Rejstřík Lieovy algebry - Index of a Lie algebra

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

V algebře, pojďme G být Lež algebra přes pole K.. Nechte dále ${ displaystyle xi v { mathfrak {g}} ^ {*}}$ být jeden formulář na G. Stabilizátor G_ξ z ξ je Lieova subalgebra prvků G že zničit ξ v coadjoint reprezentace. The index Lieovy algebry je

${ displaystyle operatorname {ind} { mathfrak {g}}: = min limity _ { xi v { mathfrak {g}} ^ {*}} dim { mathfrak {g}} _ { xi}.}$

Příklady

Redukční Lieovy algebry

Li G je redukční pak index G je také hodnost G, protože adjoint a coadjoint reprezentace jsou izomorfní a rk G je minimální rozměr stabilizátoru prvku v G. Toto je ve skutečnosti rozměr stabilizátoru jakéhokoli regulárního prvku v G.

Frobenius Lie algebra

Pokud ind G= 0, tedy G je nazýván Frobenius Lie algebra. To odpovídá skutečnosti, že Kirillovova forma ${ displaystyle K _ { xi} dvojtečka { mathfrak {g otimes g}} to mathbb {K}: (X, Y) mapsto xi ([X, Y])}$ pro některé není singulární ξ v G^*. Další ekvivalentní podmínka, když G je Lieova algebra z algebraická skupina G, je to G je Frobenius právě tehdy G má otevřenou oběžnou dráhu v G^* pod reprezentací coadjoint.

Lež algebra algebraické skupiny

Li G je Lieova algebra z algebraická skupina G, pak index G je stupeň transcendence oblasti racionálních funkcí na G^* které jsou neměnné při akci G.^[1]

Reference

Tento článek včlení materiál od index Lieovy algebry na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.