Pre-Lie algebra - Pre-Lie algebra - Wikipedia

v matematika, a předležácká algebra je algebraická struktura na vektorový prostor který popisuje některé vlastnosti objektů jako např zakořeněné stromy a vektorová pole na afinní prostor.

Pojem předlehlé algebry zavedl Murray Gerstenhaber ve své práci na deformace algeber.

Pre-Lie algebry byly zvažovány pod některými jinými jmény, mezi nimiž lze citovat levostranné symetrické algebry, pravostranné symetrické algebry nebo Vinbergovy algebry.

Definice

Pre-Lie algebra ${ displaystyle (V, triangleleft)}$ je vektorový prostor ${ displaystyle V}$ s bilineární mapou ${ displaystyle triangleleft: V otimes V to V}$, uspokojující vztah${ displaystyle (x triangleleft y) triangleleft z-x triangleleft (y triangleleft z) = (x triangleleft z) triangleleft y-x triangleleft (z triangleleft y).}$

Tuto identitu lze chápat jako invariantnost spolupracovník ${ displaystyle (x, y, z) = (x triangleleft y) triangleleft z-x triangleleft (y triangleleft z)}$ v rámci výměny dvou proměnných ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle z}$.

Každý asociativní algebra je tedy také předležácká algebra, protože asociator zmizí stejně. I když je slabší než asociativita, definující vztah předlehké algebry stále znamená, že komutátor ${ displaystyle x triangleleft y-y triangleleft x}$ je Lie lež. Zejména Jacobiho identita pro komutátora vyplývá z jízdy na kole ${ displaystyle x, y, z}$ termíny v definujícím vztahu pro pre-Lieovy algebry výše.

Příklady

Vektorová pole na afinním prostoru

Nechat ${ displaystyle U podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ být otevřeným sousedem města ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, parametrizováno proměnnými ${ displaystyle x_ {1}, cdots, x_ {n}}$. Vzhledem k tomu, vektorová pole ${ displaystyle u = u_ {i} částečné _ {x_ {i}}}$, ${ displaystyle v = v_ {j} částečné _ {x_ {j}}}$ definujeme ${ displaystyle u triangleleft v = v_ {j} { frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {j}}} částečné x_ {i}}$.

Rozdíl mezi ${ displaystyle (u triangleleft v) triangleleft w}$ a ${ displaystyle u triangleleft (proti triangleleft w)}$, je${ displaystyle (u triangleleft v) triangleleft wu triangleleft (v triangleleft w) = v_ {j} w_ {k} { frac { částečné ^ {2} u_ {i}} { částečné x_ {j } částečné x_ {k}}} částečné _ {x_ {i}}}$který je symetrický v ${ displaystyle v}$ a ${ displaystyle w}$. Tím pádem ${ displaystyle triangleleft}$ definuje strukturu předlehké algebry.

Vzhledem k rozmanitosti ${ displaystyle M}$ a homeomorfismy ${ displaystyle phi, phi '}$ z ${ displaystyle U, U ' podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ do překrývajících se otevřených čtvrtí ${ displaystyle M}$, každý z nich definuje strukturu předlehké algebry ${ displaystyle triangleleft, triangleleft '}$ na vektorových polích definovaných na překrytí. Zatímco ${ displaystyle triangleleft}$ nemusí souhlasit ${ displaystyle triangleleft '}$, jejich komutátoři souhlasí: ${ Displaystyle u triangleleft v-v triangleleft u = u triangleleft 'v-v triangleleft' u = [v, u]}$, Lieův držák ${ displaystyle v}$ a ${ displaystyle u}$.

Zakořeněné stromy

Nechat ${ displaystyle mathbb {T}}$ být volný vektorový prostor rozložené všemi zakořeněnými stromy.

Lze představit bilineární produkt ${ displaystyle curvearrowleft}$ na ${ displaystyle mathbb {T}}$ jak následuje. Nechat ${ displaystyle tau _ {1}}$ a ${ displaystyle tau _ {2}}$ být dva zakořeněné stromy.

${ displaystyle tau _ {1} curvearrowleft tau _ {2} = sum _ {s in mathrm {Vertices} ( tau _ {1})} tau _ {1} circ _ {s } tau _ {2}}$

kde ${ displaystyle tau _ {1} circ _ {s} tau _ {2}}$ je kořenový strom získaný přidáním k disjunktnímu sjednocení ${ displaystyle tau _ {1}}$ a ${ displaystyle tau _ {2}}$ hrana vedoucí z vrcholu ${ displaystyle s}$ z ${ displaystyle tau _ {1}}$ do kořenového vrcholu ${ displaystyle tau _ {2}}$.

Pak ${ displaystyle ( mathbb {T}, curvearrowleft)}$ je volný, uvolnit předležácká algebra na jednom generátoru. Obecněji řečeno, volná algebra před lžou na libovolné sadě generátorů je konstruována stejným způsobem ze stromů, přičemž každý vrchol je označen jedním z generátorů.

Reference

• Chapoton, F .; Livernet, M. (2001), „Pre-Lie algebras and the rooted trees operad“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 8 (8): 395–408, doi:10.1155 / S1073792801000198, PAN  1827084.
• Szczesny, M. (2010), Pre-Lie algebry a kategorie výskytu barevně zakořeněných stromů, 1007, str. 4784, arXiv:1007.4784, Bibcode:2010arXiv1007.4784S.