlenka jako $m \times n$ matice. Složitost této transformace je přesně stejná matice, ale nyní je považována za lineární mapu z $ℂ n$ na $ℂ m$ .

Duální prostory a tenzorové produkty

The dvojí skutečného vektorového prostoru $PROTI$ je prostor $PROTI *$ všech skutečných lineárních map z $PROTI$ na $ℝ$ . Komplexizace $PROTI *$ lze přirozeně považovat za prostor všech skutečných lineárních map z $PROTI$ na $ℂ$ (označeno $Hom ℝ (PROTI, ℂ)$ ). To znamená

{ displaystyle (V ^ {*}) ^ { mathbb {C}} = V ^ {*} otimes mathbb {C} cong mathrm {Hom} _ { mathbb {R}} (V, mathbb {C}).}

Izomorfismus je dán vztahem

{ displaystyle ( varphi _ {1} vícekrát 1+ varphi _ {2} vícekrát i) leftrightarrow varphi _ {1} + i varphi _ {2}}

kde $φ 1$ a $φ 2$ jsou prvky $PROTI *$ . Složitá konjugace je pak dána obvyklou operací

{ displaystyle { overline { varphi _ {1} + i varphi _ {2}}} = varphi _ {1} -i varphi _ {2}}

Vzhledem ke skutečné lineární mapě $φ: PROTI \to ℂ$ můžeme rozšířit o linearitu, abychom získali komplexní lineární mapu $φ: PROTI ℂ \to ℂ$ . To znamená

{ displaystyle varphi (v otimes z) = z varphi (v).}

Toto rozšíření poskytuje izomorfismus z $Hom ℝ (PROTI, ℂ)$ na $Hom ℂ (PROTI ℂ, ℂ)$ . Ten druhý je jen komplex duální prostor do $PROTI ℂ$ , takže máme přirozený izomorfismus:

{ displaystyle (V ^ {*}) ^ { mathbb {C}} cong (V ^ { mathbb {C}}) ^ {*}.}

Obecněji řečeno, vzhledem k reálným vektorovým prostorům $PROTI$ a $Ž$ existuje přirozený izomorfismus

{ displaystyle mathrm {Hom} _ { mathbb {R}} (V, W) ^ { mathbb {C}} cong mathrm {Hom} _ { mathbb {C}} (V ^ { mathbb {C}}, W ^ { mathbb {C}}).}

Složitost také dojíždí s operacemi odběru tenzorové výrobky, vnější síly a symetrické síly. Například pokud $PROTI$ a $Ž$ jsou skutečné vektorové prostory existuje přirozený izomorfismus

{ displaystyle (V otimes _ { mathbb {R}} W) ^ { mathbb {C}} cong V ^ { mathbb {C}} otimes _ { mathbb {C}} W ^ { mathbb {C}} ,.}

Všimněte si, že levý tenzorový produkt je převzat nad realitami, zatímco pravý je převzat z komplexů. Stejný vzorec platí obecně. Například jeden má

{ displaystyle ( Lambda _ { mathbb {R}} ^ {k} V) ^ { mathbb {C}} cong Lambda _ { mathbb {C}} ^ {k} (V ^ { mathbb {C}}).}

Ve všech případech jsou „zřetelnými“ izomorfismy.

Viz také

Reference

^ Kostrikin, Alexej I .; Manin, Yu I. (14. července 1989). Lineární algebra a geometrie. CRC Press. str. 75. ISBN 978-2881246838.

Halmos, Paul (1974) [1958]. Konečně-dimenzionální vektorové prostory. Springer. s. 41 a § 77 Složitění, s. 150–153. ISBN 0-387-90093-4.

Shaw, Ronald (1982). Lineární algebra a skupinové reprezentace. Sv. I: Lineární algebra a úvod do skupinových reprezentací. Akademický tisk. str.196. ISBN 0-12-639201-3.

Roman, Steven (2005). Pokročilá lineární algebra. Postgraduální texty z matematiky. 135 (2. vyd.). New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.

[1] Kostrikin, Alexej I .; Manin, Yu I. (14. července 1989). Lineární algebra a geometrie. CRC Press. str. 75. ISBN 978-2881246838.

[1]