Rozšíření Lie Algebra - Lie algebra extension

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lieovy skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

V teorii Lež skupiny, Lež algebry a jejich teorie reprezentace, a Prodloužení algebry E je zvětšení dané Lieovy algebry G jinou Lie algebrou h. Rozšíření vznikají několika způsoby. Tady je triviální rozšíření získá se přímým součtem dvou Lieových algeber. Jiné typy jsou rozdělené rozšíření a centrální prodloužení. Rozšíření mohou vzniknout přirozeně, například při vytváření Lieovy algebry z reprezentace projektivních skupin. Taková Lieova algebra bude obsahovat centrální poplatky.

Počínaje a polynomiální smyčková algebra přes konečně-dimenzionální jednoduchý Lieova algebra a provedení dvou extenzí, centrální extenze a extenze derivací, získá lže algebra, která je izomorfní s nezkrutnou afinitou Kac – Moodyho algebra. Pomocí centrálně rozšířené smyčkové algebry lze sestrojit a aktuální algebra ve dvou časoprostorových rozměrech. The Virasoro algebra je univerzální centrální rozšíření Wittova algebra.^[1]

Ve fyzice jsou zapotřebí centrální rozšíření, protože skupina symetrie kvantovaného systému je obvykle centrálním rozšířením klasické skupiny symetrie a stejným způsobem je odpovídající symetrická Lieova algebra kvantového systému obecně centrálním rozšířením klasická algebra symetrie.^[2] Kac – Moodyho algebry byly považovány za skupiny symetrie jednotné teorie superstrun.^[3] Centrálně rozšířené Lieovy algebry hrají dominantní roli v kvantová teorie pole, zejména v teorie konformního pole, teorie strun a v M-teorie.^[4][5]

Velká část ke konci je věnována podkladovému materiálu pro aplikace rozšíření algebry Lie, jak v matematice, tak ve fyzice, v oblastech, kde jsou skutečně užitečné. Závorkový odkaz, (podkladový materiál ), je poskytována tam, kde by to mohlo být prospěšné.

Dějiny

V důsledku Lež korespondence, teorie a následně historie rozšíření Lieovy algebry je úzce spojena s teorií a historií skupinových rozšíření. Systematické studium rozšíření skupin provedl rakouský matematik Otto Schreier v roce 1923 ve své disertační práci a později publikován.^{[poznámka 1][6][7]} Problém, který pro jeho diplomovou práci představoval Otto Hölder „dostal dvě skupiny G a H, najít všechny skupiny E mít normální podskupinu N izomorfní s G takové, že skupina faktorů E/N je izomorfní s H".

Rozšíření Lie algebry jsou nejzajímavější a nejužitečnější pro nekonečně rozměrné Lieovy algebry. V roce 1967 Victor Kac a Robert Moody nezávisle zobecnil pojem klasických Lieových algeber, což vedlo k nové teorii nekonečně-rozměrných Lieových algeber, nyní nazývané Kac – Moodyho algebry.^[8][9] Zobecňují konečněrozměrné jednoduché Lieovy algebry a často je lze konkrétně zkonstruovat jako rozšíření.^[10]

Zápis a důkazy

Níže je uvedeno zneužití notace E^X pro exponenciální mapa exp daný argument, psaní G pro prvek (G, E_H) v přímém produktu G × H (E_H je identita v H) a analogicky pro Lie Algebra přímé součty (kde také G + h a (G, h) jsou používány zaměnitelně). Stejně tak pro polopřímé produkty a polopřímé součty. K implicitní identifikaci se používají kanonické injekce (jak pro skupiny, tak pro Lie algebry). Kromě toho, pokud G, H, ..., jsou skupiny, pak výchozí názvy prvků G, H, ..., jsou G, h, ..., a jejich Lieovy algebry jsou G, h, .... Výchozí názvy prvků G, h, ..., jsou G, H, ... (stejně jako pro skupiny!), částečně kvůli úspoře omezených abecedních zdrojů, ale hlavně kvůli jednotné notaci.

Algebry lži, které jsou přísadami v rozšíření, budou bez komentáře považovány za stejné pole.

The konvence součtu platí, i když jsou příslušné indexy buď nahoře, nebo oba dole.

Upozornění: Ne všechny důkazy a obrysy důkazů níže mají univerzální platnost. Hlavním důvodem je, že Lieovy algebry jsou často nekonečně dimenzionální, a pak může, ale nemusí existovat Lieova skupina odpovídající Lieově algebře. Navíc, i když taková skupina existuje, nemusí mít „obvyklé“ vlastnosti, např. the exponenciální mapa nemusí existovat, a pokud ano, nemusí mít všechny „obvyklé“ vlastnosti. V takových případech je sporné, zda by skupina měla být vybavena kvalifikací „Lie“. Literatura není jednotná. U explicitních příkladů jsou příslušné struktury údajně zavedeny.

Definice

Rozšíření algebry lži jsou formálně vyjádřena v krátkosti přesné sekvence.^[1] Krátká přesná sekvence je přesná sekvence délky tři,

${ displaystyle { mathfrak {h}} ; { overset {i} { hookrightarrow}} ; { mathfrak {e}} ; { overset {s} { twoheadrightarrow}} ; { mathfrak {G}},}$

(1)

takhle i je monomorfismus, s je epimorfismus, a ker s = im i. Z těchto vlastností přesných sekvencí vyplývá, že (obraz) h je ideál v E. Navíc,

${ displaystyle { mathfrak {g}} cong { mathfrak {e}} / operatorname {Im} i = { mathfrak {e}} / operatorname {Ker} s,}$

ale nemusí to tak být G je izomorfní s subalgebrou E. Tato konstrukce odráží analogické konstrukce v úzce souvisejícím konceptu rozšíření skupiny.

Pokud je situace v (1) převládá, netriviálně a pro Lieovy algebry stejné pole, pak to říká jeden E je příponou G podle h.

Vlastnosti

Definující vlastnost může být přeformulována. Lieova algebra E je příponou G podle h -li

${ displaystyle 0 ; { overset { iota} { hookrightarrow}} { mathfrak {h}} ; { overset {i} { hookrightarrow}} ; { mathfrak {e}} ; { overset {s} { twoheadrightarrow}} ; { mathfrak {g}} ; { overset { sigma} { twoheadrightarrow}} ; 0}$

(2)

je přesný. Zde nuly na koncích představují nulovou Lieovu algebru (obsahující nulový vektor ∅ pouze) a mapy jsou zřejmé; ί mapy ∅ na ∅ a σ mapuje všechny prvky G na ∅. S touto definicí to automaticky vyplývá i je monomorfismus a s je epimorfismus.

