Tabulka Lieových skupin - Table of Lie groups

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lieovy skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

Tento článek uvádí tabulku některých běžných Lež skupiny a jejich přidružené Lež algebry.

Je třeba poznamenat: topologické vlastnosti skupiny (dimenze; propojenost; kompaktnost; povaha základní skupina; a zda jsou nebo nejsou jednoduše připojeno ) a také na jejich algebraické vlastnosti (abelian; jednoduchý; polojednoduchý ).

Další příklady Lieových skupin a dalších souvisejících témat viz seznam jednoduchých Lieových skupin; the Klasifikace Bianchi skupin až tří dimenzí; a seznam témat skupiny Lie.

Skupiny skutečných lží a jejich algebry

Legenda sloupu

• Kpt: Je tato skupina G kompaktní ? (Ano nebo ne)
• ${ displaystyle pi _ {0}}$: Dává skupina komponent z G. Pořadí skupiny komponent udává počet připojené komponenty. Skupina je připojeno právě když je skupina komponent triviální (označeno 0).
• ${ displaystyle pi _ {1}}$: Dává základní skupina z G kdykoli G je připojen. Skupina je jednoduše připojeno právě tehdy, je-li základní skupina triviální (označeno 0).
• VIDÍŠ: Pokud G není jednoduše připojen, dává univerzální kryt z G.

Lež skupina	Popis	Kpt	${ displaystyle pi _ {0}}$	${ displaystyle pi _ {1}}$	VIDÍŠ	Poznámky	Lež algebra	ztlumit/R
Rn	Euklidovský prostor s přídavkem	N	0	0		abelian	Rn	n
R×	nenulové reálná čísla s množením	N	Z2	–		abelian	R	1
R+	kladná reálná čísla s množením	N	0	0		abelian	R	1
S1 = U (1)	the kruhová skupina: komplexní čísla absolutní hodnoty 1 s násobením;	Y	0	Z	R	abelian, isomorfní vůči SO (2), Spin (2) a R/Z	R	1
Aff (1)	invertibilní afinní transformace z R na R.	N	Z2	0		řešitelný, polopřímý produkt z R+ a R×	${ displaystyle left { left [{ begin {smallmatrix} a & b 0 & 0 end {smallmatrix}} right]: a, b in mathbb {R} right }}$	2
H×	nenulový čtveřice s množením	N	0	0			H	4
S3 = Sp (1)	čtveřice z absolutní hodnota 1 s násobením; topologicky a 3 koule	Y	0	0		izomorfní s SU (2) a do Spin (3); dvojitý kryt z SO (3)	Jsem (H)	3
GL (n,R)	obecná lineární skupina: invertibilní n×n nemovitý matice	N	Z2	–			M (n,R)	n2
GL+(n,R)	n×n skutečné matice s kladem určující	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		GL+(1,R) je izomorfní s R+ a je jednoduše připojen	M (n,R)	n2
SL (n,R)	speciální lineární skupina: skutečné matice s určující 1	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		SL (1,R) je jediný bod, a proto kompaktní a jednoduše připojený	sl (n,R)	n2−1
SL (2,R)	Orientace zachovávající izometrie Poincarého polorovina, izomorfní k SU (1,1), izomorfní k Sp (2,R).	N	0	Z		The univerzální kryt nemá žádná konečně-dimenzionální věrná reprezentace.	sl (2,R)	3
Ó(n)	ortogonální skupina: skutečné ortogonální matice	Y	Z2	–		Skupina symetrie koule (n = 3) nebo hypersféra.	tak(n)	n(n−1)/2
TAK(n)	speciální ortogonální skupina: skutečné ortogonální matice s determinantem 1	Y	0	Z  n=2 Z2 n>2	Roztočit(n) n>2	SO (1) je jediný bod a SO (2) je izomorfní s kruhová skupina, SO (3) je rotační skupina koule.	tak(n)	n(n−1)/2
Roztočit(n)	spinová skupina: dvojitý kryt SO (n)	Y	0 n>1	0 n>2		Spin (1) je isomorfní s Z2 a není připojen; Spin (2) je izomorfní se skupinou kruhu a není jednoduše spojen	tak(n)	n(n−1)/2
Sp (2n,R)	symplektická skupina: skutečné symplektické matice	N	0	Z			sp (2n,R)	n(2n+1)
Sp (n)	kompaktní symplektická skupina: kvartérní n×n unitární matice	Y	0	0			sp (n)	n(2n+1)
Mp (2n,R)	metaplektická skupina: dvojitý obal skutečná symplektická skupina Sp (2n,R)	Y	0	Z		Mp (2,R) je Lieova skupina, která není algebraický	sp (2n,R)	n(2n+1)
U (n)	jednotná skupina: komplex n×n unitární matice	Y	0	Z	R× SU (n)	Pro n= 1: isomorfní k S.1. Poznámka: toto je ne komplexní Lieova skupina / algebra	u (n)	n2
SU (n)	speciální jednotná skupina: komplex n×n unitární matice s determinantem 1	Y	0	0		Poznámka: toto je ne komplexní Lieova skupina / algebra	su (n)	n2−1

