Lež uhlí - Lie coalgebra

v matematika A Lež uhlí je duální struktura a Lež algebra.

V konečných rozměrech jsou to duální objekty: duální vektorový prostor do a Lež algebra přirozeně má strukturu Liegeovy algebry a naopak.

Definice

Nechat E být vektorový prostor přes pole k vybaven lineárním mapováním ${displaystyle dcolon E o Ewedge E}$ z E do vnější produkt z E sám se sebou. Je možné prodloužit d jedinečně pro odstupňovaná derivace (to znamená, že pro všechny A, b ∈ E což jsou homogenní prvky, ${displaystyle d (awedge b) = (da) klín b + (- 1) ^ {operatorname {deg} a} awedge (db)}$) stupně 1 na vnější algebra z E:

${displaystyle dcolon igwedge ^ {ullet} Eightarrow igwedge ^ {ullet +1} E.}$

Pak dvojice (E, d) se říká, že je Liegegegebra, pokud d² = 0, tj. Pokud jsou odstupňované složky vnější algebra s odvozením ${displaystyle (igwedge ^ {*} E, d)}$formulář a komplex řetězců:

${displaystyle E ightarrow ^ {!!!!!! d} Ewedge E ightarrow ^ {!!!!!! d} igwedge ^ {3} Eightarrow ^ {!!!!!! d} tečky}$

Vztah ke komplexu de Rham

Stejně jako vnější algebra (a tenzorová algebra) z vektorová pole na potrubí tvoří Lieovu algebru (přes základní pole K.), komplex de Rham diferenciálních forem na potrubí tvoří Lieovu uhlígebru (přes základní pole K.). Dále existuje párování mezi vektorovými poli a diferenciálními formami.

Situace je však jemnější: Lieova závorka není lineární nad algebrou hladkých funkcí ${displaystyle C ^ {infty} (M)}$ (chyba je Derivát lži ), ani není vnější derivace: ${displaystyle d (fg) = (df) g + f (dg) eq f (dg)}$ (je to derivace, ne lineární nad funkcemi): nejsou tenzory. Nejsou lineární nad funkcemi, ale chovají se konzistentně, což není zachyceno pouhou představou Lieovy algebry a Lieovy uhlígebry.

Dále v komplexu de Rham není derivace definována pouze pro ${displaystyle Omega ^ {1} o Omega ^ {2}}$, ale je také definován pro ${displaystyle C ^ {infty} (M) o Omega ^ {1} (M)}$.

Lieova algebra na dualitě

Struktura Lieovy algebry ve vektorovém prostoru je mapa ${displaystyle [cdot, cdot] dvojtečka {mathfrak {g}} imes {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$ který je šikmo symetrický, a uspokojuje Jacobi identitu. Ekvivalentně mapa ${displaystyle [cdot, cdot] dvojtečka {mathfrak {g}} klín {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$ který uspokojuje Jacobi identita.

Duálně struktura Liege Cogegebra ve vektorovém prostoru E je lineární mapa ${displaystyle dcolon E o Eotimes E}$ což je antisymetrické (to znamená, že uspokojuje ${displaystyle au circ d = -d}$, kde ${displaystyle au}$ je kanonický flip ${displaystyle Eotimes E o Eotimes E}$) a splňuje tzv podmínka cocycle (také známý jako ko-Leibnizovo pravidlo)

${displaystyle left (dotimes mathrm {id} ight) circle d = left (mathrm {id} otimes dight) circle d + left (mathrm {id} otimes au ight) circle left (dotimes mathrm {id} ight) circle d}$.

Kvůli stavu antisymetrie mapa ${displaystyle dcolon E o Eotimes E}$ lze také napsat jako mapu ${displaystyle dcolon E o Ewedge E}$.

Dvojník Lieovy závorky Lieovy algebry ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ získá mapu (společný člen)

${displaystyle [cdot, cdot] ^ {*} dvojtečka {mathfrak {g}} ^ {*} o ({mathfrak {g}} klín {mathfrak {g}}) ^ {*} cong {mathfrak {g}} ^ {*} klín {mathfrak {g}} ^ {*}}$

kde izomorfismus ${displaystyle cong}$ drží v konečné dimenzi; duálně za dvojí lež komplikace. V této souvislosti Jacobi identita odpovídá podmínce cocycle.

Přesněji řečeno E být ani Liegeovou kogebrou nad charakteristickým polem 2 ani 3. Duální prostor E^* nese strukturu závorky definovanou

α ([X, y]) = dα (X∧y), pro všechny α ∈ E a X,y ∈ E^*.

Ukazujeme, že to dotuje E^* s Lieovým držákem. Stačí zkontrolovat Jacobi identita. Pro všechny X, y, z ∈ E^* a α ∈ E,

${displaystyle {egin {aligned} d ^ {2} alpha (xwedge ywedge z) & = {frac {1} {3}} d ^ {2} alpha (xwedge ywedge z + ywedge zwedge x + zwedge xwedge y) & = {frac {1} {3}} vlevo (dalpha ([x, y] klín z) + dalpha ([y, z] klín x) + dalpha ([z, x] klín y) vpravo), konec {zarovnán }}}$

kde druhý krok vyplývá ze standardní identifikace duálu klínového produktu s klínovým produktem duálu. Nakonec to dává

${displaystyle d ^ {2} alfa (xwedge ywedge z) = {frac {1} {3}} vlevo (alfa ([[[x, y], z]) + alfa ([[y, z], x]) + alpha ([[z, x], y]) ight).}$

Od té doby d² = 0, z toho vyplývá

${displaystyle alpha ([[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y]) = 0}$, pro libovolný α, X, y, a z.

Takže izomorfismem dvojí duality (přesněji dvojdomým monomorfismem, protože vektorový prostor nemusí být konečně-dimenzionální), je Jacobi identita uspokojena.

Zejména si všimněte, že tento důkaz ukazuje, že cocycle stav d² = 0 je v jistém smyslu dvojí vůči Jacobiho identitě.

Reference

• Michaelis, Walter (1980), „Lie uhlígebry“, Pokroky v matematice, 38 (1): 1–54, doi:10.1016/0001-8708(80)90056-0, ISSN  0001-8708, PAN  0594993