Rozšíření G podle h není nutně jedinečný. Nechat E, E' označit dvě rozšíření a nechat prvočísla níže mít zřejmý výklad. Pak, pokud existuje izomorfismus lže algebry F:E → E' takhle

${ displaystyle f circ i = i ', quad s' circ f = s,}$

pak rozšíření E a E' se říká, že jsou ekvivalentní rozšíření. Rovnocennost rozšíření je vztah ekvivalence.

Typy rozšíření

Triviální

Rozšíření algebry Lie

${ displaystyle { mathfrak {h}} ; { overset {i} { hookrightarrow}} ; { mathfrak {t}} ; { overset {s} { twoheadrightarrow}} ; { mathfrak {G}},}$

je triviální pokud existuje podprostor i takhle t = i ⊕ ker s a i je ideál v t.^[1]

Rozdělit

Rozšíření algebry Lie

${ displaystyle { mathfrak {h}} ; { overset {i} { hookrightarrow}} ; { mathfrak {s}} ; { overset {s} { twoheadrightarrow}} ; { mathfrak {G}},}$

je rozdělit pokud existuje podprostor u takhle s = u ⊕ ker s jako vektorový prostor a u je subalgebra v s.

Ideál je subalgebra, ale subalgebra nemusí být nutně ideál. Triviální rozšíření je tedy rozdělené rozšíření.

Centrální

Centrální rozšíření Lieovy algebry G pomocí abelianské Lieovy algebry A lze získat pomocí takzvaného (netriviálního) 2-kocykl (Pozadí ) zapnuto G. Netriviální 2 -cykly se vyskytují v kontextu projektivní reprezentace (Pozadí ) Lieových skupin. To je zmiňováno dále.

Rozšíření algebry Lie

${ displaystyle { mathfrak {h}} ; { overset {i} { hookrightarrow}} ; { mathfrak {c}} ; { overset {s} { twoheadrightarrow}} ; { mathfrak {G}},}$

je centrální prodloužení -li ker s je obsažen v centrum Z(C) z C.

Vlastnosti

• Protože centrum dojíždí se vším, h ≅ im i = ker s v tomto případě je abelian.
• Vzhledem k centrálnímu rozšíření E z G, je možné konstruovat 2-kocykl na G. Předpokládat E je ústředním rozšířením G podle h. Nechat l být lineární mapa z G na E s majetkem, který s ∘ l = Id_G, tj. l je sekce z s. V této části definujte ε: G × G → E podle

${ displaystyle epsilon (G_ {1}, G_ {2}) = l ([G_ {1}, G_ {2}]) - [l (G_ {1}), l (G_ {2})], quad G_ {1}, G_ {2} in { mathfrak {g}}.}$

Mapa ε splňuje

${ displaystyle epsilon (G_ {1}, [G_ {2}, G_ {3}]) + epsilon (G_ {2}, [G_ {3}, G_ {1}]) + epsilon (G_ { 3}, [G_ {1}, G_ {2}]) = 0 in { mathfrak {e}}.}$

Chcete-li to vidět, použijte definici ε na levé straně, pak použijte linearitu l. Použijte Jacobi identitu na G zbavit se poloviny šesti termínů. Použijte definici ε opět za podmínek l([G_i,G_j]) sedí uvnitř tří Lieových závorek, bilineárnosti Lieových závorek a Jacobiho identity E, a nakonec použijte na zbývající tři termíny to Im ε ⊂ ker s a to ker s ⊂ Z(E) aby ε(G_i, G_j) závorky na nulu se vším. Potom z toho vyplývá φ = i⁻¹ ∘ ε splňuje odpovídající vztah, a pokud h navíc je tedy jednorozměrný φ je 2-kolečko G (prostřednictvím triviální korespondence h s podkladovým polem).

Centrální prodloužení

${ displaystyle 0 ; { overset { iota} { hookrightarrow}} { mathfrak {h}} ; { overset {i} { hookrightarrow}} ; { mathfrak {e}} ; { overset {s} { twoheadrightarrow}} ; { mathfrak {g}} ; { overset { sigma} { twoheadrightarrow}} ; 0}$

je univerzální pokud pro každý další centrální nástavec

${ displaystyle 0 ; { overset { iota} { hookrightarrow}} { mathfrak {h}} '; { overset {i'} { hookrightarrow}} ; { mathfrak {e}} ' ; { overset {s '} { twoheadrightarrow}} ; { mathfrak {g}} ; { overset { sigma} { twoheadrightarrow}} ; 0}$

existují unikátní homomorfismy ${ displaystyle Phi: { mathfrak {e}} do { mathfrak {e}} '}$ a ${ displaystyle Psi: { mathfrak {h}} do { mathfrak {h}} '}$ takový, že diagram

dojíždí, tj. i„∘ Ψ = Φ ∘ i a s'∘ Φ = s. Díky univerzálnosti lze snadno dospět k závěru, že taková univerzální centrální rozšíření jsou až do izomorfismu jedinečná.

Konstrukce

Přímým součtem

Nechat G, h být Lie algebry ve stejném poli F. Definovat

${ displaystyle { mathfrak {e}} = { mathfrak {h}} krát { mathfrak {g}},}$

a definujte sčítání bodově na E. Skalární násobení je definováno

${ displaystyle alpha (H, G) = ( alpha H, alpha G), alpha ve F, H v { mathfrak {h}}, G v { mathfrak {g}}.}$

S těmito definicemi h × G ≡ h ⊕ G je vektorový prostor F. S držákem Lie

:${ displaystyle [(H_ {1}, G_ {1}), (H_ {2}, G_ {2})] = ([H_ {1}, H_ {2}], [G_ {1}, G_ { 2}]),}$

(3)

E je Lieova algebra. Definujte dále

${ displaystyle i: { mathfrak {h}} hookrightarrow { mathfrak {e}}; H mapsto (H, 0), quad s: { mathfrak {e}} twoheadrightarrow { mathfrak {g} }; (H, G) mapsto G.}$

Je jasné že (1) platí jako přesná sekvence. Toto rozšíření G podle h se nazývá a triviální rozšíření. Samozřejmě to není nic jiného než přímý součet Lieovy algebry. Symetrií definic, E je příponou h podle G stejně, ale h ⊕ G ≠ G ⊕ h. Je to jasné z (3) že subalgebra 0 ⊕ G je ideální (Lie algebra). Tato vlastnost přímého součtu Lieových algeber je povýšena na definici triviálního rozšíření.

