Speciální lineární Lieova algebra - Special linear Lie algebra

v matematika, speciální lineární Lieova algebra řádu n (označeno ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} (F)}$ nebo ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (n, F)}$ ) je Lež algebra z ${ displaystyle n krát n}$ matice s stopa nula a s Ležící závorka ${ displaystyle [X, Y]: = XY-YX}$ . Tato algebra je dobře prostudována a pochopena a často se používá jako model pro studium dalších Lieových algeber. The Lež skupina že generuje je speciální lineární skupina.

Aplikace

Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbb {C})}$ je ústřední pro studium speciální relativita, obecná relativita a supersymetrie: své základní zastoupení je tzv spinorová reprezentace, zatímco jeho adjunkční reprezentace generuje Skupina Lorentz SO (3,1) speciální relativity.

Algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbb {R})}$ hraje důležitou roli při studiu chaos a fraktály, protože generuje Skupina Möbius SL (2, R), který popisuje automorfismy hyperbolická rovina, nejjednodušší Riemannův povrch záporné zakřivení; naopak SL (2, C) popisuje automorfismy hyperbolické trojrozměrné koule.

Teorie reprezentace

Teorie reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$

Podle definice leží algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$ sestává ze dvou po dvou komplexních matic s nulovou stopou. Existují tři standardní základní prvky, ${ displaystyle e}$ , ${ displaystyle f}$ , a ${ displaystyle h}$ , s

{ displaystyle e = { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}}

,

{ displaystyle f = { begin {bmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {bmatrix}}}

,

{ displaystyle h = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {bmatrix}}}

.

Komutátoři jsou

{ displaystyle [e, f] = h}

,

{ displaystyle [h, f] = - 2f}

, a

{ displaystyle [h, e] = 2e.}

Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$ lze chápat jako podprostor jeho univerzální obklopující algebry ${ displaystyle U = U ({ mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C})}$ a v ${ displaystyle U}$ , existují následující vztahy komutátoru zobrazené indukcí:^[1]

{ displaystyle [h, f ^ {k}] = - 2kf ^ {k}, , [h, e ^ {k}] = 2ke ^ {k}}

,

{ displaystyle [e, f ^ {k}] = - k (k-1) f ^ {k-1} + kf ^ {k-1} h}

.

Všimněte si, že zde jsou pravomoci ${ displaystyle f ^ {k}}$ atd. označují mocniny jako prvky algebry U a ne maticové síly. První základní fakt (který vyplývá z výše uvedených komutátorových vztahů) je:^[1]

Lemma — Nechat ${ displaystyle V}$ být zastoupení z ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$ a ${ displaystyle v}$ vektor v něm. Soubor ${ displaystyle v_ {j} = {1 nad j!} f ^ {j} cdot v}$ pro každého ${ displaystyle j = 0,1, tečky}$ . Li ${ displaystyle v}$ je vlastním vektorem akce ${ displaystyle h}$ ; tj., ${ displaystyle h cdot v = lambda v}$ pro nějaké komplexní číslo ${ displaystyle lambda}$ pak pro každého ${ displaystyle j = 0,1, tečky}$ ,

${ displaystyle h cdot v_ {j} = ( lambda -2j) v_ {j}}$ .
${ displaystyle e cdot v_ {j} = {1 over j!} f ^ {j} cdot e cdot v + ( lambda -j + 1) v_ {j-1}}$ .
${ displaystyle f cdot v_ {j} = (j + 1) v_ {j + 1}}$ .

Z tohoto lemmatu lze odvodit následující základní výsledek:^[2]

Teorém — Nechat ${ displaystyle V}$ být reprezentací ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$ které mohou mít nekonečný rozměr a ${ displaystyle v}$ vektor v ${ displaystyle V}$ to je ${ displaystyle { mathfrak {b}} = mathbb {C} h + mathbb {C} e}$ - váhový vektor ( ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ je Borelova subalgebra).^[3] Pak

Ty ${ displaystyle v_ {j}}$ Nenulové hodnoty jsou lineárně nezávislé.
Pokud nějaké ${ displaystyle v_ {j}}$ je nula, pak ${ displaystyle h}$ - vlastní hodnota z proti je nezáporné celé číslo ${ displaystyle N geq 0}$ takhle ${ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, tečky, v_ {N}}$ jsou nenulové a ${ displaystyle v_ {N + 1} = v_ {N + 2} = cdots = 0}$ . Navíc podprostor překlenul ${ displaystyle v_ {j}}$ Je neredukovatelná ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbb {C})}$ -představení ${ displaystyle V}$ .

