Seznam jednoduchých Lieových skupin - List of simple Lie groups

v matematika, jednoduché Lieovy skupiny byly nejprve klasifikovány uživatelem Wilhelm Killing a později zdokonalil Élie Cartan. Tato klasifikace se často označuje jako klasifikace Killing-Cartan.

Seznam jednoduchých Lieových skupin lze použít ke čtení seznamu jednoduché Lie algebry a Riemannovy symetrické prostory. Viz také tabulka Lieových skupin pro menší seznam skupin, které se běžně vyskytují v teoretická fyzika a Klasifikace Bianchi pro skupiny dimenzí maximálně 3.

Jednoduché Lie skupiny

Bohužel neexistuje všeobecně přijímaná definice a jednoduchá Lieova skupina. Zejména není vždy definována jako Lieova skupina jednoduchý jako abstraktní skupina. Autoři se liší v tom, zda musí být připojena jednoduchá Lieova skupina, nebo v tom, zda je dovoleno mít netriviální centrum, nebo v tom, zda R je jednoduchá Lieova skupina.

Nejběžnější definicí je, že Lieova skupina je jednoduchá, pokud je propojená, neabelovská a každá uzavřená připojeno normální podskupina je buď identita, nebo celá skupina. Zejména jednoduché skupiny mohou mít netriviální centrum, ale R není jednoduché.

V tomto článku jsou uvedeny spojené jednoduché Lieovy skupiny s triviálním centrem. Jakmile jsou známy, ty s netriviálním středem lze snadno vyjmenovat následujícím způsobem. Každá jednoduchá Lieova skupina s triviálním centrem má univerzální kryt, jehož středem je základní skupina jednoduché lži. Odpovídající jednoduché Lieovy skupiny s netriviálním středem lze získat jako kvocienty tohoto univerzálního krytu podskupinou středu.

Jednoduché Lie algebry

The Lieova algebra jednoduché Lieovy skupiny je jednoduchá Lieova algebra. Toto je individuální korespondence mezi propojenými jednoduchými Lieovými skupinami triviální středové a jednoduché Lieovy algebry dimenze větší než 1. (Autoři se liší v tom, zda by se jednorozměrná Lieova algebra měla počítat jako jednoduchá.)

Přes komplexní čísla jsou polojednoduché Lieovy algebry klasifikovány podle jejich Dynkinovy diagramy, typů „ABCDEFG“. Li L je skutečná jednoduchá Lieova algebra, její složitost je jednoduchá komplexní Lieova algebra, pokud L je již komplexizace Lieovy algebry, v takovém případě komplexizace L je produktem dvou kopií L. Tím se snižuje problém klasifikace skutečných jednoduchých Lieových algeber s hledáním všech skutečné formy každé komplexní jednoduché Lieovy algebry (tj. skutečné Lieovy algebry, jejichž komplexizací je daná komplexní Lieova algebra). Vždy existují alespoň 2 takové formy: rozdělená forma a kompaktní forma a obvykle existuje několik dalších. Různé reálné formy odpovídají třídám automatorfismů řádu nejvýše 2 komplexní Lieovy algebry.

Symetrické prostory

Symetrické prostory jsou klasifikovány následovně.

Za prvé, univerzální kryt symetrického prostoru je stále symetrický, takže se můžeme omezit na případ jednoduše spojených symetrických prostorů. (Například univerzálním krytem skutečné projektivní roviny je koule.)

Zadruhé, součin symetrických prostorů je symetrický, takže můžeme stejně klasifikovat neredukovatelné jednoduše spojené (kde ireducibilní znamená, že je nelze zapsat jako produkt menších symetrických prostorů).

Neredukovatelné jednoduše spojené symetrické prostory jsou skutečnou linií a přesně dva symetrické prostory jim odpovídají nekompaktní jednoduchá Lieova skupina G, jeden kompaktní a jeden nekompaktní. Nekompaktní je krytem kvocientu G maximální kompaktní podskupinou H, a kompaktní je krytem kvocientu kompaktní formy G stejnou podskupinou H. Tato dualita mezi kompaktními a nekompaktními symetrickými prostory je zobecněním dobře známé duality mezi sférickou a hyperbolickou geometrií.

Hermitovské symetrické prostory

Symetrický prostor s kompatibilní komplexní strukturou se nazývá Hermitian. Kompaktní jednoduše spojené neredukovatelné hermitovské symetrické prostory spadají do 4 nekonečných rodin, ve kterých zbyly 2 výjimečné a každá má nekompaktní duální. Kromě toho je komplexní rovina také hermitovský symetrický prostor; to dává úplný seznam neredukovatelných hermitovských symetrických prostorů.

