Engelsova věta - Engels theorem - Wikipedia

v teorie reprezentace, obor matematiky, Engelova věta uvádí, že konečně-dimenzionální Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní Lie algebra jen a jen pokud pro každého ${ displaystyle X v { mathfrak {g}}}$, adjoint mapa

${ displaystyle operatorname {ad} (X) dvojtečka { mathfrak {g}} až { mathfrak {g}},}$

dána ${ displaystyle operatorname {ad} (X) (Y) = [X, Y]}$, je nilpotentní endomorfismus na ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$; tj., ${ displaystyle operatorname {ad} (X) ^ {k} = 0}$ pro některé k.^[1] Je to důsledek věty, nazývané také Engelova věta, která říká, že pokud Lieova algebra matic sestává z nilpotentních matic, pak je možné všechny matice současně přenést na přísně horní trojúhelníkový formulář.

Věta je pojmenována po matematikovi Friedrich Engel, který o tom načrtl dopis v dopise Wilhelm Killing ze dne 20. července 1890 (Hawkins 2000, str. 176). Engelův student K.A. Umlauf ve své disertační práci z roku 1891 poskytl úplný důkaz, přetištěný jako (Umlauf 2010 ).

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$ být Lieova algebra endomorfismů konečného trojrozměrného vektorového prostoru PROTI a ${ displaystyle { mathfrak {g}} podmnožina { mathfrak {gl}} (V)}$ subalgebra. Potom Engelova věta uvádí, že následující jsou ekvivalentní:

1. Každý ${ displaystyle X v { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní endomorfismus PROTI.
2. Existuje vlajka ${ displaystyle V = V_ {0} supset V_ {1} supset cdots supset V_ {n} = 0, , operatorname {codim} V_ {i} = i}$ takhle ${ displaystyle { mathfrak {g}} cdot V_ {i} podmnožina V_ {i + 1}}$; tj. prvky ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ jsou současně přísně horní trojúhelníkové.

U základního základního pole není vyžadován žádný předpoklad.

Bereme na vědomí, že prohlášení 2. pro různé ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a PROTI je ekvivalentní s tvrzením

Pro každý nenulový konečný trojrozměrný vektorový prostor PROTI a subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}} podmnožina { mathfrak {gl}} (V)}$, existuje nenulový vektor proti v PROTI takhle ${ displaystyle X (v) = 0}$ pro každého ${ displaystyle X v { mathfrak {g}}.}$

Toto je forma věty prokázané v #Důkaz. (Toto tvrzení je triviálně ekvivalentní s Příkazem 2, protože umožňuje člověku induktivně postavit příznak s požadovanou vlastností.)

Obecně platí, že Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ se říká, že je nilpotentní pokud spodní centrální série z toho zmizí v konečném kroku; tj. pro ${ displaystyle C ^ {0} { mathfrak {g}} = { mathfrak {g}}, C ^ {i} { mathfrak {g}} = [{ mathfrak {g}}, C ^ {i -1} { mathfrak {g}}]}$ = (i+1) -tá síla ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, některé jsou k takhle ${ displaystyle C ^ {k} { mathfrak {g}} = 0}$. Potom Engelova věta dává teorém (také nazývaný Engelova věta): kdy ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ má konečný rozměr, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní právě tehdy ${ displaystyle operatorname {reklama} (X)}$ je nilpotentní pro každého ${ displaystyle X v { mathfrak {g}}}$.

Opravdu, pokud ${ displaystyle operatorname {ad} ({ mathfrak {g}})}$ skládá se z nilpotentních operátorů, poté o 1. ${ displaystyle Leftrightarrow}$ 2. aplikován na algebru ${ displaystyle operatorname {ad} ({ mathfrak {g}}) podmnožina { mathfrak {gl}} ({ mathfrak {g}})}$, existuje vlajka ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {g}} _ {0} supset { mathfrak {g}} _ {1} supset cdots supset { mathfrak {g}} _ { n} = 0}$ takhle ${ displaystyle [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}} _ {i}] podmnožina { mathfrak {g}} _ {i + 1}}$. Od té doby ${ displaystyle C ^ {i} { mathfrak {g}} podmnožina { mathfrak {g}} _ {i}}$, z toho vyplývá ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní. (Konverzace vyplývá přímo z definice.)

