Kritérium Cartans - Cartans criterion - Wikipedia

v matematika, Cartanovo kritérium dává podmínky pro a Lež algebra v charakteristice 0 být řešitelný, což znamená související kritérium pro Lieovu algebru polojednoduchý. Je založen na pojmu Formulář zabíjení, a symetrická bilineární forma na ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ definovaný vzorcem

${ displaystyle B (u, v) = operatorname {tr} ( operatorname {ad} (u) operatorname {ad} (v)),}$

kde tr označuje stopa lineárního operátoru. Kritérium zavedlo Élie Cartan  (1894 ).^[1]

Cartanovo kritérium pro řešitelnost

Cartanovo kritérium pro řešitelnost uvádí:

Lieova subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ endomorfismů konečně-dimenzionálního vektorového prostoru nad a pole z charakteristická nula je řešitelný právě tehdy ${ displaystyle operatorname {tr} (ab) = 0}$ kdykoli ${ displaystyle a in { mathfrak {g}}, b in [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}].}$

Skutečnost, že ${ displaystyle operatorname {tr} (ab) = 0}$ v řešitelném případě vyplývá z Lieova věta to dává ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ v horním trojúhelníkovém tvaru přes algebraické uzavření pozemního pole (stopu lze vypočítat po rozšíření pozemního pole). Konverzaci lze odvodit z kritérium nilpotence založeno na Jordan – Chevalleyův rozklad (pro důkaz klikněte na odkaz).

Uplatnění Cartanova kritéria na adjoint reprezentaci dává:

Konečně trojrozměrná Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ přes pole z charakteristická nula je řešitelný právě tehdy ${ displaystyle K ({ mathfrak {g}}, [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]) = 0}$ (kde K je forma zabíjení).

Cartanovo kritérium pro polovičnost

Cartanovo kritérium pro polojednodušost uvádí:

Konečně trojrozměrná Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ přes pole z charakteristická nula je polojediný, právě když je formulář pro zabíjení nedegenerovaný.

Jean Dieudonné  (1953 ) poskytl velmi krátký důkaz, že pokud konečná trojrozměrná Lie algebra (v jakékoli charakteristice) má a nedegenerovaná invariantní bilineární forma a žádné nenulové abelianské ideály, a zvláště pokud je jeho forma zabití nedegenerovaná, pak je to součet jednoduchých Lieových algeber.

Naopak z Cartanova kritéria pro řešitelnost snadno vyplývá, že polojednoduchá algebra (v charakteristice 0) má nedegenerovanou formu zabíjení.

Příklady

Cartanova kritéria selhávají v charakteristice ${ displaystyle p> 0}$; například:

• Lie algebra ${ displaystyle operatorname {SL} _ {p} (k)}$ je jednoduché, pokud k má charakteristiku ne 2 a má mizející formu zabíjení, ačkoli má nenulovou invariantní bilineární formu danou ${ displaystyle (a, b) = operatorname {tr} (ab)}$.
• lže algebra se základem ${ displaystyle a_ {n}}$ pro ${ displaystyle n in mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$ a závorka [A_i,A_j] = (i−j)A_i+j je jednoduché pro ${ displaystyle p> 2}$ ale nemá nenulovou neměnnou bilineární formu.
• Li k má charakteristiku 2, pak polopřímý produkt gl₂(k).k² je řešitelná Lieova algebra, ale forma zabití není na její odvozené algebře sl₂(k).k².

Pokud je konečně-dimenzionální Lieova algebra nilpotentní, pak je forma zabití identicky nulová (a obecněji forma zabití zmizí na jakémkoli nilpotentním ideálu). Konverzace je nepravdivá: existují nilpotentní Lieovy algebry, jejichž forma zabití zmizí. Jako příklad lze uvést polopřímý produkt abelianské Lieovy algebry PROTI s 1-dimenzionální Lie algebrou působící na PROTI jako endomorfismus b takhle b není nilpotentní a Tr (b²)=0.

V charakteristice 0 má každá reduktivní Lieova algebra (ta, která je součtem abelianských a jednoduchých Lieových algeber) nedegenerovaný invariantní symetrický bilineární tvar. Konverzace je však falešná: Lieova algebra s nedegenerovanou invariantní symetrickou bilineární formou nemusí být součtem jednoduchých a abelianských Lieových algeber. Typický protiklad je G = L[t]/tⁿL[t] kde n>1, L je jednoduchá komplexní Lieova algebra s bilineární formou (,) a bilineární formou zapnutá G je dána součinem koeficientu tⁿ⁻¹ z C[t] -hodnota bilineární forma na G vyvolané formou na L. Bilineární forma je nedegenerovaná, ale Lieova algebra není součtem jednoduchých a abelianských Lieových algeber.

Poznámky

Reference

• Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupses de transformations finis et continus „Diplomová práce, Nony
• Dieudonné, Jean (1953), „On semi-simple Lie algebras“, Proceedings of the American Mathematical Society, 4: 931–932, doi:10.2307/2031832, ISSN  0002-9939, JSTOR  2031832, PAN  0059262
• Serre, Jean-Pierre (2006) [1964], Lie algebry a Lieovy skupinyPřednášky z matematiky, 1500, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-70634-2, ISBN  978-3-540-55008-2, PAN  2179691

Viz také

• Modulární Lieova algebra