Polopřímým součtem

Inspirováno konstrukcí polopřímého produktu (Pozadí ) skupin používajících homomorfismus G → Aut (H)lze vytvořit odpovídající konstrukt pro Lieovy algebry.

Li ψ:G → Der h je homomorfismus Lieovy algebry, pak definujte Lieovu závorku E = h ⊕ G podle

${ displaystyle [(H, G), (H ', G')] = ([H, H '] + psi _ {G} (H') - psi _ {G '} (H), [ G, G ']), quad H, H' in { mathfrak {h}}, G, G ' in { mathfrak {g}}.}$

(7)

Tímto Lieovým držákem se označuje takto získaná Lieova algebra E= h ⊕_S G a nazývá se polopřímý součet z h a G.

Inspekcí (7) jeden to vidí 0 ⊕ G je subalgebra E a h ⊕ 0 je ideální v E. Definovat i:h → E podle H ↦ H ⊕ 0 a s:E → G podle H ⊕ G ↦ G, H ∈ h, G ∈ G. Je jasné že ker s = im i. Tím pádem E je přípona Lieovy algebry z G podle h.

Stejně jako u triviálního rozšíření tato vlastnost zobecňuje definici rozdělené rozšíření.

Příklad
Nechat G být Skupina Lorentz O (3, 1) a nechte T označit překladatelská skupina ve 4 rozměrech, izomorfní s (ℝ⁴, +), a zvažte pravidlo násobení Poincaré skupina P

${ displaystyle (a_ {2}, Lambda _ {2}) (a_ {1}, Lambda _ {1}) = (a_ {2} + Lambda _ {2} a_ {1}, Lambda _ {2} Lambda _ {1}), quad a_ {1}, a_ {2} in mathrm {T} podmnožina P, Lambda _ {1}, Lambda _ {2} in mathrm {O} (3,1) podmnožina mathrm {P},}$

(kde T a SO (3, 1) jsou identifikováni svými obrázky v P). Z toho okamžitě vyplývá, že ve skupině Poincaré (0, Λ) (A, Já) (0, Λ⁻¹) = (Λ A, Já) ∈ T ⊂ P. Tedy každá Lorentzova transformace Λ odpovídá automorfismu Φ_Λ z T s inverzí Φ_Λ⁻¹ a Φ je jednoznačně homomorfismus. Nyní definujte

${ displaystyle { overline { mathrm {P}}} = mathrm {T} otimes _ {S} mathrm {O} (3,1),}$

obdařen násobením daným (4). Odvíjení definic zjistí, že násobení je stejné jako násobení, které začalo a z toho vyplývá P = P. Z (5') z toho vyplývá Ψ_Λ = Ad_Λ a pak od (6') z toho vyplývá, že ψ_λ = reklama_λ. λ ∈ Ó(3, 1).

Odvozením

Nechat δ být derivací (Pozadí ) z h a označit G rozprostřela se jednorozměrná Lieova algebra δ. Definujte ležovou závorku E = G ⊕ h podle^{[pozn. 2][11]}

${ displaystyle [G_ {1} + H_ {1}, G_ {2} + H_ {2}] = [ lambda delta + H_ {1}, mu delta + H_ {2}] = [H_ { 1}, H_ {2}] + lambda delta (H_ {1}) - mu delta (H_ {2}).}$

Z definice držáku je zřejmé, že h je a ideální v E a to G je subalgebra E. Dále G je doplňkem k h v E. Nechat i:h → E být dán H ↦ (0, H) a s:E → G podle (G, H) ↦ G. Je jasné že im i = ker s. Tím pádem E je rozdělené rozšíření G podle h. Takové rozšíření se nazývá rozšíření derivací.

Li ψ: G → der h je definováno ψ(μδ)(H) = μδ(H), pak ψ je homomorfismus lži algebry do der h. Proto je tato konstrukce zvláštním případem polopřímého součtu, když začínáme ψ a použitím konstrukce v předchozí části vzniknou stejné Lieovy závorky.

2kocyklem

Li ε je 2-cyklus (Pozadí ) na algebře lži G a h je jakýkoli jednorozměrný vektorový prostor, ať E = h ⊕ G (přímý součet vektorového prostoru) a definujte Lieovu závorku E podle

${ displaystyle [ mu H + G_ {1}, nu H + G_ {2}] = [G_ {1}, G_ {2}] + epsilon (G1, G2) H, quad mu, nu in F.}$

Tady H je libovolný, ale pevný prvek h. Antisymetrie vyplývá z antisymetrie Lieova závorka G a antisymetrie 2-cyklu. Jacobi identita vyplývá z odpovídajících vlastností G a ze dne ε. Tím pádem E je Lieova algebra. Dát G₁ = 0 a z toho vyplývá μH ∈ Z(E). Také to následuje s i: μH ↦ (μH, 0) a s: (μH, G) ↦ G že Im i = ker s = {(μH, 0):μ ∈ F} ⊂ Z (E). Proto E je ústředním rozšířením G podle h. To se nazývá prodloužení o 2 kola.

Věty

Níže jsou uvedeny některé výsledky týkající se centrálních rozšíření a 2-cyklů.^[12]

Teorém^[1]
Nechat φ₁ a φ₂ být cohomologous 2-cocycles na Lie algebře G a nechte E₁ a E₂ být centrálními rozšířeními konstruovanými z těchto 2-cyklů. Pak centrální rozšíření E₁ a E₂ jsou ekvivalentní rozšíření.
Důkaz
Podle definice, φ₂ = φ₁ + δf. Definovat

${ displaystyle psi: G + mu c in { mathfrak {e}} _ {1} mapsto G + mu c + f (G) c in { mathfrak {e}} _ {2}.}$

Z definic vyplývá, že ψ je izomorfismus Lieovy algebry a (2) drží.

Důsledek
Třída kohomologie [Φ] ∈ H²(G, F) definuje centrální rozšíření G což je jedinečné až do izomorfismu.

Triviální 2-cyklus dává triviální prodloužení a protože 2-coboundary je cohomologous s triviální 2-cyklus, jeden má
Důsledek
Centrální extenze definovaná coboundary je ekvivalentní s triviální centrální extenzí.

Teorém
Konečněrozměrná jednoduchá Lieova algebra má pouze triviální centrální rozšíření.
Důkaz
Protože každý centrální nástavec pochází z 2kocyklu φ, stačí ukázat, že každý 2-cyklus je hranicí. Předpokládat φ je 2-kolečko G. Úkolem je použít tento 2-cyklus k výrobě 1-řetězce F takhle φ = δf.