Důkaz

Dokazujeme následující formu věty:^[2] -li ${ displaystyle { mathfrak {g}} podmnožina { mathfrak {gl}} (V)}$ je Lieova subalgebra taková, že každá ${ displaystyle X v { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní endomorfismus a pokud PROTI má pozitivní rozměr, pak existuje nenulový vektor proti v PROTI takhle ${ displaystyle X (v) = 0}$ pro každého X v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Důkaz je indukcí na rozměru ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a skládá se z několika kroků. (Všimněte si, že struktura důkazu je velmi podobná struktuře pro Lieova věta, který se týká řešitelné algebry.) Základní případ je triviální a předpokládáme rozměr ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je pozitivní.

Krok 1: Najděte ideál ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ codimension jeden v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Toto je nejtěžší krok. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ být maximální (správnou) subalgebrou ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, který existuje konečnou dimenzionálností. Tvrdíme, že je ideální a má kodimenzionální. Pro každého ${ displaystyle X v { mathfrak {h}}}$, je snadné zkontrolovat, že (1) ${ displaystyle operatorname {reklama} (X)}$ indukuje lineární endomorfismus ${ displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {h}} do { mathfrak {g}} / { mathfrak {h}}}$ a (2) tato indukovaná mapa je nilpotentní (ve skutečnosti ${ displaystyle operatorname {reklama} (X)}$ je nilpotentní). Induktivní hypotézou tedy existuje nenulový vektor proti v ${ displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {h}}}$ takhle ${ displaystyle operatorname {ad} (X) (v) = 0}$ pro každého ${ displaystyle X v { mathfrak {h}}}$. To znamená, pokud ${ displaystyle v = [Y]}$ pro některé Y v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ale ne v ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, pak ${ displaystyle [X, Y] = operatorname {ad} (X) (Y) v { mathfrak {h}}}$ pro každého ${ displaystyle X v { mathfrak {h}}}$. Ale pak podprostor ${ displaystyle { mathfrak {h}} ' podmnožina { mathfrak {g}}}$ překlenul ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ a Y je Lieova subalgebra, ve které ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ je ideální. Proto, podle maximality, ${ displaystyle { mathfrak {h}} '= { mathfrak {g}}}$. To dokazuje nárok.

Krok 2: Nechte ${ displaystyle W = {v v V | X (v) = 0, X v { mathfrak {h}} }}$. Pak ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ stabilizuje Ž; tj., ${ displaystyle X (v) ve W}$ pro každého ${ displaystyle X v { mathfrak {g}}, v ve W}$.

Opravdu, pro ${ displaystyle Y}$ v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, my máme: ${ displaystyle X (Y (v)) = Y (X (v)) + [X, Y] (v) = 0}$ od té doby ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ je ideální a tak ${ displaystyle [X, Y] v { mathfrak {h}}}$. Tím pádem, ${ displaystyle Y (v)}$ je v Ž.

Krok 3: Dokončete důkaz tím, že najdete nenulový vektor, který bude zabit ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Psát si ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} + L}$ kde L je jednorozměrný vektorový podprostor. Nechat Y být nenulovým vektorem v L a proti nenulový vektor v Ž. Nyní, ${ displaystyle Y}$ je nilpotentní endomorfismus (podle hypotézy) atd ${ displaystyle Y ^ {k} (v) neq 0, Y ^ {k + 1} (v) = 0}$ pro některé k. Pak ${ displaystyle Y ^ {k} (v)}$ je požadovaný vektor, protože vektor leží v Ž krokem 2. ${ displaystyle square}$

Viz také

• Lieova věta
• Skupina Heisenberg

Poznámky

Citace

Citované práce