Čtyři rodiny jsou typy A III, B I a D I p = 2, D III a C I a dva výjimečné jsou typy E III a E VII komplexních rozměrů 16 a 27.

Zápis

${ displaystyle mathbb {R, C, H, O}}$ zastupovat reálná čísla, komplexní čísla, čtveřice, a octonions.

V symbolech jako E₆⁻²⁶ pro výjimečné skupiny je exponent −26 podpisem invariantního symetrického bilineárního tvaru, který je negativní maximální na maximální kompaktní podskupině. Rovná se dimenzi skupiny mínus dvojnásobek dimenze maximální kompaktní podskupiny.

Základní skupina uvedená v tabulce níže je základní skupinou jednoduché skupiny s triviálním centrem. Další jednoduché skupiny se stejnou Lieovou algebrou odpovídají podskupinám této základní skupiny (modulo působení vnější skupiny automorfismu).

Seznam

Abelian

	Dimenze	Skupina vnějšího automorfismu	Dimenze symetrického prostoru	Symetrický prostor	Poznámky
R (Abelian)	1	R^∗	1	R	^†

Kompaktní

	Dimenze	Základní skupina	Vnější automorfismus skupina	Ostatní jména	Poznámky
A_n (n ≥ 1) kompaktní	n(n + 2)	Cyklické, objednávejte n + 1	1 pokud n = 1, 2 pokud n > 1.	projektivní speciální jednotná skupina PSU (n + 1)	A₁ je stejné jako B₁ a C₁
B_n (n ≥ 2) kompaktní	n(2n + 1)	2	1	speciální ortogonální skupina TAK_2n+1(R)	B₁ je stejné jako A₁ a C₁. B₂ je stejné jako C₂.
C_n (n ≥ 3) kompaktní	n(2n + 1)	2	1	projektivní kompaktní symplektická skupina PSp (n), PSp (2n), PUSp (n), PUSp (2n)	Hermitian. Složité struktury Hⁿ. Kopie komplexního projektivního prostoru v kvaternionovém projektivním prostoru.
D_n (n ≥ 4) kompaktní	n(2n − 1)	Objednávka 4 (cyklická, když n je liché).	2 pokud n > 4, S₃ -li n = 4	projektivní speciál ortogonální skupina PSO_2n(R)	D₃ je stejné jako A₃, D₂ je stejné jako A₁², a D₁ je abelian.
E₆⁻⁷⁸ kompaktní	78	3	2
E₇⁻¹³³ kompaktní	133	2	1
E₈⁻²⁴⁸ kompaktní	248	1	1
F₄⁻⁵² kompaktní	52	1	1
G₂⁻¹⁴ kompaktní	14	1	1		Toto je skupina automorfismu Cayleyovy algebry.