Prvním krokem je pro každého G_G1 ∈ G použití φ definovat lineární mapu ρ_G1:G → F. Ale lineární mapy jsou prvky G^∗. To stačí k vyjádření φ ve smyslu K.pomocí izomorfismu ν. Dále lineární mapa d:G → G je definována jako derivace. Protože všechny derivace jsou vnitřní, jedna má d = reklama_Gd pro některé G_d ∈ G. Výraz pro φ ve smyslu K. a d je získáno. Takto nastaveno, věřit tomu d je odvození,

${ displaystyle varphi (G_ {1}, G_ {2}) equiv rho _ {G_ {1}} (G_ {2}) = K ( nu ^ {- 1} ( rho _ {G_ { 1}}), G_ {2}) ekv K (d (G_ {1}), G_ {2}) = K ( mathrm {ad} _ {G_ {d}} (G_ {1}), G_ {2}) = K ([G_ {d}, G_ {1}], G_ {2}) = K (G_ {d}, [G_ {1}, G_ {2}]).}$

Nechat F být 1-řetězec definovaný

${ displaystyle f (G) = K (G_ {d}, G).}$

Pak

${ displaystyle delta f (G_ {1}, G_ {2}) = f ([G_ {1}, G_ {2}]) = K (G_ {d}, [G_ {1}, G_ {2} ]) = varphi (G_ {1}, G_ {2}),}$

což ukazuje φ je státní hranice. Podle předchozích výsledků je jakékoli centrální rozšíření triviální.

Pozorování, že lze definovat derivaci d, vzhledem k symetrické nedegenerované asociativní formě K. a 2-kolečko φtím, že

${ displaystyle K ( nu ^ {- 1} ( rho _ {G_ {1}}), G_ {2}) equiv K (d (G_ {1}), G_ {2}),}$

nebo pomocí symetrie K. a antisymetrie φ,

${ displaystyle K (d (G_ {1}), G_ {2}) = - K (G_ {1}, d (G_ {2})),}$

vede k následku.

Důsledek
Nechat L: 'G × G: → F být nedegenerovanou symetrickou asociativní bilineární formou a nechat d být derivací uspokojující

${ displaystyle L (d (G_ {1}), G_ {2}) = - L (G_ {1}, d (G_ {2})),}$

pak φ definován

${ displaystyle varphi (G_ {1}, G_ {2}) = L (d (G_ {1}), G_ {2})}$

je 2-cyklus.

DůkazPodmínka na d zajišťuje antisymetrii φ. Jacobiho identita pro 2 -cykly následuje počínaje

${ displaystyle varphi ([G1, G_ {2}], G_ {3}) = L (d [G1, G_ {2}], G_ {3}) = L ([d (G1), G_ {2 }], G_ {3}) + L ([G1, d (G_ {2})], G_ {3}),}$

pomocí symetrie formy, antisymetrie závorky a ještě jednou definice φ ve smyslu L.

Li G je Lieova algebra skupiny Lie G a E je ústředním rozšířením Gje možné se zeptat, zda existuje Lieova skupina E s Lieovou algebrou E. Odpověď je, tím Lieova třetí věta kladně. Ale je tam a centrální prodloužení E z G s Lieovou algebrou E? Odpověď na tuto otázku vyžaduje určité mechanismy a lze ji najít v Tuynman & Wiegerinck (1987, Věta 5.4).

Aplikace

„Negativní“ výsledek předchozí věty naznačuje, že je třeba, alespoň u polojednodušých Lieových algeber, přejít na nekonečně trojrozměrné Lieovy algebry a najít užitečné aplikace centrálních rozšíření. Existují skutečně takové. Zde budou představeny afinní algebry Kac – Moody a Virasoro. Jedná se o rozšíření polynomiálních smyčkových algeber a respektive Wittovy algebry.

Polynomiální smyčková algebra

Nechat G být polynomiální smyčkovou algebrou (Pozadí ),

${ displaystyle { mathfrak {g}} = C [ lambda, lambda ^ {- 1}] otimes { mathfrak {g}} _ {0},}$

kde G₀ je komplexní konečněrozměrná jednoduchá Lieova algebra. Cílem je najít centrální rozšíření této algebry. Platí dvě věty. Na jedné straně, pokud je na 2-kolečku G, pak lze definovat centrální prodloužení. Na druhou stranu, pokud tento 2-cyklus působí na G₀ část (pouze), pak je výsledné rozšíření triviální. Navíc derivace působící na G₀ (pouze) nelze použít pro definici 2-cyklu, protože tyto derivace jsou všechny vnitřní a mají stejný problém. Jeden proto hledá derivace na C[λ, λ⁻¹]. Jedna taková sada derivací je

${ displaystyle d_ {k} equiv lambda ^ {k + 1} { frac {d} {d lambda}}, quad k in mathbb {Z}.}$

Za účelem výroby nedegenerované bilineární asociativní antisymetrické formy L na G, pozornost je zaměřena nejprve na omezení argumentů, s m, n pevný. Je to věta každý forma splňující požadavky je násobkem formy zabíjení K. na G₀.^[13] To vyžaduje

${ displaystyle L ( lambda ^ {l} otimes G_ {1}, lambda ^ {m} otimes G_ {2}) = gamma _ {lm} K (G_ {1}, G_ {2}) .}$

Symetrie K. naznačuje

${ displaystyle gamma _ {mn} = gamma _ {nm},}$

a výnosy asociativity

${ displaystyle gamma _ {k + l, m} = gamma _ {k, l + m}.}$

S l = 0 jeden to vidí y_lm = y_0,l+m. Tato poslední podmínka implikuje první. Pomocí této skutečnosti definujte F(n) = y_0,n. Poté se stane definující rovnice

${ displaystyle L ( lambda ^ {m} otimes G_ {1}, lambda ^ {m} otimes G_ {2}) = f (l + m) K (G_ {1}, G_ {2}) .}$

Pro každého i ∈ ℤ definice

${ displaystyle f (n) = delta _ {ni} levá šipka gamma _ {lm} = delta _ {l + m, i}}$

definuje symetrický asociativní bilineární tvar

${ displaystyle L_ {i} ( lambda ^ {l} otimes G_ {1}, lambda ^ {m} otimes G_ {2}) = delta _ {l + m, i} K (G_ {1 }, G_ {2}).}$

Ale tyto tvoří základ vektorového prostoru, ve kterém má každá forma správné vlastnosti.