Skutečné Lie algebry

Legenda tabulky:

• S: Je tato algebra jednoduchá? (Ano nebo ne)
• SS: Je to algebra částečně jednoduché ? (Ano nebo ne)

Složité Lieovy skupiny a jejich algebry

Uvedené rozměry jsou rozměry nad C. Všimněte si, že každou složitou Lieovu skupinu / algebru lze také zobrazit jako skutečnou Lieovu skupinu / algebru dvojnásobné dimenze.

Lež skupina	Popis	Kpt	${ displaystyle pi _ {0}}$	${ displaystyle pi _ {1}}$	VIDÍŠ	Poznámky	Lež algebra	ztlumit/C
Cn	skupinová operace je doplněním	N	0	0		abelian	Cn	n
C×	nenulové komplexní čísla s množením	N	0	Z		abelian	C	1
GL (n,C)	obecná lineární skupina: invertibilní n×n komplex matice	N	0	Z		Pro n= 1: isomorfní s C×	M (n,C)	n2
SL (n,C)	speciální lineární skupina: komplexní matice s určující 1	N	0	0		pro n = 1 je to jediný bod, a tedy kompaktní.	sl (n,C)	n2−1
SL (2,C)	Zvláštní případ SL (n,C) pro n=2	N	0	0		Isomorphic to Spin (3,C), izomorfní s Sp (2,C)	sl (2,C)	3
PSL (2,C)	Projektivní speciální lineární skupina	N	0	Z2	SL (2,C)	Izomorfní vůči Skupina Möbius, izomorfní pro omezené Skupina Lorentz TAK+(3,1,R), izomorfní k SO (3,C).	sl (2,C)	3
Ó(n,C)	ortogonální skupina: komplexní ortogonální matice	N	Z2	–		kompaktní pro n = 1	tak(n,C)	n(n−1)/2
TAK(n,C)	speciální ortogonální skupina: komplexní ortogonální matice s determinantem 1	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		SO (2,C) je abelian a isomorfní s C×; nonabelian pro n> 2. SO (1,C) je jediný bod, a tedy kompaktní a jednoduše propojený	tak(n,C)	n(n−1)/2
Sp (2n,C)	symplektická skupina: komplexní symplektické matice	N	0	0			sp (2n,C)	n(2n+1)

Komplexní Lieovy algebry

Uvedené rozměry jsou rozměry nad C. Všimněte si, že každou komplexní Lieovu algebru lze také považovat za skutečnou Lieovu algebru dvojnásobné dimenze.

Lež algebra	Popis	S	SS	Poznámky	ztlumit/C
C	the komplexní čísla				1
Cn	Lieův závorek je nula				n
M (n,C)	n×n matice s Lieovým držákem komutátoru				n2
sl (n,C)	čtvercové matice s stopa 0 s držákem Lie komutátor	Y	Y		n2−1
sl (2,C)	Speciální případ sl (n,C) s n=2	Y	Y	izomorfní až su (2) ${ displaystyle otimes}$ C	3
tak(n,C)	šikmo symetrický čtvercové komplexní matice s Lieovým držákem komutátor	Y	Y	Výjimka: ano (4,C) je částečně jednoduchý, ale není jednoduchý.	n(n−1)/2
sp (2n,C)	složité matice, které uspokojí JA + ATJ = 0 kde J je standard šikmo symetrická matice	Y	Y		n(2n+1)

Lieova algebra afinních transformací dimenze dva ve skutečnosti existuje pro jakékoli pole. Instance již byla uvedena v první tabulce pro skutečné Lieovy algebry.

Reference

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103.