Operátor momentu hybnosti - Angular momentum operator - Wikipedia

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

v kvantová mechanika, operátor momentu hybnosti je jedním z několika souvisejících operátory analogický s klasickým moment hybnosti. Operátor momentu hybnosti hraje ústřední roli v teorii atomové a molekulární fyziky a dalších kvantových problémech rotační symetrie. V klasických i kvantově mechanických systémech je moment hybnosti (společně s lineární hybnost a energie ) je jednou ze tří základních vlastností pohybu.^[1]

Existuje několik operátorů momentu hybnosti: celková moment hybnosti (obvykle označeno J), orbitální moment hybnosti (obvykle označeno L), a točit moment hybnosti (roztočit zkráceně, obvykle označeno S). Termín operátor momentu hybnosti může (matoucí) odkazovat na celkovou nebo orbitální moment hybnosti. Celková moment hybnosti je vždy konzervovaný viz Noetherova věta.

Přehled

„Vektorové kužele“ o celkovém momentu hybnosti J (fialová), orbitální L (modrá) a otočit S (zelená). Kužele vznikají kvůli kvantová nejistota mezi měřením složek momentu hybnosti (viz. níže ).

V kvantové mechanice může moment hybnosti odkazovat na jednu ze tří různých, ale souvisejících věcí.

Orbitální moment hybnosti

The klasická definice momentu hybnosti je ${ displaystyle mathbf {L} = mathbf {r} krát mathbf {p}}$. Kvantově mechanické protějšky těchto objektů sdílejí stejný vztah:

${ displaystyle mathbf {L} = mathbf {r} krát mathbf {p}}$

kde r je kvantum operátor polohy, p je kvantum operátor hybnosti, × je křížový produkt, a L je operátor orbitální momentu hybnosti. L (stejně jako p a r) je vektorový operátor (vektor, jehož komponenty jsou operátory), tj. ${ displaystyle mathbf {L} = vlevo (L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} doprava)}$ kde L_X, L_y, L_z jsou tři různí kvantově mechaničtí operátoři.

Ve zvláštním případě jediné částice s ne elektrický náboj a žádná roztočit, operátor orbitální moment hybnosti lze zapsat na základě polohy jako:

${ displaystyle mathbf {L} = -i hbar ( mathbf {r} krát nabla)}$

kde ∇ je operátor vektorového diferenciálu, del.

Otáčejte momentem hybnosti

Existuje další typ momentu hybnosti, tzv točit moment hybnosti (častěji zkráceno na roztočit), představovaný operátorem odstřeďování S. Spin je často zobrazován jako částice, která se doslova točí kolem osy, ale toto je jen metafora: spin je vnitřní vlastnost částice, která nesouvisí s žádným druhem pohybu ve vesmíru. Všechno elementární částice mají charakteristický spin, který je obvykle nenulový. Například, elektrony vždy mít "točit 1/2", zatímco fotony vždy mít „spin 1“ (podrobnosti níže ).

Celková moment hybnosti

Konečně je celková moment hybnosti J, který kombinuje spinu i orbitální moment hybnosti částice nebo systému:

${ displaystyle mathbf {J} = mathbf {L} + mathbf {S}.}$

Zachování momentu hybnosti tvrdí, že J pro uzavřený systém nebo J pro celý vesmír, je zachována. Nicméně, L a S jsou ne obecně konzervované. Například interakce spin-orbita umožňuje přenos momentu hybnosti tam a zpět L a S, s celkem J zbývající konstantní.

Komutační vztahy

Komutační vztahy mezi komponentami

Operátor orbitální momentu hybnosti je vektorový operátor, což znamená, že jej lze zapsat z hlediska jeho vektorových komponent ${ displaystyle mathbf {L} = vlevo (L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} doprava)}$. Komponenty mají následující komutační vztahy jeden s druhým:^[2]

${ displaystyle left [L_ {x}, L_ {y} right] = i hbar L_ {z}, ; ; left [L_ {y}, L_ {z} right] = i hbar L_ {x}, ; ; doleva [L_ {z}, L_ {x} doprava] = i hbar L_ {y},}$

kde [,] označuje komutátor

${ displaystyle [X, Y] ekv XY-YX.}$

Toto lze obecně psát jako

${ displaystyle left [L_ {l}, L_ {m} right] = i hbar sum _ {n = 1} ^ {3} varepsilon _ {lmn} L_ {n}}$,

kde l, m, n jsou složkové indexy (1 pro X, 2 pro y, 3 pro z), a ε_lmn označuje Symbol Levi-Civita.

Je také možný kompaktní výraz jako jedna vektorová rovnice:^[3]

${ displaystyle mathbf {L} krát mathbf {L} = i hbar mathbf {L}}$

Komutační vztahy lze prokázat jako přímý důsledek kanonické komutační vztahy ${ displaystyle [x_ {l}, p_ {m}] = i hbar delta _ {lm}}$, kde δ_lm je Kroneckerova delta.

