Afinní skupina - Affine group

v matematika, afinní skupina nebo obecná afinní skupina ze všech afinní prostor přes pole $K.$ je skupina všech invertible afinní transformace z vesmíru do sebe.

Je to Lež skupina -li $K.$ je skutečné nebo komplexní pole nebo čtveřice.

Vztah k obecné lineární skupině

Konstrukce z obecné lineární skupiny

Konkrétně daný vektorový prostor $PROTI$ , má podklad afinní prostor $A$ získané "zapomenutím" na původ, s $PROTI$ jednající překlady a afinní skupina $A$ lze konkrétně popsat jako polopřímý produkt z $PROTI$ podle $GL (PROTI)$ , obecná lineární skupina z $PROTI$ :

{ displaystyle operatorname {Aff} (V) = V rtimes operatorname {GL} (V)}

Akce $GL (PROTI)$ na $PROTI$ je přirozená (lineární transformace jsou automorfismy), takže definuje a polopřímý produkt.

Pokud jde o matice, jeden píše:

{ displaystyle operatorname {Aff} (n, K) = K ^ {n} rtimes operatorname {GL} (n, K)}

kde zde přirozené působení $GL (n, K.)$ na $K. n$ je maticové násobení vektoru.

Stabilizátor bodu

Vzhledem k afinní skupině afinního prostoru $A$ , stabilizátor bodu $p$ je izomorfní s obecnou lineární skupinou stejné dimenze (takže stabilizátor bodu v $Aff (2, R)$ je izomorfní s $GL (2, R)$ ); formálně je to obecná lineární skupina vektorového prostoru $(A, p)$ : Vzpomeňte si, že pokud člověk opraví bod, afinní prostor se stane vektorovým prostorem.

Všechny tyto podskupiny jsou konjugované, kde konjugace je dána překladem z $p$ na $q$ (což je jednoznačně definováno), žádná konkrétní podskupina však není přirozenou volbou, protože žádný bod není zvláštní - odpovídá to více možnostem příčné podskupiny nebo rozdělení krátká přesná sekvence

{ displaystyle 1 to V to V rtimes operatorname {GL} (V) to operatorname {GL} (V) to 1 ,.}

V případě, že afinní skupina byla vytvořena začíná s vektorovým prostorem je podskupinou, která stabilizuje počátek (vektorového prostoru) originál $GL (PROTI)$ .

Maticová reprezentace

Reprezentace afinní skupiny jako polopřímého produktu společnosti $PROTI$ podle $GL (PROTI)$ , pak konstrukcí polopřímého produktu, prvky jsou páry $(M, proti)$ , kde $proti$ je vektor v $PROTI$ a $M$ je lineární transformace $GL (PROTI)$ a násobení je dáno vztahem:

{ displaystyle (M, v) cdot (N, w) = (MN, v + Mw) ,.}

To lze reprezentovat jako $(n + 1) \times (n + 1)$ bloková matice:

{ displaystyle left ({ begin {pole} {c | c} M & v hline 0 & 1 end {pole}} vpravo)}

kde $M$ je $n \times n$ matice skončila $K.$ , $proti$ an $n \times 1$ vektor sloupce, 0 je a $1 \times n$ řada nul a 1 je 1 × 1 matice bloku identity.

Formálně, $Aff (PROTI)$ je přirozeně izomorfní s podskupinou $GL (PROTI \oplus K.)$ , s $PROTI$ vložený jako afinní rovina ${(proti, 1) | proti \in PROTI}$ , jmenovitě stabilizátor této afinní roviny; výše uvedená maticová formulace je (transponováním) realizace tohoto, s $n \times n$ a $1 \times 1$ ) bloky odpovídající přímému rozkladu součtu $PROTI \oplus K.$ .

A podobný zastoupení je jakékoli $(n + 1) \times (n + 1)$ matice, ve které jsou položky v každém sloupci součtem 1.^[1] The podobnost $P$ pro přechod od výše uvedeného druhu k tomuto druhu je $(n + 1) \times (n + 1)$ matice identity se spodním řádkem nahrazeným řadou všech.

Každá z těchto dvou tříd matic je uzavřena pod násobením matic.

Může to být nejjednodušší paradigma $n = 1$ , tj. horní trojúhelníkový 2 × 2 matice představující afinní skupinu v jedné dimenzi. Jedná se o dva parametry neabelovský Lež skupina, takže pouze se dvěma generátory (prvky Lie algebry), $A$ a $B$ , takový, že $[A, B] = B$ , kde

{ displaystyle A = left ({ begin {array} {cc} 1 & 0 0 & 0 end {array}} right), qquad B = left ({ begin {array} {cc} 0 & 1 0 a 0 end {pole}} vpravo) ,,}

aby

{ displaystyle e ^ {aA + bB} = left ({ begin {array} {cc} e ^ {a} & { tfrac {b} {a}} (e ^ {a} -1) 0 a 1 end {pole}} vpravo) ,.}