Návrat k derivacím po ruce a podmínce

${ displaystyle L_ {i} (d_ {k} ( lambda ^ {l} otimes G_ {1}), lambda ^ {m} otimes G_ {2}) = - L_ {i} ( lambda ^ {l} otimes G_ {1}, d_ {k} ( lambda ^ {m} otimes G_ {2})),}$

jeden vidí, pomocí definic, že

${ displaystyle l delta _ {k + l + m, i} = - m delta _ {k + l + m, i},}$

nebo s n = l + m,

${ displaystyle n delta _ {k + n, i} = 0.}$

Toto (a podmínka antisymetrie) platí, pokud k = i, zejména platí, když k = i = 0.

Tak si vybral L = L₀ a d = d₀. S těmito možnostmi jsou prostory v doplňku spokojeny. 2-kolečko φ definován

${ displaystyle varphi (P ( lambda) otimes G_ {1}), Q ( lambda) otimes G_ {2})) = L ( lambda { frac {dP} {d lambda}} otimes G_ {1}, Q ( lambda) otimes G_ {2})}$

je konečně použit k definování centrálního rozšíření G,

${ displaystyle { mathfrak {e}} = { mathfrak {g}} oplus mathbb {C} C,}$

s držákem Lie

${ displaystyle [P ( lambda) otimes G_ {1} + mu C, Q ( lambda) otimes G_ {2} + nu C] = P ( lambda) Q ( lambda) otimes [ G_ {1}, G_ {2}] + varphi (P ( lambda) otimes G_ {1}, Q ( lambda) otimes G_ {2}) C.}$

Pro základní prvky, vhodně normalizované a s konstantami antisymetrické struktury, jeden má

${ displaystyle { begin {zarovnáno} {} [ lambda ^ {l} otimes G_ {i} + mu C, lambda ^ {m} otimes G_ {j} + nu C] & = lambda ^ {l + m} otimes [G_ {i}, G_ {j}] + varphi ( lambda ^ {l} otimes G_ {i}, lambda ^ {m} otimes G_ {j}) C & = lambda ^ {l + m} otimes {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + L ( lambda { frac {d lambda ^ {l}} {d lambda} } otimes G_ {i}, lambda ^ {m} otimes G_ {j}) C & = lambda ^ {l + m} otimes {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + lL ( lambda ^ {l} otimes G_ {i}, lambda ^ {m} otimes G_ {j}) C & = lambda ^ {l + m} otimes {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + l delta _ {l + m, 0} K (G_ {i}, G_ {j}) C & = lambda ^ {l + m} otimes {C_ { ij}} ^ {k} G_ {k} + l delta _ {l + m, 0} {C_ {ik}} ^ {m} {C_ {jm}} ^ {k} C = lambda ^ {l + m} otimes {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + l delta _ {l + m, 0} delta ^ {ij} C. end {zarovnáno}}}$

Toto je univerzální centrální rozšíření polynomiální smyčkové algebry.^[14]

Poznámka k terminologii

Ve fyzikální terminologii by výše uvedená algebra mohla přejít na Kac – Moodyho algebru, zatímco v matematické terminologii to pravděpodobně nebude. K tomu je zapotřebí další dimenze, rozšíření derivací. Nicméně, pokud ve fyzické aplikaci jsou vlastní hodnoty G₀ nebo jeho zástupce jsou interpretovány jako (běžné) kvantová čísla, dodatečný horní index na generátorech se označuje jako úroveň. Je to další kvantové číslo. Další operátor, jehož vlastní hodnoty jsou přesně úrovně, je uveden níže.

Aktuální algebra

Murray Gell-Mann, 1969 Laureát Nobelovy ceny ve fyzice zahájil v 60. letech pole současné algebry. Využívá známé místní symetrie i bez znalosti základní dynamiky k extrahování předpovědí, např. the Adler – Weisbergerovo pravidlo součtu.

Jako aplikace centrálního rozšíření polynomiální smyčkové algebry, a aktuální algebra kvantové teorie pole se uvažuje (Pozadí ). Předpokládejme, že jeden má aktuální algebru se zajímavým komutátorem

${ displaystyle [J_ {a} ^ {0} (t, mathbf {x}), J_ {b} ^ {i} (t, mathbf {y})] = i {C_ {ab}} ^ { c} J_ {c} ^ {i} (t, mathbf {x}) delta ( mathbf {x} - mathbf {y}) + S_ {ab} ^ {ij} částečný _ {j} delta ( mathbf {x} - mathbf {y}) + ...,}$

(CA10)

s Schwingerovým výrazem. Abychom tuto algebru matematicky zkonstruovali, dovolme G být centrálně rozšířená polynomiální smyčková algebra předchozí části s

${ displaystyle [ lambda ^ {l} otimes G_ {i} + mu C, lambda ^ {m} otimes G_ {j} + nu C] = lambda ^ {l + m} otimes { C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + l delta _ {l + m, 0} delta _ {ij} C}$

jako jeden z komutačních vztahů, nebo se změnou notace (l→m, m→n, i→A, j→b, λ^m⊗G_A→T^m_A) s faktorem i podle konvence fyziky,^{[pozn. 3]}

${ displaystyle [T_ {a} ^ {m}, T_ {b} ^ {n}] = i {C_ {ab}} ^ {c} T_ {c} ^ {m + n} + m delta _ { m + n, 0} delta _ {ab} C.}$

Definujte pomocí prvků G,

${ displaystyle J_ {a} (x) = { frac { hbar} {L}} součet _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi inx} {L }} T_ {a} ^ {- n}, x in mathbb {R}.}$

Jeden to konstatuje

${ displaystyle J_ {a} (x + L) = J_ {a} (x)}$

takže je definována na kruhu. Nyní spočítejte komutátor,

${ displaystyle { begin {aligned} [] [J_ {a} (x), J_ {b} (y)] & = left ({ frac { hbar} {L}} right) ^ {2 } left [ sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi inx} {L}} T_ {a} ^ {- n}, sum _ {m = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi imy} {L}} T_ {b} ^ {- m} right] & = left ({ frac { hbar} {L}} vpravo) ^ {2} sum _ {m, n = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi inx} {L}} e ^ { frac {2 pi imy} {L}} [T_ {a} ^ {- n}, T_ {b} ^ {- m}]. end {zarovnáno}}}$

Pro zjednodušení přepněte souřadnice tak, aby y → 0, X → X − y ≡ z a použít komutační vztahy,