V klasické fyzice existuje analogický vztah:^[4]

${ displaystyle left {L_ {i}, L_ {j} right } = varepsilon _ {ijk} L_ {k}}$

kde L_n je součástí klasický operátor momentu hybnosti a ${ displaystyle {, }}$ je Poissonova závorka.

Stejné komutační vztahy platí pro ostatní operátory momentu hybnosti (spin a celkový moment hybnosti):^[5]

${ displaystyle left [S_ {l}, S_ {m} right] = i hbar sum _ {n = 1} ^ {3} varepsilon _ {lmn} S_ {n}, quad left [ J_ {l}, J_ {m} right] = i hbar sum _ {n = 1} ^ {3} varepsilon _ {lmn} J_ {n}}$.

Ty mohou být předpokládaný držet analogicky s L. Alternativně mohou být odvozený jak bylo diskutováno níže.

Tyto komutační vztahy to znamenají L má matematickou strukturu a Lež algebra a ε_lmn jsou jeho strukturní konstanty. V tomto případě je Lieova algebra SU (2) nebo SO (3) ve fyzikální notaci (${ displaystyle operatorname {su} (2)}$ nebo ${ displaystyle operatorname {so} (3)}$ v matematickém zápisu), tj. Lieova algebra spojená s rotacemi ve třech rozměrech. Totéž platí o J a S. Důvod je diskutován níže. Tyto komutační vztahy jsou relevantní pro měření a nejistotu, jak je popsáno dále níže.

V molekulách celkový moment hybnosti F je součet rovibronického (orbitálního) momentu hybnosti N, moment hybnosti elektronového rotace Sa moment hybnosti jaderné rotace Já. Pro stavy elektronického singletu se označuje rovibronická momentová hybnost J spíše než N. Jak vysvětlil Van Vleck,^[6] složky molekulárního rovibronického momentu hybnosti vztažené k molekulárně fixovaným osám mají různé komutační vztahy od těch, které jsou uvedeny výše, které jsou pro komponenty kolem vesmírně fixovaných os.

Komutační vztahy zahrnující vektorovou velikost

Jako každý vektor, a velikost lze definovat pro orbitální operátor momentu hybnosti,

${ displaystyle L ^ {2} equiv L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}}$ .

L² je další kvantum operátor. Dojíždí se součástmi L,

${ displaystyle left [L ^ {2}, L_ {x} right] = left [L ^ {2}, L_ {y} right] = left [L ^ {2}, L_ {z} right] = 0 ~. ,}$

Jedním ze způsobů, jak dokázat, že tito operátoři dojíždějí, je začít od [L_ℓ, L_m] komutační vztahy v předchozí části:

Kliknutím na [zobrazit] vpravo zobrazíte doklad o [L2, LX] = 0, počínaje [Lℓ, Lm] komutační vztahy[7]

${ displaystyle { begin {aligned} left [L ^ {2}, L_ {x} right] & = left [L_ {x} ^ {2}, L_ {x} right] + left [ L_ {y} ^ {2}, L_ {x} doprava] + doleva [L_ {z} ^ {2}, L_ {x} doprava] & = L_ {y} doleva [L_ {y }, L_ {x} right] + left [L_ {y}, L_ {x} right] L_ {y} + L_ {z} left [L_ {z}, L_ {x} right] + left [L_ {z}, L_ {x} right] L_ {z} & = L_ {y} left (-i hbar L_ {z} right) + left (-i hbar L_ {z} right) L_ {y} + L_ {z} left (i hbar L_ {y} right) + left (i hbar L_ {y} right) L_ {z} & = 0 end {zarovnáno}}}$

Matematicky, L² je Kazimír neměnný z Lež algebra SO (3) překlenul L.

Jak je uvedeno výše, v klasické fyzice existuje analogický vztah:

${ displaystyle left {L ^ {2}, L_ {x} right } = left {L ^ {2}, L_ {y} right } = left {L ^ {2} , L_ {z} doprava } = 0}$

kde L_i je součástí klasický operátor momentu hybnosti a ${ displaystyle {, }}$ je Poissonova závorka.^[8]

Když se vrátíme k kvantovému případu, stejné komutační vztahy platí i pro ostatní operátory momentu hybnosti (spin a celkový moment hybnosti),

${ displaystyle { begin {zarovnáno} left lbrack S ^ {2}, S_ {i} right rbrack & = 0, left lbrack J ^ {2}, J_ {i} right rbrack & = 0. end {zarovnáno}}}$

Princip nejistoty

Obecně platí, že v kvantové mechanice, když dva pozorovatelní operátoři nedojíždějte, jsou voláni doplňkové pozorovatelnosti. Dvě doplňkové pozorovatelné nelze měřit současně; místo toho uspokojí princip nejistoty. Čím přesněji je jeden pozorovatelný, tím méně přesně druhý může být znám. Stejně jako existuje princip neurčitosti týkající se polohy a hybnosti, existují principy neurčitosti pro moment hybnosti.