Rozdělit

	Dimenze	Skutečná hodnost	Maximálně kompaktní podskupina	Základní skupina	Vnější automorfismus skupina	Ostatní jména	Rozměr symetrický prostor	Kompaktní symetrický prostor	Nekompaktní symetrický prostor	Poznámky
A_n Já (n ≥ 1) rozdělit	n(n + 2)	n	D_n/2 nebo B_(n−1)/2	Nekonečný cyklický if n = 1 2 pokud n ≥ 2	1 pokud n = 1 2 pokud n ≥ 2.	projektivní speciální lineární skupina PSL_n+1(R)	n(n + 3)/2	Skutečné struktury na Cⁿ⁺¹ nebo sada RPⁿ v CPⁿ. Hermitian, pokud n = 1, v tom případě se jedná o 2-koule.	Euklidovské struktury na Rⁿ⁺¹. Hermitian, pokud n = 1, když se jedná o horní polovinu roviny nebo jednotkový komplexní disk.
B_n Já (n ≥ 2) rozdělit	n(2n + 1)	n	TAK(n)TAK(n+1)	Necyklické, objednávka 4	1	složka identity speciální ortogonální skupina TAK(n,n+1)	n(n + 1)			B₁ je stejné jako A₁.
C_n Já (n ≥ 3) rozdělit	n(2n + 1)	n	A_n−1S¹	Nekonečné cyklické	1	projektivní symplektická skupina PSp_2n(R), PSp (2n,R), PSp (2n), PSp (n,R), PSp (n)	n(n + 1)	Hermitian. Složité struktury Hⁿ. Kopie komplexního projektivního prostoru v kvaternionovém projektivním prostoru.	Hermitian. Složité struktury na R²ⁿ kompatibilní s symlektickou formou. Sada komplexních hyperbolických prostorů v kvaternionickém hyperbolickém prostoru. Siegel horní polovina prostoru.	C₂ je stejné jako B₂, a C₁ je stejné jako B₁ a A₁.
D_n Já (n ≥ 4) rozdělit	n(2n - 1)	n	TAK(n)TAK(n)	Objednávka 4, pokud n liché, 8 pokud n dokonce	2 pokud n > 4, S₃ -li n = 4	složka identity projektivní speciální ortogonální skupina PSO (n,n)	n²			D₃ je stejné jako A₃, D₂ je stejné jako A₁², a D₁ je abelian.
E₆⁶ Rozdělil jsem se	78	6	C₄	Objednávka 2	Objednávka 2	E já	42
E₇⁷ V split	133	7	A₇	Cyklický, objednávka 4	Objednávka 2		70
E₈⁸ VIII split	248	8	D₈	2	1	E VIII	128			@ E8
F₄⁴ Rozdělil jsem se	52	4	C₃ × A₁	Objednávka 2	1	F I	28	Kvaternionové projektivní roviny v Cayleyově projektivní rovině.	Hyperbolické kvaternionové projektivní roviny v hyperbolické Cayleyovské projektivní rovině.
G₂² Rozdělil jsem se	14	2	A₁ × A₁	Objednávka 2	1	G já	8	Kvartérní subalgebry Cayleyovy algebry. Quaternion-Kähler.	Nedivizní kvartérní subalgebry nedivizní Cayleyovy algebry. Quaternion-Kähler.

Komplex

	Skutečný rozměr	Skutečná hodnost	Maximálně kompaktní podskupina	Základní skupina	Vnější automorfismus skupina	Ostatní jména	Rozměr symetrický prostor	Kompaktní symetrický prostor	Nekompaktní symetrický prostor
A_n (n ≥ 1) komplexní	2n(n + 2)	n	A_n	Cyklické, objednávejte n + 1	2 pokud n = 1, 4 (necyklické), pokud n ≥ 2.	projektivní komplex speciální lineární skupina PSL_n+1(C)	n(n + 2)	Kompaktní skupina A_n	Hermitovské formy dál Cⁿ⁺¹ s pevným objemem.
B_n (n ≥ 2) komplexní	2n(2n + 1)	n	B_n	2	Objednávka 2 (komplexní konjugace)	komplex speciální ortogonální skupina TAK_2n+1(C)	n(2n + 1)	Kompaktní skupina B_n
C_n (n ≥ 3) komplexní	2n(2n + 1)	n	C_n	2	Objednávka 2 (komplexní konjugace)	projektivní komplex symplektická skupina PSp_2n(C)	n(2n + 1)	Kompaktní skupina C_n
D_n (n ≥ 4) komplexní	2n(2n − 1)	n	D_n	Objednávka 4 (cyklická, když n je zvláštní)	Necyklické objednávky 4 pro n > 4, nebo součin skupiny řádu 2 a symetrické skupiny S₃ když n = 4.	projektivní komplexní speciální ortogonální skupina PSO_2n(C)	n(2n − 1)	Kompaktní skupina D_n
E₆ komplex	156	6	E₆	3	Objednávka 4 (necyklická)		78	Kompaktní skupina E₆
E₇ komplex	266	7	E₇	2	Objednávka 2 (komplexní konjugace)		133	Kompaktní skupina E₇
E₈ komplex	496	8	E₈	1	Objednávka 2 (komplexní konjugace)		248	Kompaktní skupina E₈
F₄ komplex	104	4	F₄	1	2		52	Kompaktní skupina F₄
G₂ komplex	28	2	G₂	1	Objednávka 2 (komplexní konjugace)		14	Kompaktní skupina G₂