${ displaystyle { begin {aligned} [] [J_ {a} (z), J_ {b} (0)] & = left ({ frac { hbar} {L}} right) ^ {2 } sum _ {m, n = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi inz} {L}} [i {C_ {ab}} ^ {c} T_ {c} ^ {-mn} + m delta _ {m + n, 0} delta _ {ab} C] & = left ({ frac { hbar} {L}} right) ^ {2} součet _ {m = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi i (-m) z} {L}} sum _ {l = - infty} ^ { infty} tj ^ { frac {2 pi i (l) z} {L}} {C_ {ab}} ^ {c} T_ {c} ^ {- l} + left ({ frac { hbar} {L }} right) ^ {2} sum _ {m, n = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi inz} {L}} m delta _ {m + n, 0} delta _ {ab} C & = left ({ frac { hbar} {L}} right) sum _ {m = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi imz} {L}} i {C_ {ab}} ^ {c} J_ {c} (z) - left ({ frac { hbar} {L}} right) ^ {2} sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {2 pi inz} {L}} n delta _ {ab} C end {zarovnáno}}}$

Nyní zaměstnejte Poissonův součtový vzorec,

${ displaystyle { frac {1} {L}} součet _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ { frac {-2 pi inz} {L}} = { frac {1 } {L}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} delta (z + nL) = delta (z)}$

pro z v intervalu (0, L) a rozlišit jej tak, aby poskytoval

${ displaystyle - { frac {2 pi i} {L ^ {2}}} součet _ {n = - infty} ^ { infty} ne ^ { frac {-2 pi inz} {L }} = delta '(z),}$

a nakonec

${ displaystyle [J_ {a} (xy), J_ {b} (0)] = i hbar {C_ {ab}} ^ {c} J_ {c} (xy) delta (xy) + { frac {i hbar ^ {2}} {2 pi}} delta _ {ab} C delta '(xy),}$

nebo

${ displaystyle [J_ {a} (x), J_ {b} (y)] = i hbar {C_ {ab}} ^ {c} J_ {c} (x) delta (xy) + { frac {i hbar ^ {2}} {2 pi}} delta _ {ab} C delta '(xy),}$

protože argumenty funkce delta zajišťují pouze to, že argumenty levého a pravého argumentu komutátoru jsou stejné (formálně δ(z) = δ(z − 0) ↦ δ((X −y) − 0) = δ(X −y)).

Ve srovnání s CA10, toto je aktuální algebra ve dvou dimenzích časoprostoru, včetně Schwingerova termínu, s prostorovou dimenzí stočenou do kruhu. V klasickém prostředí kvantové teorie pole je to možná málo užitečné, ale s příchodem teorie strun, kde pole žijí na světových listech řetězců a prostorové dimenze jsou zvlněné, mohou existovat relevantní aplikace.

Kac – Moodyho algebra

Robert Moody (vlevo), člen týmu Royal Society of Canada, je kanadský matematik v University of Alberta. Spoluautorem je spoluobjevitelem Kac – Moodyho algebry Victor Kac, Členka týmu Americká matematická společnost, ruský matematik pracující v MIT.

Odvození d₀ použitý při konstrukci 2-kola φ v předchozí části lze rozšířit na odvození D na centrálně rozšířené polynomiální smyčkové algebře, zde označeno G za účelem realizace Kac – Moodyho algebry^[15][16] (Pozadí ). Jednoduše nastaveno

${ displaystyle D (P ( lambda) otimes G + mu C) = lambda { frac {dP ( lambda)} {d lambda}} otimes G.}$

Dále definujte jako vektorový prostor

${ displaystyle { mathfrak {e}} = mathbb {C} d + { mathfrak {g}}.}$

Držák Lie zapnutý E je, podle standardní konstrukce s odvozením, dané na základě

${ displaystyle { begin {zarovnáno} {} [ lambda ^ {m} otimes G_ {1} + mu C + nu D, lambda ^ {n} otimes G_ {2} + mu 'C + nu 'D] & = lambda ^ {m + n} otimes [G_ {1}, G_ {2}] + m delta _ {m + n, 0} K (G_ {1}, G_ {2} ) C + nu D ( lambda ^ {n} otimes G_ {1}) - nu 'D ( lambda ^ {m} otimes G_ {2}) & = lambda ^ {m + n} otimes [G_ {1}, G_ {2}] + m delta _ {m + n, 0} K (G_ {1}, G_ {2}) C + nu n lambda ^ {n} otimes G_ {1} - nu 'm lambda ^ {m} otimes G_ {2}. End {zarovnáno}}}$

Pro větší pohodlí definujte

${ displaystyle G_ {i} ^ {m} leftrightarrow lambda ^ {m} další G_ {i}.}$

Dále předpokládejme, že základ na podkladové konečné trojrozměrné jednoduché Lieově algebře byl zvolen tak, aby strukturní koeficienty byly ve všech indexech antisymetrické a aby byl základ náležitě normalizován. Pak jeden okamžitě prostřednictvím definic ověří následující komutační vztahy.

${ displaystyle { begin {aligned} {} [G_ {i} ^ {m}, G_ {j} ^ {n}] & = {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} ^ {m + n} + m delta _ {ij} delta ^ {m + n, 0} C, {} [C, G_ {i} ^ {m}] & = 0, quad 1 leq i, j , N, quad m, n in mathbb {Z} {} [D, G_ {i} ^ {m}] & = mG_ {i} ^ {m} {} [D, C] & = 0. End {zarovnáno}}}$

Jedná se přesně o krátký popis nekroucené afinní Kac – Moodyho algebry. Chcete-li rekapitulovat, začněte s konečněrozměrnou jednoduchou Lieovou algebrou. Definujte prostor formálních Laurentových polynomů s koeficienty v konečné trojrozměrné jednoduché Lieově algebře. S podporou symetrického nedegenerovaného střídavého bilineárního tvaru a derivace je definován 2-cyklus, který je následně použit ve standardním předpisu pro centrální prodloužení o 2-cyklus. Rozšiřte derivaci na tento nový prostor, použijte standardní recept na rozdělené rozšíření derivací a získá se nezkrutná afinní algebra Kac – Moody.

