Diferenciálně odstupňovaná Lieova algebra - Differential graded Lie algebra

v matematika, zejména abstraktní algebra a topologie, a diferenciálně odstupňovaná Lieova algebra (nebo dg Lie algebranebo dgla) je odstupňovaný vektorový prostor s přidaným Lež algebra a řetězový komplex struktury, které jsou kompatibilní. Takové objekty mají aplikace v teorie deformace^[1] a racionální teorie homotopy.

Definice

A diferenciálně odstupňovaná Lie algebra je odstupňovaný vektorový prostor ${ displaystyle L = bigoplus L_ {i}}$ nad polem charakteristické nuly spolu s bilineární mapou ${ displaystyle [ cdot, cdot] dvojtečka L_ {i} další L_ {j} až L_ {i + j}}$ a diferenciál ${ displaystyle d: L_ {i} až L_ {i-1}}$ uspokojující

${ displaystyle [x, y] = (- 1) ^ {| x || y | +1} [y, x],}$

odstupňované Jacobi identita:

${ displaystyle (-1) ^ {| x || z |} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| y || x |} [y, [z, x]] + ( -1) ^ {| z || y |} [z, [x, y]] = 0,}$

a odstupňované Leibnizovo pravidlo:

${ displaystyle d [x, y] = [dx, y] + (- 1) ^ {| x |} [x, dy]}$

pro všechny homogenní prvky X, y a z v L. Všimněte si zde, že diferenciál snižuje stupeň, a proto je tento diferenciálně klasifikovaný Lie algebra považován za homologicky odstupňovaný. Pokud se místo diferenciálního zvýšeného stupně říká, že diferenciální klasifikovaná Lieova algebra je klasifikována cohomologicky (obvykle k posílení tohoto bodu je klasifikace napsána v horním indexu: ${ displaystyle L ^ {i}}$). Volba cohomologického třídění obvykle závisí na osobních preferencích nebo situaci, protože jsou rovnocenné: z homologicky odstupňovaného prostoru lze udělat cohomologický prostor nastavením ${ displaystyle L ^ {i} = L _ {- i}}$.

Alternativní ekvivalentní definice diferenciálně klasifikované Lieovy algebry zahrnují:

1. objekt Lie algebry interně v kategorii řetězových komplexů;
2. přísný ${ displaystyle L _ { infty}}$-algebra.

Morfismus diferenciálně odstupňovaných Lieových algeber je odstupňovaná lineární mapa ${ displaystyle f: L až L ^ { prime}}$ který dojíždí s držákem a diferenciálem, tj. ${ displaystyle f [x, y] _ {L} = [f (x), f (y)] _ {L ^ { prime}}}$ a ${ displaystyle f (d_ {L} x) = d_ {L ^ { prime}} f (x)}$. Diferenciálně odstupňované Lieovy algebry a jejich morfismy definují a kategorie.

Produkty a koprodukty

The produkt dvou diferenciálně odstupňovaných Lieových algeber, ${ displaystyle L krát L ^ { prime}}$, je definováno takto: vezměte přímý součet dvou odstupňovaných vektorových prostorů ${ displaystyle L oplus L ^ { prime}}$, nyní jej vybavte držákem ${ displaystyle [(x, x ^ { prime}), (y, y ^ { prime})] = ([x, y], [x ^ { prime}, y ^ { prime}]) }$ a diferenciál ${ displaystyle D (x, x ^ { prime}) = (dx, d ^ { prime} x ^ { prime})}$.

The koprodukt dvou diferenciálně odstupňovaných Lieových algeber, ${ displaystyle L * L ^ { prime}}$, se často nazývá produkt zdarma. Je definována jako volně odstupňovaná Lieova algebra na dvou podkladových vektorových prostorech s jedinečným rozdílem rozšiřujícím dva původní.

Spojení s teorií deformace

Hlavní aplikace je pro teorie deformace přes pole charakteristické nuly (zejména nad komplexními čísly.) Myšlenka sahá až k Daniel Quillen pracuje na racionální teorie homotopy. Jeden způsob, jak formulovat tuto práci (kvůli Vladimír Drinfeld, Boris Feigin, Pierre Deligne, Maxim Kontsevich a další) mohou být:^[1]

Jakýkoli rozumný problém formální deformace v charakteristice nula lze popsat Maurer-Cartanovými prvky vhodné diferenciálně odstupňované Lieovy algebry.

Prvek Maurer-Cartan je titul ${ displaystyle -1}$ živel, ${ displaystyle x v L _ {- 1}}$, to je řešení Maurer-Cartanova rovnice:

${ displaystyle dx + { frac {1} {2}} [x, x] = 0.}$

Viz také

• Diferenciálně odstupňovaná algebra (DGA)
• Zjednodušená algebra lži
• Homotopy Lie algebra

Reference

• Quillen, Daniel (1969), „Racionální teorie homotopie“, Annals of Mathematics, 90 (2): 205–295, doi:10.2307/1970725, JSTOR  1970725, PAN  0258031

Další čtení

• Jacob Lurie, Problémy formálních modulů, oddíl 2.1

externí odkazy

• diferenciálně odstupňovaná Lieova algebra v nLab
• modelová struktura na dg Lie algebrách v nLab