Ostatní

	Dimenze	Skutečná hodnost	Maximálně kompaktní podskupina	Základní skupina	Vnější automorfismus skupina	Ostatní jména	Rozměr symetrický prostor	Kompaktní symetrický prostor	Nekompaktní symetrický prostor	Poznámky
A_2n−1 II (n ≥ 2)	(2n − 1)(2n + 1)	n − 1	C_n	Objednávka 2		SL_n(H), SU^∗(2n)	(n − 1)(2n + 1)	Kvartérní struktury na C²ⁿ kompatibilní s hermitovskou strukturou	Kopie kvaternionický hyperbolický prostor (dimenze n − 1) v komplexní hyperbolický prostor (dimenze 2n − 1).
A_n III (n ≥ 1) p + q = n + 1 (1 ≤ p ≤ q)	n(n + 2)	p	A_p−1A_q−1S¹			SU (p,q), A III	2pq	Hermitian. Grassmannian z p podprostory C^p+q. Li p nebo q je 2; quaternion-Kähler	Hermitian. Grassmannian maxima pozitivního určitého podprostory C^p,q. Li p nebo q je 2, quaternion-Kähler	Li p=q= 1, rozdělit Pokud \|p−q\| ≤ 1, kvazi-split
B_n Já (n > 1) p+q = 2n+1	n(2n + 1)	min (p,q)	TAK(p)TAK(q)			TAK(p,q)	pq	Grassmannian z R^pje v R^p+q. Li p nebo q je 1, Projektivní prostor Li p nebo q je 2; Hermitian Li p nebo q je 4, quaternion-Kähler	Grassmannian pozitivního konečného R^pje v R^p,q. Li p nebo q je 1, hyperbolický prostor Li p nebo q je 2, Hermitian Li p nebo q je 4, quaternion-Kähler	Pokud \|p−q\| ≤ 1, rozdělit.
C_n II (n > 2) n = p+q (1 ≤ p ≤ q)	n(2n + 1)	min (p,q)	C_pC_q	Objednávka 2	1 pokud p ≠ q, 2 pokud p = q.	Sp_2p,2q(R)	4pq	Grassmannian z H^pje v H^p+q. Li p nebo q je 1, kvaternionový projektivní prostor v tom případě je to kvaternion-Kähler.	H^pje v H^p,q. Li p nebo q je 1, kvartérní hyperbolický prostor v tom případě je to kvaternion-Kähler.
D_n Já (n ≥ 4) p+q = 2n	n(2n − 1)	min (p,q)	TAK(p)TAK(q)		Li p a q ≥ 3, objednávka 8.	TAK(p,q)	pq	Grassmannian z R^pje v R^p+q. Li p nebo q je 1, Projektivní prostor Li p nebo q je 2; Hermitian Li p nebo q je 4, quaternion-Kähler	Grassmannian pozitivního konečného R^pje v R^p,q. Li p nebo q je 1, Hyperbolický prostor Li p nebo q je 2, Hermitian Li p nebo q je 4, quaternion-Kähler	Li p = q, rozdělit Pokud \|p−q\| ≤ 2, kvazi-rozdělení
D_n III (n ≥ 4)	n(2n − 1)	⌊n/2⌋	A_n−1R¹	Nekonečné cyklické	Objednávka 2	TAK^*(2n)	n(n − 1)	Hermitian. Složité struktury na R²ⁿ kompatibilní s euklidovskou strukturou.	Hermitian. Kvaternionické kvadratické tvary na R.²ⁿ.
E₆² II (kvazi-split)	78	4	A₅A₁	Cyklické, objednávka 6	Objednávka 2	E II	40	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.	Kvazi-split, ale ne split.
E₆⁻¹⁴ III	78	2	D₅S¹	Nekonečné cyklické	Triviální	E III	32	Hermitian. Rosenfeldova eliptická projektivní rovina nad složitými Cayleyovými čísly.	Hermitian. Rosenfeldova hyperbolická projektivní rovina nad složitými Cayleyovými čísly.
E₆⁻²⁶ IV	78	2	F₄	Triviální	Objednávka 2	E IV	26	Množina Cayley projektivní letadla v projektivní rovině nad složitými Cayleyovými čísly.	Sada hyperbolických rovin Cayley v hyperbolické rovině nad složitými Cayleyovými čísly.
E₇⁻⁵ VI	133	4	D₆A₁	Necyklické, objednávka 4	Triviální	E VI	64	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
E₇⁻²⁵ VII	133	3	E₆S¹	Nekonečné cyklické	Objednávka 2	E VII	54	Hermitian.	Hermitian.
E₈⁻²⁴ IX	248	4	E₇ × A₁	Objednávka 2	1	E IX	112	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
F₄⁻²⁰ II	52	1	B₄ (Roztočit₉(R))	Objednávka 2	1	F II	16	Cayley projektivní letadlo. Quaternion-Kähler.	Hyperbolická Cayleyova projektivní rovina. Quaternion-Kähler.