Virasoro algebra

Účelem je postavit Virasoro algebra, kvůli Miguel Angel Virasoro,^{[pozn. 4]} jako centrální rozšíření o 2-kocykly φ Wittovy algebry Ž (Pozadí ). Jacobiho identita pro 2-cykly se vydává

${ displaystyle (lm) eta _ {n + m, p} + (mn) eta _ {m + n, l} + (nl) eta _ {l + n, m} = 0, quad eta _ {ij} = varphi (d_ {i}, d_ {j}).}$

(V10)

Pronájem l = 0 a pomocí antisymetrie η jeden získá

${ displaystyle (m + p) eta _ {mp} = (m-p) eta _ {m + p, 0}.}$

V rozšíření komutační vztahy pro prvek d₀ jsou

${ displaystyle [d_ {0} + mu C, d_ {m} + nu C] _ { varphi} = - md_ {m} + eta _ {0m} C = -m (d_ {m} - { frac { eta _ {0m}} {m}} C).}$

Je žádoucí zbavit se centrální poplatek na pravé straně. Chcete-li to definovat

${ displaystyle f: W to mathbb {C}; d_ {m} to { frac { varphi (d_ {0}, d_ {m})} {m}} = { frac { eta _ {0m}} {m}}.}$

Poté pomocí F jako 1-řetěz,

${ displaystyle eta '_ {0n} = varphi' (d_ {0}, d_ {n}) = varphi (d_ {0}, d_ {n}) + delta f ([d_ {0}, d_ {n}]) = varphi (d_ {0}, d_ {n}) - n { frac { eta ^ {0n}} {n}} = 0,}$

takže s tímto 2-cyklem, ekvivalentem k předchozímu, jeden má^{[pozn. 5]}

${ displaystyle [d_ {0} + mu C, d_ {m} + nu C] _ { varphi '} = - md_ {m}.}$

S tímto novým 2-cyklem (přeskočte primární) se stav stane

${ displaystyle (n + p) eta _ {mp} = (n-p) eta _ {m + p, 0} = 0,}$

a tudíž

${ displaystyle eta _ {mp} = a (m) delta _ {m.-p}, quad a (-m) = - a (m),}$

kde poslední podmínka je způsobena antisymetrií Lieova závorka. S tím a s l + m + str = 0 (vystřižení "letadla" v ℤ³), (V10) výnosy

${ displaystyle (2m + p) a (p) + (m-p) a (m + p) + (m + 2p) a (m) = 0,}$

že s str = 1 (vyříznutí "čáry" v ℤ²) se stává

${ displaystyle (m-1) a (m + 1) - (m + 2) a (m) + (2m + 1) a (1) = 0.}$

Tohle je rozdílová rovnice obecně řeší

${ displaystyle a (m) = alfa m + beta m ^ {3}.}$

Komutátor v rozšíření na prvcích Ž je tedy

${ displaystyle [d_ {l}, d_ {m}] = (l-m) d_ {l + m} + ( alpha m + beta m ^ {3}) delta _ {l, -m} C.}$

S β = 0 je možné změnit základ (nebo upravit 2-kocykl o 2-coboundary) tak, aby

${ displaystyle [d '_ {l}, d' _ {m}] = (l-m) d_ {l + m},}$

s centrálním nábojem zcela chybí a rozšíření je tedy triviální. (To nebyl (obecně) případ předchozí úpravy, kde pouze d₀ získal původní vztahy.) S β ≠ 0 následující změna základny,

${ displaystyle d '_ {l} = d_ {l} + delta _ {0l} { frac { alpha + gamma} {2}} C,}$

komutační vztahy mají formu

${ displaystyle [d '_ {l}, d' _ {m}] = (lm) d '_ {l + m} + ( gamma m + beta m ^ {3}) delta _ {l, - m} C,}$

ukazuje, že součást je lineární v m je triviální. To také ukazuje H²(Ž, ℂ) je jednorozměrný (odpovídá volbě β). Konvenční volba je vzít α = −β = ​¹⁄₁₂ a stále si zachovává svobodu absorbováním libovolného faktoru v libovolném objektu C. The Virasoro algebra PROTI je tedy

${ displaystyle { mathcal {V}} = { mathcal {W}} + mathbb {C} C,}$

s komutačními vztahy

Bosonic otevřené struny

Relativistický klasický otevřený řetězec (Pozadí ) podléhá kvantování. To zhruba odpovídá zaujetí pozice a hybnosti řetězce a jejich propagaci operátorům v prostoru stavů otevřených řetězců. Vzhledem k tomu, že řetězce jsou rozšířené objekty, výsledkem je kontinuum operátorů v závislosti na parametru σ. Následující komutační vztahy jsou předpokládány v Heisenbergův obrázek.^[17]

${ displaystyle { begin {aligned} {} [X ^ {I} ( tau, sigma), { mathcal {P}} ^ { tau J} ( tau, sigma)] & = i eta ^ {IJ} delta ( sigma - sigma '), {} [x_ {0} ^ {-} ( tau), p ^ {+} ( tau)] & = - i. konec {zarovnáno}}}$

Všechny ostatní komutátory zmizí.

Kvůli kontinuu operátorů a kvůli funkcím delta je žádoucí vyjádřit tyto vztahy místo kvantovaných verzí režimů Virasoro, Operátoři Virasoro. Ty se počítají k uspokojení

${ displaystyle [ alpha _ {m} ^ {I}, alpha _ {n} ^ {J}] = m eta ^ {IJ} delta _ {m + n, 0}}$

Jsou interpretovány jako operátory tvorby a zničení působící na Hilbertův prostor, zvyšující nebo snižující kvantum jejich příslušných režimů. Pokud je index záporný, operátor je operátor vytvoření, jinak se jedná o operátor vyhlazení. (Pokud je nula, je úměrná celkovému operátoru hybnosti.) Vzhledem k tomu, že režimy světelného kužele plus a mínus byly vyjádřeny jako příčné režimy Virasoro, je třeba vzít v úvahu komutační vztahy mezi operátory Virasoro. Ty byly klasicky definovány (pak režimy) jako

${ displaystyle L_ {n} = { frac {1} {2}} sum _ {p in mathbb {Z}} alpha _ {np} ^ {I} alpha _ {p} ^ {I }.}$

Vzhledem k tomu, že v kvantované teorii jsou alfy operátory, na pořadí faktorů záleží. Z hlediska komutačního vztahu mezi operátory režimu bude záležet pouze na operátorovi L₀ (pro který m + n = 0). L₀ je vybrán normální objednané,

${ displaystyle L_ {0} = { frac {1} {2}} alpha _ {0} ^ {I} alpha _ {0} ^ {I} + sum _ {p = 1} ^ { infty} alpha _ {- p} ^ {I} alpha _ {p} ^ {I}, = alpha 'p ^ {I} p ^ {I} + sum _ {p = 1} ^ { infty} p alpha _ {p} ^ {I dagger} alpha _ {p} ^ {I} + c}$

kde C je možná objednávací konstanta. Jeden získá po poněkud zdlouhavém výpočtu^[18] vztahy

${ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (m-n) L_ {m + n}, quad m + n neq 0.}$

Pokud by to někdo dovolil m + n = 0 nahoře, pak máme přesně komutační vztahy Wittovy algebry. Místo toho jeden má

${ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + { frac {D-2} {12}} (m ^ {3} -m) delta _ { m + n, 0}, quad všechna m, n in mathbb {Z}.}$

při identifikaci obecného obecného výrazu jako (D − 2) krát operátor identity, toto je Virasoro algebra, univerzální centrální rozšíření Wittovy algebry.