První výrok je pravdivý, protože buď ${ displaystyle v_ {j}}$ je nula nebo má ${ displaystyle h}$ -eigenvalue odlišná od vlastních čísel ostatních, které nejsou nenulové. Rčení ${ displaystyle v}$ je ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ - váhový vektor je ekvivalentní s tím, že je současně vlastním vektorem ${ displaystyle h, e}$ ; krátký výpočet pak ukazuje, že v takovém případě ${ displaystyle e}$ - vlastní hodnota z ${ displaystyle v}$ je nula: ${ displaystyle e cdot v = 0}$ . Tedy pro nějaké celé číslo ${ displaystyle N geq 0}$ , ${ displaystyle v_ {N} neq 0, v_ {N + 1} = v_ {N + 2} = cdots = 0}$ a zejména podle raného lemmatu,

{ displaystyle 0 = e cdot v_ {N + 1} = ( lambda - (N + 1) +1) v_ {N},}

což z toho vyplývá ${ displaystyle lambda = N}$ . Zbývá ukázat ${ displaystyle W = operatorname {span} {v_ {j} | j geq 0 }}$ je neredukovatelný. Li ${ displaystyle 0 neq W ' podmnožina W}$ je subreprezentace, pak připouští vlastní vektor, který musí mít vlastní hodnotu formuláře ${ displaystyle N-2j}$ ; je tedy úměrný ${ displaystyle v_ {j}}$ . Podle předchozího lemmatu máme ${ displaystyle v = v_ {0}}$ je v ${ displaystyle W}$ a tudíž ${ displaystyle W '= W}$ . ${ displaystyle square}$

Jako důsledek lze odvodit:

Li ${ displaystyle V}$ má konečný rozměr a je tedy neredukovatelný ${ displaystyle h}$ - vlastní hodnota z proti je nezáporné celé číslo ${ displaystyle N}$ a ${ displaystyle V}$ má základ ${ displaystyle v, fv, f ^ {2} v, cdots, f ^ {N} v}$ .
Naopak, pokud ${ displaystyle h}$ - vlastní hodnota z ${ displaystyle v}$ je nezáporné celé číslo a ${ displaystyle V}$ je tedy neredukovatelný ${ displaystyle V}$ má základ ${ displaystyle v, fv, f ^ {2} v, cdots, f ^ {N} v}$ ; zejména má konečný rozměr.

Krásný speciální případ ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2}}$ ukazuje obecný způsob, jak najít neredukovatelné reprezentace Lieových algeber. Jmenovitě rozdělíme algebru na tři subalgebry „h“ ( Cartan Subalgebra ), „e“ a „f“, které se chovají přibližně jako jejich jmenovci v ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2}}$ . Konkrétně v neredukovatelném zastoupení máme „nejvyšší“ vlastní vektor „h“, na který „e“ působí nulou. Základ neredukovatelné reprezentace je generován působením „f“ na nejvyšší vlastní vektory „h“. Viz věta o nejvyšší hmotnosti.

Teorie reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C}}$

Když ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C} = { mathfrak {sl}} (V)}$ pro komplexní vektorový prostor ${ displaystyle V}$ , každé konečně-dimenzionální neredukovatelné zastoupení ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ lze nalézt jako subreprezentaci a tenzorový výkon z ${ displaystyle V}$ .^[4]

Poznámky

^ ^A ^b Kac 2003, § 3.2.
^ Serre 2001, Ch IV, § 3, Věta 1. Dodatek 1.
^ Takový ${ displaystyle v}$ se také běžně nazývá primitivní prvek ${ displaystyle V}$ .
^ Serre 2000, Ch. VII, § 6.

Reference

Etingof, Pavel. "Poznámky k přednášce o teorii reprezentace ".
Kac, Victor (1990). Nekonečné dimenzionální Lieovy algebry (3. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-46693-8.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer
A. L. Onishchik, E. B. Vinberg, V. V. Gorbatsevich, Struktura Lieových skupin a Lieových algeber. Lie skupiny a Lie algebry, III. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 41. Springer-Verlag, Berlin, 1994. iv + 248 s. (Překlad Aktuální problémy matematiky. Základní směry. Sv. 41, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. I Tekhn. Inform., Moskva, 1990. Překlad V. Minachin. Překlad editoval AL Onishchik a EB Vinberg) ISBN 3-540-54683-9
V. L. Popov, E. B. Vinberg, Invariantní teorie. Algebraická geometrie. IV. Lineární algebraické skupiny. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55. Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 s. (Překlad algebraické geometrie. 4, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. I Tekhn. Inform., Moskva, 1989. Překlad editoval AN Parshin a IR Shafarevich) ISBN 3-540-54682-0
Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie částečně simuluje komplexy [Komplexní polojednoduché Lie Algebry], přeložil Jones, G. A., Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.

Viz také

[Kac-1] A ^b Kac 2003, § 3.2.

[2] Serre 2001, Ch IV, § 3, Věta 1. Dodatek 1.

[3] Takový ${ displaystyle v}$ se také běžně nazývá primitivní prvek ${ displaystyle V}$ .

[4] Serre 2000, Ch. VII, § 6.

[1]

[2]

[3]

[4]