Jednoduché Lieovy skupiny malé dimenze

V následující tabulce jsou uvedeny některé Lieovy skupiny s jednoduchými Lieovými algebrami malé dimenze. Skupiny na daném řádku mají stejnou Lieovu algebru. V případě dimenze 1 jsou skupiny abelianské a ne jednoduché.

Ztlumit	Skupiny		Symetrický prostor	Kompaktní duální	Hodnost	Ztlumit
1	R, S¹= U (1) = SO₂(R) = Spin (2)	Abelian	Skutečná linie		0	1
3	S³= Sp (1) = SU (2) = Spin (3), SO₃(R) = PSU (2)	Kompaktní
3	SL₂(R) = Sp₂(R), TAK_2,1(R)	Split, poustevník, hyperbolický	Hyperbolické letadlo H²	Koule S²	1	2
6	SL₂(C) = Sp₂(C), TAK_3,1(R), TAK₃(C)	Komplex	Hyperbolický prostor H³	Koule S³	1	3
8	SL₃(R)	Rozdělit	Euklidovské struktury na R³	Skutečné struktury na C³	2	5
8	SU (3)	Kompaktní
8	SU (1,2)	Hermitian, kvazi-rozkol, kvartérní	Složitá hyperbolická rovina	Složitá projektivní rovina	1	4
10	Sp (2) = Spin (5), SO₅(R)	Kompaktní
10	TAK_4,1(R), Sp_2,2(R)	Hyperbolický, kvartérní	Hyperbolický prostor H⁴	Koule S⁴	1	4
10	TAK_3,2(R), Sp₄(R)	Split, Hermitian	Siegel horní polovina prostoru	Složité struktury na H²	2	6
14	G₂	Kompaktní
14	G₂	Rozdělené, kvartérní	Nedivizní kvartérní subalgebry nedivizních oktonionů	Kvartérní subalgebry octonionů	2	8
15	SU (4) = Spin (6), SO₆(R)	Kompaktní
15	SL₄(R), TAK_3,3(R)	Rozdělit	R³ v R^3,3	Grassmannian G(3,3)	3	9
15	SU (3,1)	Hermitian	Složitý hyperbolický prostor	Složitý projektivní prostor	1	6
15	SU (2,2), SO_4,2(R)	Hermitian, kvazi-rozkol, kvartérní	R² v R^2,4	Grassmannian G(2,4)	2	8
15	SL₂(H), SO_5,1(R)	Hyperbolický	Hyperbolický prostor H⁵	Koule S⁵	1	5
16	SL₃(C)	Komplex		SU (3)	2	8
20	TAK₅(C), Sp₄(C)	Komplex		Roztočit₅(R)	2	10
21	TAK₇(R)	Kompaktní
21	TAK_6,1(R)	Hyperbolický	Hyperbolický prostor H⁶	Koule S⁶
21	TAK_5,2(R)	Hermitian
21	TAK_4,3(R)	Rozdělené, kvartérní
21	Sp (3)	Kompaktní
21	Sp₆(R)	Split, poustevník
21	Sp_4,2(R)	Kvartérní
24	SU (5)	Kompaktní
24	SL₅(R)	Rozdělit
24	SU_4,1	Hermitian
24	SU_3,2	Hermitian, kvartérní
28	TAK₈(R)	Kompaktní
28	TAK_7,1(R)	Hyperbolický	Hyperbolický prostor H⁷	Koule S⁷
28	TAK_6,2(R)	Hermitian
28	TAK_5,3(R)	Kvazi-split
28	TAK_4,4(R)	Rozdělené, kvartérní
28	TAK^∗₈(R)	Hermitian
28	G₂(C)	Komplex
30	SL₄(C)	Komplex

Poznámky

^† Skupina R není jednoduchá jako abstraktní skupina a podle většiny (ale ne všech) definic nejde o jednoduchou Lieovu skupinu. Většina autorů nepočítá jeho Lieovu algebru jako jednoduchou Lieovu algebru. Je zde uveden, takže je úplný seznam neredukovatelných jednoduše spojených symetrických prostorů. Všimněte si, že R je jediný takový nekompaktní symetrický prostor bez kompaktní duální (i když má kompaktní kvocient) S¹).

Další čtení

Besse, Einsteinova potrubí ISBN 0-387-15279-2
Helgason, Diferenciální geometrie, Lieovy skupiny a symetrické prostory. ISBN 0-8218-2848-7
Fuchs a Schweigert, Symetrie, Lieovy algebry a reprezentace: postgraduální kurz pro fyziky. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0

†