The Robertson – Schrödingerův vztah uvádí následující princip nejistoty:

${ displaystyle sigma _ {L_ {x}} sigma _ {L_ {y}} geq { frac { hbar} {2}} vlevo | langle L_ {z} rangle vpravo |.}$

kde ${ displaystyle sigma _ {X}}$ je standardní odchylka v naměřených hodnotách X a ${ displaystyle langle X rangle}$ označuje očekávaná hodnota z X. Tato nerovnost platí také, pokud x, y, z jsou přeskupeny, nebo pokud L je nahrazen J nebo S.

Proto dvě ortogonální složky momentu hybnosti (například L_X a L._y) se doplňují a nelze je současně znát ani měřit, s výjimkou zvláštních případů, jako je ${ displaystyle L_ {x} = L_ {y} = L_ {z} = 0}$.

Je však možné současně měřit nebo specifikovat L² a kteroukoli složku L; například, L² a L_z. To je často užitečné a hodnoty jsou charakterizovány azimutální kvantové číslo (l) a magnetické kvantové číslo (m). V tomto případě je kvantový stav systému současným vlastním stavem operátorů L² a L_z, ale ne z L_X nebo L_y. Vlastní čísla se vztahují k l a m, jak je uvedeno v následující tabulce.

Kvantování

v kvantová mechanika, moment hybnosti je kvantováno - to znamená, že se nemůže měnit kontinuálně, ale pouze „kvantovými skoky“ mezi určitými povolenými hodnotami. Pro jakýkoli systém platí následující omezení výsledků měření, kde ${ displaystyle hbar}$ je snížená Planckova konstanta:

jestli ty opatření...	... výsledkem může být ...	Poznámky
${ displaystyle L_ {z}}$	${ displaystyle ( hbar m)}$, kde ${ displaystyle m in { ldots, -2, -1,0,1,2, ldots }}$	m se někdy nazývá magnetické kvantové číslo. Stejné kvantizační pravidlo platí pro jakoukoli složku L; např., LX nebo Ly. Toto pravidlo se někdy nazývá prostorová kvantizace.[9]
${ displaystyle S_ {z}}$ nebo ${ displaystyle J_ {z}}$	${ displaystyle ( hbar m)}$, kde ${ Displaystyle m in { ldots, -1, -0,5,0,0,5,1,1,5, ldots }}$	Pro Sz, m se někdy nazývá kvantové číslo projekce rotace. Pro Jz, m se někdy nazývá celkové kvantové číslo projekce momentu hybnosti. Stejné kvantizační pravidlo platí pro jakoukoli složku S nebo J; např., SX nebo Jy.
${ displaystyle L ^ {2}}$	${ displaystyle left ( hbar ^ {2} ell ( ell +1) right)}$, kde ${ displaystyle ell in {0,1,2, ldots }}$	L2 je definováno ${ displaystyle L ^ {2} equiv L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}}$. ${ displaystyle ell}$ se někdy nazývá azimutální kvantové číslo nebo orbitální kvantové číslo.
${ displaystyle S ^ {2}}$	${ displaystyle left ( hbar ^ {2} s (s + 1) right)}$, kde ${ displaystyle s v {0,0,5,1,1,5, ldots }}$	s je nazýván točit kvantové číslo nebo prostě roztočit. Například a spin-½ částice je částice kde s = ½.
${ displaystyle J ^ {2}}$	${ displaystyle left ( hbar ^ {2} j (j + 1) right)}$, kde ${ displaystyle j in {0,0.5,1,1,5, ldots }}$	j se někdy nazývá celkové kvantové číslo momentu hybnosti.
${ displaystyle L ^ {2}}$ a ${ displaystyle L_ {z}}$ zároveň	${ displaystyle left ( hbar ^ {2} ell ( ell +1) right)}$ pro ${ displaystyle L ^ {2}}$, a ${ displaystyle left ( hbar m _ { ell} right)}$ pro ${ displaystyle L_ {z}}$ kde ${ displaystyle ell in {0,1,2, ldots }}$ a ${ displaystyle m _ { ell} in {- ell, (- ell +1), ldots, ( ell -1), ell }}$	(Terminologie viz výše.)
${ displaystyle S ^ {2}}$ a ${ displaystyle S_ {z}}$ zároveň	${ displaystyle left ( hbar ^ {2} s (s + 1) right)}$ pro ${ displaystyle S ^ {2}}$, a ${ displaystyle left ( hbar m_ {s} right)}$ pro ${ displaystyle S_ {z}}$ kde ${ displaystyle s v {0,0,5,1,1,5, ldots }}$ a ${ displaystyle m_ {s} in {- s, (- s + 1), ldots, (s-1), s }}$	(Terminologie viz výše.)
${ displaystyle J ^ {2}}$ a ${ displaystyle J_ {z}}$ zároveň	${ displaystyle left ( hbar ^ {2} j (j + 1) right)}$ pro ${ displaystyle J ^ {2}}$, a ${ displaystyle left ( hbar m_ {j} right)}$ pro ${ displaystyle J_ {z}}$ kde ${ displaystyle j in {0,0.5,1,1,5, ldots }}$ a ${ displaystyle m_ {j} v {- j, (- j + 1), ldots, (j-1), j }}$	(Terminologie viz výše.)

