Jednoduchá algebra lži - Simple Lie algebra

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lieovy skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

V algebře, a jednoduchá Lie algebra je Lež algebra to je nonabelian a neobsahuje žádné nenulové vlastní ideály. Klasifikace skutečné jednoduché Lie algebry je jedním z hlavních úspěchů Wilhelm Killing a Élie Cartan.

Přímý součet jednoduchých Lieových algeber se nazývá a polojednoduchá Lie algebra.

A jednoduchá Lieova skupina je připojen Lež skupina jehož Lieova algebra je jednoduchá.

Složité jednoduché Lieovy algebry

Konečně trojrozměrný jednoduchý komplexní Lie algebra je izomorfní s kteroukoli z následujících možností: ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C}}$, ${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {n} mathbb {C}}$, ${ displaystyle { mathfrak {sp}} _ {2n} mathbb {C}}$ (klasické Lieovy algebry ) nebo jeden z pěti výjimečné Lieovy algebry.^[1]

Ke každému konečně-dimenzionálnímu komplexu polojednoduchá Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, existuje odpovídající diagram (tzv Dynkinův diagram ) kde uzly označují jednoduché kořeny, jsou uzly spojeny (nebo nespojeny) řadou čar v závislosti na úhlech mezi jednoduchými kořeny a šipky označují, zda jsou kořeny delší nebo kratší.^[2] Dynkinův diagram ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je připojen právě tehdy, když ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je jednoduchý. Všechny možné připojené Dynkinovy ​​diagramy jsou následující:^[3]

kde n je počet uzlů (jednoduché kořeny). Korespondence diagramů a složitých jednoduchých Lieových algeber je následující:^[2]

(A_n) ${ displaystyle quad { mathfrak {sl}} _ {n + 1} mathbb {C}}$

(B_n) ${ displaystyle quad { mathfrak {so}} _ {2n + 1} mathbb {C}}$

(C_n) ${ displaystyle quad { mathfrak {sp}} _ {2n} mathbb {C}}$

(D._n) ${ displaystyle quad { mathfrak {so}} _ {2n} mathbb {C}}$

Zbytek, výjimečné Lieovy algebry.

Opravdu jednoduché Lie algebry

Li ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ je konečná trojrozměrná skutečná jednoduchá Lieova algebra, její komplexizace je buď (1) jednoduchá, nebo (2) produkt jednoduché komplexní Lieovy algebry a její sdružené. Například složitost ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C}}$ myšlenka jako skutečná Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C} times { overline {{ mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C}}}}$. Skutečnou jednoduchou Lieovu algebru lze tedy klasifikovat klasifikací složitých jednoduchých Lieových algeber a některými dalšími informacemi. To lze provést pomocí Satake diagramy které zobecňují Dynkinovy ​​diagramy. Viz také Tabulka Lieových skupin # Real Lie algebry pro částečný seznam skutečných jednoduchých Lieových algeber.

Poznámky

Viz také

• Jednoduchá Lieova skupina

Reference

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103.
• Jacobson, Nathan, Lež algebry, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN  0-486-63832-4; Kapitola X uvažuje o klasifikaci jednoduchých Lieových algeber přes pole charakteristické nuly.

• „Ležácká algebra, částečně jednoduchá“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Jednoduchá algebra lži v nLab