Diagonální morfismus - Diagonal morphism

v teorie kategorií, pobočka matematika, pro jakýkoli objekt ${displaystyle a}$ v každém kategorie ${displaystyle {mathcal {C}}}$ Kde produkt ${displaystyle a imes a}$ existuje, tady existuje the diagonální morfismus

{displaystyle delta _ {a}: aightarrow a imes a}

uspokojující

{displaystyle pi _ {k} circ delta _ {a} = id_ {a}}

pro

{displaystyle kin {1,2},}

kde ${displaystyle pi _ {k}}$ je kanonická projekce morfismus do ${displaystyle k}$ -tá složka. Existence tohoto morfismu je důsledkem univerzální vlastnictví že charakterizuje produkt (až do izomorfismus ). Omezení na binární produkty zde slouží pro snadnou notaci; diagonální morfismy existují podobně pro libovolné produkty. The obraz diagonálního morfismu v kategorie sad, jako podmnožina z kartézský součin, je vztah na doména, jmenovitě rovnost.

Pro konkrétní kategorie lze diagonální morfismus jednoduše popsat jeho působením na prvky ${displaystyle x}$ objektu ${displaystyle a}$ . A to, ${displaystyle delta _ {a} (x) = langle x, xangle}$ , objednaný pár vytvořen z ${displaystyle x}$ . Důvod pro jméno je ten, že obraz takového úhlopříčného morfismu je úhlopříčka (kdykoli to má smysl), například obraz úhlopříčného morfismu ${displaystyle mathbb {R} ightarrow mathbb {R} ^ {2}}$ na skutečná linie je dán řádkem, který je graf rovnice ${displaystyle y = x}$ . Diagonální morfismus do nekonečný produkt ${displaystyle X ^ {infty}}$ může poskytnout injekce do prostor sekvencí oceněn v ${displaystyle X}$ ; každý prvek se mapuje na konstantu sekvence v tom prvku. Většina představ o posloupnosti mezer mít konvergence omezení, která obraz diagonální mapy nesplní.

Viz také

Reference

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.