Tabulka znaků $Aff (F p)$

$Aff (F p)$ má pořádek $p (p - 1)$ . Od té doby

{ displaystyle { begin {pmatrix} c & d 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} a & b 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} c & d 0 & 1 end {pmatrix} } ^ {- 1} = { begin {pmatrix} a & (1-a) d + bc 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}

víme $Aff (F p)$ má $p$ hodiny konjugace, jmenovitě

{ displaystyle { begin {aligned} C_ {id} & = left {{ begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} right } ,, [6pt] C_ {1 } & = left {{ start {pmatrix} 1 & b 0 & 1 end {pmatrix}} { Bigg |} b in mathbf {F} _ {p} ^ {*} right } , , [6pt] { Bigg {} C_ {a} & = left {{ begin {pmatrix} a & b 0 & 1 end {pmatrix}} { Bigg |} b in mathbf {F } _ {p} right } { Bigg |} a in mathbf {F} _ {p} setminus {0,1 } { Bigg }} ,. end {zarovnáno}} }

Pak to víme $Aff (F p)$ má $p$ neredukovatelné reprezentace. Podle výše uvedeného odstavce (§ Maticová reprezentace ), existují $p - 1$ jednorozměrné reprezentace, o nichž rozhoduje homomorfismus

{ displaystyle rho _ {k}: operatorname {Aff} ( mathbf {F} _ {p}) to mathbb {C} ^ {*}}

pro $k = 1, 2,\dots p - 1$ , kde

{ displaystyle rho _ {k} { begin {pmatrix} a & b 0 & 1 end {pmatrix}} = exp left ({ frac {2ikj pi} {p-1}} right)}

a $i 2 = -1$ , $A = G j$ , $G$ je generátor skupiny $F * p$ . Pak porovnejte s řádem $F p$ , my máme

{ displaystyle p (p-1) = p-1 + chi _ {p} ^ {2} ,,}

proto $χ p = p - 1$ je rozměr poslední neredukovatelné reprezentace. Nakonec pomocí ortogonality neredukovatelných reprezentací můžeme dokončit tabulku znaků $Aff (F p)$ :

{ displaystyle { begin {array} {c | cccccc} & { color {Blue} C_ {id}} & { color {Blue} C_ {1}} & { color {Blue} C_ {g}} & { color {Blue} C_ {g ^ {2}}} & { color {Gray} dots} & { color {Blue} C_ {g ^ {p-2}}} hline { color {Blue} chi _ {1}} & { color {Gray} 1} & { color {Gray} 1} & { color {Blue} e ^ { frac {2 pi i} {p- 1}}} & { color {Blue} e ^ { frac {4 pi i} {p-1}}} & { color {Gray} dots} & { color {Blue} e ^ { frac {2 pi (p-2) i} {p-1}}} { color {Blue} chi _ {2}} & { color {Gray} 1} & { color {Gray} 1} & { color {Blue} e ^ { frac {4 pi i} {p-1}}} & { color {Blue} e ^ { frac {8 pi i} {p-1} }} & { color {Gray} dots} & { color {Blue} e ^ { frac {4 pi (p-2) i} {p-1}}} { color {Blue} chi _ {3}} & { color {Gray} 1} & { color {Gray} 1} & { color {Blue} e ^ { frac {6 pi i} {p-1}}} & { color {Blue} e ^ { frac {12 pi i} {p-1}}} & { color {Gray} dots} & { color {Blue} e ^ { frac {6 pi (p-2) i} {p-1}}} { color {Gray} dots} & { color {Gray} dots} & { color {Gray} dots} & { color {Gray} dots} & { color {Gray} dots} & { color {Gray} dots} & { color {Gray} dots} { color {Blue} chi _ {p- 1}} & { color {Gray} 1} & { color {Gray} 1} & { color {Gray} 1} & { color {Gray} 1} & { color {Gray} dots} & { color {Gray} 1} { color {Blue } chi _ {p}} & { color {Gray} p-1} & { color {Gray} -1} & { color {Gray} 0} & { color {Gray} 0} & { color {Gray} dots} & { color {Gray} 0} end {array}}}

Rovinná afinní skupina

Podle Rafael Artzy,^[2] "Lineární část každé afinity [skutečné afinní roviny] lze přenést do jedné z následujících standardních forem pomocí a transformace souřadnic následuje dilatace od původu:

{ displaystyle { begin {aligned} { text {1.}} && x & mapsto ax + by ,, & y & mapsto -bx + ay ,, & a, b & neq 0 ,, & a ^ {2} + b ^ {2} = 1 ,, [3pt] { text {2.}} && x & mapsto x + od ,, & y & mapsto y ,, & b & neq 0 ,, & [3pt] { text {3.}} && x & mapsto ax ,, & y & mapsto { tfrac {y} {a}} ,, & a & neq 0 ,, & end {zarovnáno}}}

kde koeficienty $A$ , $b$ , $C$ , a $d$ jsou skutečná čísla. “

Případ 1 odpovídá transformace podobnosti které generují a podskupina podobností.Euklidovská geometrie odpovídá podskupině kongruencí. Vyznačuje se Euklidovská vzdálenost nebo úhel, což jsou neměnný v podskupině rotací.

