Klasifikace nízkodimenzionálních skutečných Lieových algeber - Classification of low-dimensional real Lie algebras - Wikipedia

Tento matematika související seznam poskytuje Mubarakzyanov klasifikace nízkodimenzionálních skutečných Lieových algeber, publikovaný v ruštině v roce 1963.^[1] Doplňuje článek o Lež algebra v oblasti abstraktní algebra.

Anglickou verzi a přehled této klasifikace publikovali Popovych et al.^[2] v roce 2003.

Mubarakzyanovova klasifikace

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {n}}$ být ${ displaystyle n}$-dimenzionální Lež algebra přes pole z reálná čísla s generátory ${ displaystyle e_ {1}, tečky, e_ {n}}$, ${ displaystyle n leq 4}$.^{[je zapotřebí objasnění ]} Pro každou algebru ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ mezi základní prvky přidáváme pouze nenulové komutátory.

Jednorozměrný

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$, abelian.

Dvourozměrný

• ${ displaystyle 2 { mathfrak {g}} _ {1}}$, abelian ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$;
• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1}}$, řešitelný ${ displaystyle { mathfrak {af}} (1) = {{ begin {pmatrix} a & b 0 a 0 end {pmatrix}} ,: , a, b in mathbb {R} }}$,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}.}$

Trojrozměrný

• ${ displaystyle 3 { mathfrak {g}} _ {1}}$, abelian, Bianchi I.;
• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, rozložitelný řešitelný, Bianchi III;
• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.1}}$, Heisenberg – Weylova algebra, nilpotentní, Bianchi II,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.2}}$, řešitelný, Bianchi IV,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3}}$, řešitelný, Bianchi V,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4}}$, řešitelný, Bianchi VI, Poincarého algebra ${ displaystyle { mathfrak {p}} (1,1)}$ když ${ displaystyle alpha = -1}$,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = alpha e_ {2}, quad -1 leq alpha < 1, quad alpha neq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$, řešitelný, Bianchi VII,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = beta e_ {1} -e_ {2}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + beta e_ { 2}, quad beta geq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6}}$, jednoduché, Bianchi VIII, ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {R}),}$

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {3}, quad [e_ {1}, e_ {3 }] = 2e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7}}$, jednoduché, Bianchi VIII, ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3),}$

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {1}] = e_ {2}, quad [e_ {1}, e_ {2 }] = e_ {3}.}$

Algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3}}$ lze považovat za extrémní případ ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$, když ${ displaystyle beta rightarrow infty}$, tvořící kontrakci Lieovy algebry.

Přes pole ${ displaystyle { mathbb {C}}}$ algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7}}$ jsou izomorfní ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6}}$, resp.

Čtyřrozměrný

• ${ displaystyle 4 { mathfrak {g}} _ {1}}$, abelian;
• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1} oplus 2 { mathfrak {g}} _ {1}}$, rozložitelné řešitelné,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1};}$

• ${ displaystyle 2 { mathfrak {g}} _ {2.1}}$, rozložitelné řešitelné,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1} quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {3};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.1} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$rozložitelný nilpotent,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.2} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, rozložitelné řešitelné,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, rozložitelné řešitelné,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, rozložitelné řešitelné,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = alpha e_ {2}, quad -1 leq alpha < 1, quad alpha neq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, rozložitelné řešitelné,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = beta e_ {1} -e_ {2} quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + beta e_ {2 }, quad beta geq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, neřešitelný,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {3}, quad [e_ {1}, e_ {3 }] = 2e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, neřešitelný,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {3}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {1 }] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.1}}$, nerozložitelný nilpotent,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.2}}$nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = beta e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3}, quad beta neq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.3}}$nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.4}}$, nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1} + e_ {2}, quad [e_ {3 }, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.5}}$, nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = alpha e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = beta e_ {2}, quad [e_ {3} , e_ {4}] = gamma e_ {3}, quad alpha beta gamma neq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.6}}$, nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = alpha e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = beta e_ {2} -e_ {3}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + beta e_ {3}, quad alpha> 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.7}}$nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = 2e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4 }] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3};}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.8}}$, nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = (1+ beta) e_ {1}, quad [e_ { 2}, e_ {4}] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = beta e_ {3}, quad -1 leq beta leq 1;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.9}}$, nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = 2 alpha e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = alpha e_ {2} -e_ {3}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + alpha e_ {3}, quad alpha geq 0;}$

• ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.10}}$nerozložitelný řešitelný,

${ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2}, quad [e_ {1}, e_ {4 }] = - e_ {2}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1}.}$

Algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.3}}$ lze považovat za extrémní případ ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.2}}$, když ${ displaystyle beta rightarrow 0}$, tvořící kontrakci Lieovy algebry.

Přes pole ${ displaystyle { mathbb {C}}}$ algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.6}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.9}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.10}}$ jsou izomorfní ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.5}}$, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.8}}$, ${ displaystyle {2 { mathfrak {g}}} _ {2.1}}$, resp.

Poznámky

Reference

• Mubarakzyanov, G.M. (1963). „Na řešitelné Lieovy algebry“. Izv. Vys. Ucheb. Zavedený. Matematika (v Rusku). 1 (32): 114–123. PAN  0153714. Zbl  0166.04104.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Popovych, R.O .; Boyko, V.M .; Nesterenko, M.O .; Lutfullin, M.W .; et al. (2003). „Realizace skutečných nízkodimenzionálních Lieových algeber“. J. Phys. A: Math. Gen. 36 (26): 7337–7360. arXiv:math-ph / 0301029. Bibcode:2003JPhA ... 36.7337P. doi:10.1088/0305-4470/36/26/309.CS1 maint: ref = harv (odkaz)