V tomhle stojatá vlna na kruhovém řetězci je kruh rozdělen na přesně 8 vlnové délky. Stojatá vlna, jako je tato, může mít kolem kruhu 0, 1, 2 nebo jakýkoli celočíselný počet vlnových délek, ale nemůže mít nečíselný počet vlnových délek jako 8,3. V kvantové mechanice je moment hybnosti kvantován z podobného důvodu.

Odvození pomocí operátorů žebříku

Běžným způsobem, jak odvodit výše uvedená kvantizační pravidla, je metoda operátoři žebříků.^[10] Operátoři žebříku jsou definováni:

${ displaystyle { begin {aligned} J _ {+} & equiv J_ {x} + iJ_ {y}, J _ {-} & equiv J_ {x} -iJ_ {y} end {aligned}} }$

Předpokládejme stát ${ displaystyle | psi rangle}$ je stav v simultánním vlastním vzniku ${ displaystyle J ^ {2}}$ a ${ displaystyle J_ {z}}$ (tj. stát s jedinou definitivní hodnotou ${ displaystyle J ^ {2}}$ a jediná, jednoznačná hodnota ${ displaystyle J_ {z}}$). Pak lze pomocí komutačních vztahů dokázat ${ displaystyle J _ {+} | psi rangle}$ a ${ displaystyle J _ {-} | psi rangle}$ jsou taky v současné eigenbase, se stejnou hodnotou ${ displaystyle J ^ {2}}$, ale kde ${ displaystyle J_ {z} | psi rangle}$ se zvyšuje nebo snižuje o ${ displaystyle hbar}$, resp. (Je také možné, že jeden nebo oba tyto výsledkové vektory jsou nulovým vektorem.) (Důkaz viz operátor žebříku # Moment hybnosti.)

Manipulací s těmito operátory žebříku a použitím pravidel komutace je možné prokázat téměř všechna výše uvedená kvantizační pravidla.

Kliknutím na [zobrazit] vpravo zobrazíte další podrobnosti v důkazu o kvantizačních pravidlech operátorem žebříku[10]