Případ 2 odpovídá smykové mapování. Důležitou aplikací je absolutní čas a prostor kde Galileovy transformace vztahují referenční rámce. Generují galilejskou skupinu.

Případ 3 odpovídá zmáčknout mapování. Tyto transformace generují podskupinu rovinné afinní skupiny zvanou Skupina Lorentz letadla. Geometrie spojená s touto skupinou je charakterizována hyperbolický úhel, což je opatření to je neměnné v podskupině mapování squeeze.

Pomocí výše uvedené maticové reprezentace afinní skupiny v rovině, matice $M$ je 2 × 2 skutečná matice. Proto není singulární $M$ musí mít jednu ze tří forem, které odpovídají trichotomii Artzyho.

Jiné afinní skupiny

Obecný případ

Vzhledem k jakékoli podskupině $G PROTI)$ z obecná lineární skupina, lze vytvořit afinní skupinu, někdy označovanou $Aff (G)$ analogicky jako $Aff (G) := PROTI ⋊ G$ .

Obecněji a abstraktněji, vzhledem k jakékoli skupině $G$ a a zastoupení z $G$ na vektorovém prostoru $PROTI$ ,

{ displaystyle rho: G k operatorname {GL} (V)}

jeden dostane^{[poznámka 1]} přidružená afinní skupina $PROTI ⋊ ρ G$ : lze říci, že získaná afinní skupina je „a rozšíření skupiny vektorovou reprezentací "a jak je uvedeno výše, jeden má krátkou přesnou sekvenci:

{ Displaystyle 1 to V to V rtimes _ { rho} G to G to 1 ,.}

Speciální afinní skupina

Podmnožina všech invertibilních afinních transformací zachovávající formu pevného objemu nebo, pokud jde o polopřímý produkt, sadu všech prvků $(M, proti)$ s $M$ determinantu 1, je podskupina známá jako speciální afinní skupina.

Projektivní podskupina

Předpokládaná znalost projektivita a projektivní skupina projektivní geometrie, afinní skupinu lze snadno specifikovat. Například Günter Ewald napsal:^[3]

Sada

{ displaystyle { mathfrak {P}}}

všech projektivních srážek

P n

je skupina, kterou můžeme nazvat projektivní skupina z

P n

. Pokud budeme postupovat od

P n

do afinního prostoru

A n

prohlášením a nadrovina

ω

být a nadrovina v nekonečnu, získáme afinní skupina

{ displaystyle { mathfrak {A}}}

z

A n

jako podskupina z

{ displaystyle { mathfrak {P}}}

skládající se ze všech prvků

{ displaystyle { mathfrak {P}}}

to opustit

ω

pevný.

{ displaystyle { mathfrak {A}} podmnožina { mathfrak {P}}}

Poincaré skupina

The Poincaré skupina je afinní skupina Skupina Lorentz $O (1,3)$ :

{ displaystyle mathbf {R} ^ {1,3} rtimes operatorname {O} (1,3)}

Tento příklad je velmi důležitý v relativita.

Viz také

Holomorf

Poznámky

^ Od té doby $GL (PROTI) PROTI)$ . Všimněte si, že toto zadržení je obecně správné, protože „automorfismem“ se rozumí jeden skupina automatorfismy, tj. zachovávají skupinovou strukturu $PROTI$ (přidání a původ), ale ne nutně skalární násobení, a tyto skupiny se liší, pokud pracují $R$ .

Reference

^ Poole, David G. (listopad 1995). „Stochastická skupina“. Americký matematický měsíčník. 102 (9): 798–801.
^ Artzy, Rafaeli (1965). „Kapitola 2-6: Podskupiny letadlové afinní skupiny nad skutečným polem“. Lineární geometrie. Addison-Wesley. p.94.
^ Ewald, Günter (1971). Geometrie: An Introduction. Belmont: Wadsworth. p. 241. ISBN 9780534000349.

Lyndon, Rogere (1985). „Oddíl VI.1“. Skupiny a geometrie. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31694-4.

[3] Od té doby $GL (PROTI) PROTI)$ . Všimněte si, že toto zadržení je obecně správné, protože „automorfismem“ se rozumí jeden skupina automatorfismy, tj. zachovávají skupinovou strukturu $PROTI$ (přidání a původ), ale ne nutně skalární násobení, a tyto skupiny se liší, pokud pracují $R$ .

[1] Poole, David G. (listopad 1995). „Stochastická skupina“. Americký matematický měsíčník. 102 (9): 798–801.

[2] Artzy, Rafaeli (1965). „Kapitola 2-6: Podskupiny letadlové afinní skupiny nad skutečným polem“. Lineární geometrie. Addison-Wesley. p.94.

[4] Ewald, Günter (1971). Geometrie: An Introduction. Belmont: Wadsworth. p. 241. ISBN 9780534000349.

[1]

[2]

[poznámka 1]

[3]