Operátor L₀ vstupuje do teorie jako Hamiltonian, modulo aditivní konstanta. Kromě toho operátoři Virasoro vstupují do definice Lorentzových generátorů teorie. Je to možná nejdůležitější algebra v teorii strun.^[19] Konzistence Lorentzových generátorů mimochodem fixuje časoprostorovou dimenzionalitu na 26. Zatímco zde prezentovaná teorie (pro relativní jednoduchost expozice) je nefyzická, nebo přinejmenším neúplná (nemá například žádné fermiony) Virasoro algebra vzniká stejným způsobem u životaschopnějších teorie superstrun a M-teorie.

Skupinové rozšíření

Projektivní reprezentace Π (G) skupiny lži G (Pozadí ) lze použít k definování tzv rozšíření skupiny G_např.

V kvantové mechanice Wignerova věta tvrdí, že pokud G je skupina symetrie, pak ji budou projektivně v Hilbertově prostoru reprezentovat unitární nebo antiunitární operátoři. This is often dealt with by passing to the univerzální krycí skupina z G and take it as the symmetry group. This works nicely for the rotační skupina SO (3) a Skupina Lorentz O(3, 1), but it does not work when the symmetry group is the Galileova skupina. In this case one has to pass to its central extension, the Bargmann group,^[20] which is the symmetry group of the Schrödingerova rovnice. Stejně tak, pokud G = ℝ²ⁿ, the group of translations in position and momentum space, one has to pass to its central extension, the Skupina Heisenberg.^[21]

Nechat ω be the 2-cocycle on G vyvolané Π. Definovat^{[pozn. 6]}

${displaystyle G_{mathrm {ex} }=mathbb {C} ^{*} imes G={(lambda ,g)|lambda in mathbb {C} ,gin G}}$

as a set and let the multiplication be defined by

${displaystyle (lambda _{1},g_{1})(lambda _{2},g_{2})=(lambda _{1}lambda _{2}omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2}).}$

Associativity holds since ω is a 2-cocycle on G. One has for the unit element

${displaystyle (1,e)(lambda ,g)=(lambda omega (e,g),g)=(lambda ,g)=(lambda ,g)(1,e),}$

and for the inverse

${displaystyle (lambda ,g)^{-1}=left({frac {1}{lambda omega (g,g^{-1})}},g^{-1} ight).}$

Sada (ℂ^*, E) is an abelian subgroup of G_např. Tohle znamená tamto G_např is not semisimple. The centrum z G, Z(G) = {z ∈ G|zg = gz ∀G ∈ G} includes this subgroup. The center may be larger.

At the level of Lie algebras it can be shown that the Lie algebra G_např z G_např darováno

${displaystyle {mathfrak {g}}_{mathrm {ex} }=mathbb {C} Coplus {mathfrak {g}},}$

as a vector space and endowed with the Lie bracket

${displaystyle [mu C+G_{1}, u C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+eta (G_{1},G_{2})C.}$

Tady η is a 2-cocycle on G. This 2-cocycle can be obtained from ω albeit in a highly nontrivial way.^{[pozn. 7]}

Now by using the projective representation Π one may define a map Π_např podle

${displaystyle Pi _{mathrm {ex} }((lambda ,g))=lambda Pi (g).}$

It has the properties

${displaystyle Pi _{mathrm {ex} }((lambda _{1},g_{1}))Pi _{mathrm {ex} }((lambda _{2},g_{2}))=lambda _{1}lambda _{2}Pi (g_{1})Pi (g_{2})=lambda _{1}lambda _{2}omega (g_{1},g_{2})Pi (g_{1}g_{2})=Pi _{mathrm {ex} }(lambda _{1}lambda _{2}omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})=Pi _{mathrm {ex} }((lambda _{1},g_{1})(lambda _{2},g_{2})),}$

tak Π_např(G_např) is a bona fide representation of G_např.

In the context of Wigner's theorem, the situation may be depicted as such (replace ℂ^* podle U (1)); nechat SH denote the unit sphere in Hilbert space Ha nechte (·,·) be its inner product. Nechat PH označit ray space a [·,·] the ray product. Let moreover a wiggly arrow denote a skupinová akce. Then the diagram

commutes, i.e.

${displaystyle pi _{2}circ Pi _{mathrm {ex} }((lambda ,g))(psi )=Pi circ pi (g)(pi _{1}(psi )),quad psi in S{mathcal {H}}.}$

Moreover, in the same way that G is a symmetry of PH zachování [·,·], G_např is a symmetry of SH zachování (·,·). The vlákna z π₂ are all circles. These circles are left invariant under the action of U (1). Akce U (1) on these fibers is transitive with no fixed point. The conclusion is that SH je principal fiber bundle přes PH se strukturní skupinou U (1).^[21]

Podkladový materiál

In order to adequately discuss extensions, structure that goes beyond the defining properties of a Lie algebra is needed. Rudimentary facts about these are collected here for quick reference.

Odvození

A derivace δ on a Lie algebra G je mapa

${displaystyle delta :{mathfrak {g}} ightarrow {mathfrak {g}}}$

takové, že Leibnizovo pravidlo

${displaystyle delta [G_{1},G_{2}]=[delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},delta G_{2}]}$

drží. The set of derivations on a Lie algebra G je označen der G. It is itself a Lie algebra under the Lie bracket

${displaystyle [delta _{1},delta _{2}]=delta _{1}circ delta _{2}-delta _{2}circ delta _{1}.}$

It is the Lie algebra of the group Aut G automorfismů G.^[22] One has to show

${displaystyle delta [G_{1},G_{1}]=[delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},delta G_{2}]Leftrightarrow e^{tdelta }[G_{1},G_{2}]=[e^{tdelta }G_{1},e^{tdelta }G_{2}],quad forall tin mathbb {R} .}$

If the rhs holds, differentiate and set t = 0 implying that the lhs holds. If the lhs holds (A), write the rhs as

${displaystyle [G_{1},G_{2}];{overset {?}{=}};e^{-tdelta }[e^{tdelta }G_{1},e^{tdelta }G_{2}],}$

and differentiate the rhs of this expression. It is, using (A), identically zero. Hence the rhs of this expression is independent of t and equals its value for t = 0, which is the lhs of this expression.

Li G ∈ G, pak inzerát_G, acting by inzerát_G1(G₂) = [G₁, G₂], is a derivation. Sada inzerát_G: G ∈ G je sada inner derivations na G. For finite-dimensional simple Lie algebras all derivations are inner derivations.^[23]