Před zahájením hlavního důkazu si všimneme užitečné skutečnosti: To ${ displaystyle J_ {x} ^ {2}, J_ {y} ^ {2}, J_ {z} ^ {2}}$ jsou kladně semidefinitní operátory, což znamená, že všechny jejich vlastní hodnoty jsou nezáporné. To také znamená, že totéž platí pro jejich součty, včetně ${ displaystyle J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + J_ {z} ^ {2}}$ a ${ displaystyle left (J ^ {2} -J_ {z} ^ {2} right) = left (J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} right)}$. Důvodem je to, že čtverec žádný Hermitovský operátor je vždy kladný semidefinit. (Hermitovský operátor má skutečná vlastní čísla, takže druhé mocniny těchto vlastních čísel nejsou záporné.) Jak je uvedeno výše, předpokládejme, že stát ${ displaystyle | psi rangle}$ je stav v simultánním vlastním vzniku ${ displaystyle J ^ {2}}$ a ${ displaystyle J_ {z}}$. Jeho vlastní hodnota s ohledem na ${ displaystyle J ^ {2}}$ lze napsat ve formě ${ displaystyle hbar ^ {2} j (j + 1)}$ pro nějaké skutečné číslo j > 0 (protože jak bylo uvedeno v předchozím odstavci, ${ displaystyle J ^ {2}}$ má nezáporná vlastní čísla) a jeho vlastní hodnotu s ohledem na ${ displaystyle J_ {z}}$ lze psát ${ displaystyle hbar m}$ pro nějaké skutečné číslo m. Namísto ${ displaystyle | psi rangle}$ použijeme popisnější notaci ${ displaystyle | psi rangle = | j, m rangle}$. Dále zvažte posloupnost („žebřík“) stavů ${ displaystyle { ldots ;, ; J _ {-} J _ {-} | j, m rangle, ; J _ {-} | j, m rangle, ; | j, m rangle, ; J _ {+} | j, m rangle, ; J _ {+} J _ {+} | j, m rangle, ; ldots }}$ Některé položky v této nekonečné posloupnosti mohou být nulový vektor (jak uvidíme). Jak je však popsáno výše, všechny nenulové položky mají stejnou hodnotu ${ displaystyle J ^ {2}}$a mezi nenulovými položkami má každá položka hodnotu ${ displaystyle J_ {z}}$ což je přesně ${ displaystyle hbar}$ více než předchozí položka. V tomto žebříčku může být pouze konečný počet nenulových položek s nekonečnými kopiemi nulového vektoru vlevo a vpravo. Důvodem je, jak bylo uvedeno výše, ${ displaystyle (J ^ {2} -J_ {z} ^ {2})}$ je kladně semidefinitní, takže pokud je jakýkoli kvantový stav vlastním vektorem obou ${ displaystyle J ^ {2}}$ a ${ displaystyle J_ {z} ^ {2}}$, bývalá vlastní hodnota je větší. Státy v žebříčku mají všechny stejné ${ displaystyle J ^ {2}}$ vlastní číslo, ale jde velmi daleko doleva nebo doprava, ${ displaystyle J_ {z} ^ {2}}$ vlastní hodnota se zvětšuje a zvětšuje. Jediným možným řešením je, jak již bylo zmíněno, že v žebříčku je pouze konečně mnoho nenulových položek. Nyní zvažte poslední nenulový vstup napravo od žebříku, ${ displaystyle | j, m_ {max} rangle}$. Tento stát má tu vlastnost, že ${ displaystyle J _ {+} | j, m_ {max} rangle = 0}$. Jak bylo prokázáno v operátor žebříku článek, ${ displaystyle J _ {+} | j, m rangle = hbar { sqrt {j (j + 1) -m (m + 1)}} | j, m + 1 rangle}$ Pokud je to nula, pak ${ displaystyle j (j + 1) = m _ { text {max}} vlevo (m _ { text {max}} + 1 vpravo)}$, tak ${ displaystyle j = m}$ nebo ${ displaystyle j = -m-1}$. Nicméně proto ${ displaystyle J ^ {2} -J_ {z} ^ {2}}$ je kladně semidefinitní, ${ displaystyle hbar ^ {2} j (j + 1) geq ( hbar m) ^ {2}}$, což znamená, že jediná možnost je ${ displaystyle m _ { text {max}} = j}$. Podobně zvažte první nenulovou položku nalevo od žebříku, ${ displaystyle | j, m _ { text {min}} rangle}$. Tento stát má tu vlastnost, že ${ displaystyle J _ {-} vlevo | j, m _ { text {min}} vpravo rangle = 0}$. Jak bylo prokázáno v operátor žebříku článek, ${ displaystyle J _ {-} | j, m rangle = hbar { sqrt {j (j + 1) -m (m-1)}} | j, m-1 rangle}$ Jak je uvedeno výše, jedinou možností je to ${ displaystyle m _ { text {min}} = - j}$ Od té doby m změny o 1 na každém kroku žebříku, ${ displaystyle (j - (- j))}$ je celé číslo, takže j je celé číslo nebo poloviční celé číslo (0 nebo 0,5 nebo 1 nebo 1,5 ...).

Od té doby S a L mít stejné komutační vztahy jako J, funguje pro ně stejná analýza žebříku.

Analýza žebřík-operátor ano ne vysvětlete výše jeden aspekt kvantizačních pravidel: skutečnost, že L (na rozdíl od J a S) nemůže mít poloviční celočíselná kvantová čísla. Tuto skutečnost lze dokázat (alespoň ve zvláštním případě jedné částice) zapsáním všech možných vlastních funkcí funkce L² a L_z, (jsou to sférické harmonické ) a výslovně vidět, že žádný z nich nemá poloviční celočíselná kvantová čísla.^[11] Alternativní derivace je níže.

Vizuální interpretace

Ilustrace vektorového modelu orbitálního momentu hybnosti.

Protože úhlový moment jsou kvantové operátory, nelze je nakreslit jako vektory jako v klasické mechanice. Je však běžné, že je takto heuristicky zobrazovat. Na pravé straně je zobrazena sada stavů s kvantovými čísly ${ displaystyle ell = 2}$, a ${ displaystyle m _ { ell} = - 2, -1,0,1,2}$ pro pět kuželů zdola nahoru. Od té doby ${ displaystyle | L | = { sqrt {L ^ {2}}} = hbar { sqrt {6}}}$, všechny vektory jsou zobrazeny s délkou ${ displaystyle hbar { sqrt {6}}}$. Prsteny představují skutečnost, že ${ displaystyle L_ {z}}$ je známo s jistotou, ale ${ displaystyle L_ {x}}$ a ${ displaystyle L_ {y}}$ nejsou známy; proto každý klasický vektor s příslušnou délkou a z-komponenta je nakreslena a tvoří kužel. Očekávaná hodnota momentu hybnosti pro daný soubor systémů v kvantovém stavu charakterizovaný ${ displaystyle ell}$ a ${ displaystyle m _ { ell}}$ může být někde na tomto kuželu, zatímco jej nelze definovat pro jediný systém (protože komponenty ${ displaystyle L}$ nedojíždějte mezi sebou).

