Střídavá multilineární mapa - Alternating multilinear map - Wikipedia

v matematika, konkrétněji v multilineární algebra, an střídavá multilineární mapa je multilineární mapa se všemi argumenty patřícími do stejného vektorového prostoru (např. a bilineární forma nebo a multilineární forma ) to je nula, kdykoli je pár argumentů stejný. Obecněji může být vektorový prostor a modul přes komutativní prsten.

Pojem alternativa (nebo alternativa) se používá k odvození střídající se víceřádkové mapy z jakékoli víceřádkové mapy se všemi argumenty patřícími do stejného prostoru.

Definice

Vícelinová mapa formuláře ${ displaystyle f colon V ^ {n} do W}$ se říká, že je střídavý pokud splňuje některou z následujících rovnocenných podmínek:

1. kdykoli existuje ${ textový styl 1 leq i leq n-1}$ takhle ${ displaystyle x_ {i} = x_ {i + 1}}$ pak ${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$.^[1][2]
2. kdykoli existuje ${ textový styl 1 leq i neq j leq n}$ takhle ${ displaystyle x_ {i} = x_ {j}}$ pak ${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$.^[1][3]
3. -li ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ jsou lineárně závislé pak ${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$.

Příklad

• V Lež algebra, Ležící závorka je střídavá bilineární mapa.

• The určující matice je multilineární střídavá mapa řádků nebo sloupců matice.

Vlastnosti

• Pokud nějaká součást X_i střídavé víceřádkové mapy je nahrazeno X_i + c x_j pro všechny j ≠ i a C v základně prsten R, pak se hodnota této mapy nezmění.^[3]
• Každá střídavá multilineární mapa je antisymetrická.^[4]
• Li n! je jednotka v základním kroužku R, pak každý antisymetrický n-multilineární forma se střídá.

Střídání

Vzhledem k tomu, multilineární mapa formuláře ${ displaystyle f colon V ^ {n} do W}$, střídavá multilineární mapa ${ displaystyle g tračník V ^ {n} do W}$ definován ${ displaystyle g (x_ {1}, ldots, x_ {n}): = sum _ { sigma v S_ {n}} operatorname {sgn} ( sigma) f (x _ { sigma (1 )}, ldots, x _ { sigma (n)})}$ se říká, že alternativa z ${ displaystyle f}$.

Vlastnosti

• Alternativa k n-multilineární střídavá mapa je n! krát sám.
• Alternativa a symetrická mapa je nula.
• Alternativa a bilineární mapa je bilineární. Nejvýznamnější je alternativa jakéhokoli cocycle je bilineární. Tato skutečnost hraje klíčovou roli při identifikaci druhé kohomologická skupina a mříž s skupina střídání bilineární formy na mříži.

Viz také

• Střídavá algebra
• Bilineární mapa
• Vnější algebra § Střídavé víceřádkové tvary
• Mapa (matematika)
• Multilineární algebra
• Multilineární mapa
• Multilineární forma
• Symetrizace

Poznámky

Reference

• Bourbaki, N. (2007). Eléments de mathématique. Algèbre Chapitres 1 à 3 (dotisk ed.). Springer.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). Wiley.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lang, Serge (2002). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. 211 (přepracované 3. vydání). Springer. ISBN  978-0-387-95385-4. OCLC  48176673.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Rotman, Joseph J. (1995). Úvod do teorie skupin. Postgraduální texty z matematiky. 148 (4. vydání). Springer. ISBN  0-387-94285-8. OCLC  30028913.CS1 maint: ref = harv (odkaz)