Kvantování v makroskopických systémech

Kvantová pravidla jsou obecně považována za pravdivá i pro makroskopické systémy, jako je moment hybnosti L rotující pneumatiky. Nemají však žádný pozorovatelný účinek, takže to nebylo testováno. Například pokud ${ displaystyle L_ {z} / hbar}$ je zhruba 100000000, v podstatě nezáleží na tom, zda je přesná hodnota celé číslo jako 100000000 nebo 100000001, nebo jiné než celé číslo jako 100000000.2 - jednotlivé kroky jsou aktuálně příliš malé na měření.

Moment hybnosti jako generátor rotací

Nejobecnější a nejzákladnější definice momentu hybnosti je jako generátor rotací.^[5] Přesněji řečeno ${ displaystyle R ({ hat {n}}, phi)}$ být operátor rotace, který otáčí jakýkoli kvantový stav kolem osy ${ displaystyle { hat {n}}}$ podle úhlu ${ displaystyle phi}$. Tak jako ${ displaystyle phi rightarrow 0}$, operátor ${ displaystyle R ({ hat {n}}, phi)}$ se blíží k operátor identity, protože rotace 0 ° mapuje všechny stavy k sobě. Pak operátor momentu hybnosti ${ displaystyle J _ { hat {n}}}$ kolem osy ${ displaystyle { hat {n}}}$ je definován jako:^[5]

${ displaystyle J _ { hat {n}} equiv i hbar lim _ { phi rightarrow 0} { frac {R left ({ hat {n}}, phi right) -1} { phi}} = left.i hbar { frac { částečné R vlevo ({ hat {n}}, phi right)} { částečné phi}} vpravo | _ { phi = 0}}$

kde 1 je operátor identity. Všimněte si toho také R je aditivní morfismus: ${ displaystyle R left ({ hat {n}}, phi _ {1} + phi _ {2} right) = R left ({ hat {n}}, phi _ {1} right) R left ({ hat {n}}, phi _ {2} right)}$ ; jako následek^[5]

${ displaystyle R left ({ hat {n}}, phi right) = exp left (- { frac {i phi J _ { hat {n}}} { hbar}} right )}$

kde exp je exponenciální matice.

Zjednodušeně řečeno, operátor celkového momentu hybnosti charakterizuje, jak se kvantový systém mění, když se otáčí. Vztah mezi operátory momentu hybnosti a operátory rotace je stejný jako vztah mezi Lež algebry a Lež skupiny v matematice, jak je popsáno dále níže.

Různé typy operátory rotace. Horní rámeček zobrazuje dvě částice, přičemž stavy rotace jsou schematicky naznačeny šipkami.

1. Operátor R, související s J, otočí celý systém.
2. Operátor R_prostorový, související s L, otáčí polohy částic beze změny jejich vnitřních stavů rotace.
3. Operátor R_vnitřní, související s S, otáčí vnitřní spinové stavy částic beze změny jejich poloh.

Stejně jako J je generátor pro operátory rotace, L a S jsou generátory pro modifikované operátory částečné rotace. Operátor

${ displaystyle R _ { text {spatial}} left ({ hat {n}}, phi right) = exp left (- { frac {i phi L _ { hat {n}}} { hbar}} vpravo),}$

otáčí polohu (v prostoru) všech částic a polí, aniž by otáčel vnitřní (rotační) stav jakékoli částice. Stejně tak operátor

${ displaystyle R _ { text {internal}} left ({ hat {n}}, phi right) = exp left (- { frac {i phi S _ { hat {n}}} { hbar}} vpravo),}$

otáčí vnitřní (rotační) stav všech částic, aniž by pohyboval částicemi nebo poli v prostoru. Vztah J = L + S pochází z:

${ displaystyle R left ({ hat {n}}, phi right) = R _ { text {internal}} left ({ hat {n}}, phi right) R _ { text { spatial}} left ({ hat {n}}, phi right)}$

tj. pokud se otáčí polohy a pak se otáčí vnitřní stavy, pak se otočil celý systém.

SU (2), SO (3) a otáčení o 360 °

I když by se dalo očekávat ${ displaystyle R left ({ hat {n}}, 360 ^ { circ} right) = 1}$ (rotace o 360 ° je operátor identity), to je ne předpokládá se v kvantové mechanice a ukázalo se, že to často není pravda: Když je celkové kvantové číslo momentu hybnosti poloviční celé číslo (1/2, 3/2 atd.), ${ displaystyle R left ({ hat {n}}, 360 ^ { circ} right) = - 1}$, a když je to celé číslo, ${ displaystyle R left ({ hat {n}}, 360 ^ { circ} right) = + 1}$.^[5] Matematicky je struktura rotací ve vesmíru ne SO (3), skupina trojrozměrných rotací v klasické mechanice. Místo toho je SU (2), který je identický s SO (3) pro malé rotace, ale kde je rotace o 360 ° matematicky odlišena od rotace o 0 °. (Rotace 720 ° je však stejná jako rotace 0 °.)^[5]

Na druhou stranu, ${ displaystyle R _ { text {spatial}} left ({ hat {n}}, 360 ^ { circ} right) = + 1}$ za všech okolností, protože 360 ​​° rotace a prostorový konfigurace je stejná jako žádná rotace. (To se liší od 360 ° rotace vnitřní (spin) stav částice, který může nebo nemusí být stejný jako vůbec žádná rotace.) Jinými slovy, ${ displaystyle R _ { text {spatial}}}$ operátoři nesou strukturu SO (3), zatímco ${ displaystyle R}$ a ${ displaystyle R _ { text {interní}}}$ nést strukturu SU (2).

Z rovnice ${ displaystyle + 1 = R _ { text {spatial}} left ({ hat {z}}, 360 ^ { circ} right) = exp left (-2 pi iL_ {z} / hbar vpravo)}$, jeden si vybere vlastní stát ${ displaystyle L_ {z} | psi rangle = m hbar | psi rangle}$ a kreslí

${ displaystyle e ^ {- 2 pi im} = 1}$

což znamená, že kvantová čísla orbitální momentu hybnosti mohou být pouze celá čísla, nikoli celá čísla.

Spojení s teorií reprezentace

Počínaje určitým kvantovým stavem ${ displaystyle | psi _ {0} rangle}$, zvažte sadu států ${ displaystyle R left ({ hat {n}}, phi right) left | psi _ {0} right rangle}$ pro všechny možné ${ displaystyle { hat {n}}}$ a ${ displaystyle phi}$, tj. množina stavů, které vznikají rotací počátečního stavu všemi možnými způsoby. Tohle je vektorový prostor, a proto způsob, jakým operátory rotace mapují jeden stát do druhého, je a zastoupení skupiny operátorů rotace.

Když operátory rotace působí na kvantové stavy, tvoří a zastoupení z Lež skupina SU (2) (pro R a R_vnitřní), nebo SO (3) (pro R._prostorový).

Ze vztahu mezi J a rotační operátory,

Když operátory momentu hybnosti působí na kvantové stavy, tvoří a zastoupení z Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {su}} (2)}$ nebo ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3)}$.

(Lieovy algebry SU (2) a SO (3) jsou totožné.)

Výše uvedená derivace operátoru žebříku je metodou klasifikace reprezentací Lieovy algebry SU (2).

Napojení na komutační vztahy

Klasická rotace nedojíždí mezi sebou: Například rotace o 1 ° kolem X-osa pak 1 ° kolem y-osa poskytuje mírně odlišnou celkovou rotaci než otáčení o 1 ° kolem y-osa pak 1 ° kolem X-osa. Pečlivou analýzou této nekomutativity lze odvodit komutační vztahy operátorů momentu hybnosti.^[5]

(Stejný výpočetní postup je jedním ze způsobů, jak odpovědět na matematickou otázku „Co je to Lež algebra z Lež skupiny SO (3) nebo SU (2) ?")

Zachování momentu hybnosti

The Hamiltonian H představuje energii a dynamiku systému. V sféricky symetrické situaci je Hamiltonian invariantní pod rotací:

${ displaystyle RHR ^ {- 1} = H}$

kde R je operátor rotace. Jako následek, ${ displaystyle [H, R] = 0}$, a pak ${ displaystyle [H, mathbf {J}] = mathbf {0}}$ kvůli vztahu mezi J a R. Podle Ehrenfestova věta, z toho vyplývá, že J je zachována.

Stručně řečeno, pokud H je rotačně-invariantní (sféricky symetrický), pak celková moment hybnosti J je zachována. Toto je příklad Noetherova věta.

Li H je jen hamiltonián pro jednu částici, celková momentová hybnost jedné částice je zachována, když je částice v centrální potenciál (tj. když funkce potenciální energie závisí pouze na ${ displaystyle left | mathbf {r} right |}$). Alternativně, H může být Hamiltoniánem všech částic a polí ve vesmíru a potom H je vždy rotačně-invariantní, protože základní fyzikální zákony vesmíru jsou stejné bez ohledu na orientaci. To je základ pro tvrzení zachování momentu hybnosti je obecný princip fyziky.

U částice bez rotace J = L, takže orbitální moment hybnosti je zachován za stejných okolností. Pokud není rotace nenulová, interakce spin-orbita umožňuje přenos momentu hybnosti z L na S nebo zpět. Proto, L není sám o sobě konzervovaný.

Spojka momentu hybnosti

Často dva nebo více druhů momentu hybnosti interagují navzájem, takže moment hybnosti se může přenášet z jednoho do druhého. Například v spin-orbitová vazba, moment hybnosti se může přenášet mezi L a S, ale pouze celkem J = L + S je zachována. V dalším příkladu má každý v atomu se dvěma elektrony vlastní moment hybnosti J₁ a J₂, ale pouze celkem J = J₁ + J₂ je zachována.

V těchto situacích je často užitečné znát vztah mezi, na jedné straně, státy kde ${ displaystyle left (J_ {1} right) _ {z}, left (J_ {1} right) ^ {2}, left (J_ {2} right) _ {z}, left (J_ {2} vpravo) ^ {2}}$ všechny mají určité hodnoty a na druhé straně uvádí, kde ${ displaystyle left (J_ {1} right) ^ {2}, left (J_ {2} right) ^ {2}, J ^ {2}, J_ {z}}$ všichni mají určité hodnoty, protože poslední čtyři jsou obvykle konzervované (konstanty pohybu). Postup přecházení mezi nimi základny je použít Clebsch – Gordanovy koeficienty.

Jedním z důležitých výsledků v tomto poli je vztah mezi kvantovými čísly pro ${ displaystyle left (J_ {1} right) ^ {2}, left (J_ {2} right) ^ {2}, J ^ {2}}$:

${ displaystyle j in left { left | j_ {1} -j_ {2} right |, left ( left | j_ {1} -j_ {2} right | +1 right), ldots, left (j_ {1} + j_ {2} right) right }}$.

Pro atom nebo molekulu s J = L + S, termínový symbol udává kvantová čísla spojená s operátory ${ displaystyle L ^ {2}, S ^ {2}, J ^ {2}}$.

Orbitální moment hybnosti ve sférických souřadnicích

K operátorům momentu hybnosti obvykle dochází při řešení problému s sférická symetrie v sférické souřadnice. Moment hybnosti v prostorové reprezentaci je^[12][13]

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {L} & = i hbar left ({ frac { hat { boldsymbol { theta}}}} sin ( theta)}} { frac { částečné} { částečné phi}} - { hat { boldsymbol { phi}}} { frac { částečné} { částečné theta}} pravé) & = i hbar vlevo ( { hat { mathbf {x}}} left ( sin ( phi) { frac { částečné} { částečné theta}} + cot ( theta) cos ( phi) { frac { částečné} { částečné phi}} pravé) + { hat { mathbf {y}}} levé (- cos ( phi) { frac { částečné} { částečné theta}} + cot ( theta) sin ( phi) { frac { částečné} { částečné phi}} pravé) - { hat { mathbf {z}}} { frac { částečné} { částečné phi}} pravé) L _ {+} & = hbar e ^ {i phi} levé ({ frac { částečné} { částečné theta}} + i cot ( theta ) { frac { částečné} { částečné phi}} pravé), L _ {-} & = hbar e ^ {- i phi} levé (- { frac { částečné} { částečná theta}} + i cot ( theta) { frac { částečné} { částečné phi}} pravé), L ^ {2} & = - hbar ^ {2} vlevo ( { frac {1} { sin ( theta)}} { frac { částečné} { částečné theta}} vlevo ( sin ( theta) { frac { částečné} { částečné theta }} vpravo) + { frac {1} { sin ^ {2} ( theta)}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné phi ^ {2}}} vpravo), L_ {z} & = -i hbar { frac { částečné} { částečné phi}}. end {zarovnáno}}}$

Ve sférických souřadnicích úhlová část Operátor Laplace lze vyjádřit momentem hybnosti. To vede ke vztahu

${ displaystyle Delta = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r ^ {2} , { frac { částečné} { partial r}} right) - { frac {L ^ {2}} { hbar ^ {2} r ^ {2}}}.}$

Při řešení najít vlastní stavy provozovatele ${ displaystyle L ^ {2}}$, získáme následující

${ displaystyle { begin {zarovnáno} L ^ {2} | l, m rangle & = hbar ^ {2} l (l + 1) | l, m rangle L_ {z} | l, m rangle & = hbar m | l, m rangle end {zarovnáno}}}$

kde

${ Displaystyle left langle theta, phi | l, m right rangle = Y_ {l, m} ( theta, phi)}$

jsou sférické harmonické.^[14]

Viz také

Reference

Další čtení

• Demystifikovaná kvantová mechanika, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN  0-07-145546 9
• Kvantová mechanika, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN  007-145533-7 ISBN  978-007-145533-6
• Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání)R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
• Kvantová mechanika, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
• Fyzika atomů a molekul, B.H. Bransden, C. J. Joachain, Longman, 1983, ISBN  0-582-44401-2
• Moment hybnosti. Porozumění prostorovým aspektům v chemii a fyziceR. N. Zare, Wiley-Interscience, 1991,ISBN  978-0-47-1858928