Věta o nejvyšší hmotnosti - Theorem of the highest weight

v teorie reprezentace, obor matematiky, věta o nejvyšší hmotnosti klasifikuje neredukovatelné reprezentace komplexu polojednoduchá Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .^[1]^[2] Existuje úzce související věta klasifikující neredukovatelné reprezentace propojené kompaktní Lieovy skupiny ${ displaystyle K}$ .^[3] Věta říká, že existuje bijekce

{ displaystyle lambda mapsto [V ^ { lambda}]}

ze souboru "dominantních integrálních prvků" do souboru tříd ekvivalence neredukovatelných reprezentací ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ nebo ${ displaystyle K}$ . Rozdíl mezi těmito dvěma výsledky spočívá v přesném pojmu „integrál“ v definici dominantního integrálního prvku. Li ${ displaystyle K}$ je jednoduše připojen, tento rozdíl zmizí.

Věta byla původně prokázána Élie Cartan ve svém příspěvku z roku 1913.^[4] Verze věty pro kompaktní Lieovu skupinu má být Hermann Weyl. Věta je jednou z klíčových částí teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber.

Prohlášení

Případ algebry lži

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být konečným trojrozměrným polojednodušým komplexem Lieovy algebry Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Nechat ${ displaystyle R}$ být přidružený kořenový systém. Pak řekneme, že prvek ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}}}$ je integrální^[5] -li

{ displaystyle 2 { frac { langle lambda, alpha rangle} { langle alpha, alpha rangle}}}

je celé číslo pro každý kořen ${ displaystyle alpha}$ . Dále vybereme sadu ${ displaystyle R ^ {+}}$ pozitivních kořenů a my říkáme, že prvek ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}}}$ je dominantní -li ${ displaystyle langle lambda, alpha rangle geq 0}$ pro všechny ${ displaystyle alpha v R ^ {+}}$ . Prvek ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}}}$ dominantní integrál pokud je dominantní i integrální. Nakonec, pokud ${ displaystyle lambda}$ a ${ displaystyle mu}$ jsou v ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , říkáme to ${ displaystyle lambda}$ je vyšší^[6] než ${ displaystyle mu}$ -li ${ displaystyle lambda - mu}$ je vyjádřitelná jako lineární kombinace kladných kořenů s nezápornými reálnými koeficienty.

A hmotnost ${ displaystyle lambda}$ reprezentace ${ displaystyle V}$ z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ se pak nazývá a nejvyšší váha -li ${ displaystyle lambda}$ je vyšší než každá jiná váha ${ displaystyle mu}$ z ${ displaystyle V}$ .

Věta o nejvyšší hmotnosti pak uvádí:^[2]

Li ${ displaystyle V}$ je konečně-dimenzionální neredukovatelné znázornění ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , pak ${ displaystyle V}$ má jedinečnou nejvyšší váhu a tato nejvyšší váha je dominantním integrálem.
Pokud mají dvě konečně-dimenzionální neredukovatelné reprezentace stejnou nejvyšší váhu, jsou izomorfní.
Pro každý dominantní integrální prvek ${ displaystyle lambda}$ , existuje konečně-dimenzionální neredukovatelné zastoupení s nejvyšší váhou ${ displaystyle lambda}$ .

Nejtěžší část je ta poslední; konstrukce konečněrozměrného neredukovatelného zobrazení s předepsanou nejvyšší hmotností.

Kompaktní skupinový kufřík

Nechat ${ displaystyle K}$ být spojen kompaktní Lieova skupina s Lieovou algebrou ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ a nechte ${ displaystyle { mathfrak {g}}: = { mathfrak {k}} + i { mathfrak {k}}}$ být komplexizací ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Nechat ${ displaystyle T}$ být maximální torus v ${ displaystyle K}$ s Lieovou algebrou ${ displaystyle { mathfrak {t}}}$ . Pak ${ displaystyle { mathfrak {h}}: = { mathfrak {t}} + i { mathfrak {t}}}$ je Cartanova subalgebra z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a můžeme vytvořit přidružený kořenový systém ${ displaystyle R}$ . Teorie pak postupuje zhruba stejným způsobem jako v případě Lieovy algebry, s jedním zásadním rozdílem: pojem integrality je odlišný. Konkrétně říkáme, že prvek ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}}}$ je analyticky integrální^[7] -li

{ displaystyle langle lambda, H rangle}

je celé číslo kdykoli

{ displaystyle e ^ {2 pi H} = I}

kde ${ displaystyle I}$ je prvek identity ${ displaystyle K}$ . Každý analyticky integrální prvek je integrální ve smyslu Lieovy algebry,^[8] ale ve smyslu Lieovy algebry mohou existovat integrální prvky, které nejsou analyticky integrální. Tento rozdíl odráží skutečnost, že pokud ${ displaystyle K}$ není jednoduše spojeno, mohou existovat reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ které nepocházejí z reprezentací ${ displaystyle K}$ . Na druhou stranu, pokud ${ displaystyle K}$ je jednoduše spojeno, pojmy „integrální“ a „analyticky integrální“ se shodují.^[3]

Věta o nejvyšší váze pro reprezentace ${ displaystyle K}$ ^[9] je pak stejné jako v případě Lieovy algebry, kromě toho, že „integrál“ je nahrazen „analyticky integrál“.

Důkazy

Existují nejméně čtyři důkazy:

Originální důkaz Hermanna Weyla z pohledu kompaktní skupiny,^[10] založeno na Weylův vzorec znaků a Peter – Weylova věta.
Teorie Verma moduly obsahuje teorém o nejvyšší hmotnosti. To je přístup používaný v mnoha standardních učebnicích (např. Humphreys a část II sálu).
The Borel – Weil – Bottova věta konstruuje neredukovatelnou reprezentaci jako prostor globálních částí velkého svazku řádků; důsledkem je věta o nejvyšší hmotnosti. (Tento přístup využívá trochu algebraické geometrie, ale poskytuje velmi rychlý důkaz.)
The invariantní teoretik přístup: jeden konstruuje neredukovatelné reprezentace jako subreprezentace tenzorové síly standardních reprezentací. Tento přístup je v zásadě způsoben H. Weylem a funguje docela dobře pro klasické skupiny.

Viz také

Poznámky

^ Dixmier Věta 7.2.6.
^ ^A ^b Hall 2015 Věty 9.4 a 9.5
^ ^A ^b Hall 2015 Věta 12.6
^ Knapp, A. W. (2003). „Recenzovaná práce: Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Andrew Baker; Lie Groups: An Introduction through Linear Groups, Wulf Rossmann“. Americký matematický měsíčník. 110 (5): 446–455. doi:10.2307/3647845. JSTOR 3647845.
^ Hall 2015 Oddíl 8.7
^ Hall 2015 Oddíl 8.8
^ Hall 2015 Definice 12.4
^ Hall 2015 Návrh 12.7
^ Hall 2015 Dodatek 13.20
^ Hall 2015 Kapitola 12

Reference

Dixmier, Jacques (1996) [1974], Obálkové algebry, Postgraduální studium matematiky, 11„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-0560-2, PAN 0498740
Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.
Hall, Brian C. (2015), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a reprezentace: Základní úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3319134666
Humphreys, James E. (1972a), Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.

[1] Dixmier Věta 7.2.6.

[9.4_and_9.5-2] A ^b Hall 2015 Věty 9.4 a 9.5

[12.6-3] A ^b Hall 2015 Věta 12.6

[4] Knapp, A. W. (2003). „Recenzovaná práce: Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Andrew Baker; Lie Groups: An Introduction through Linear Groups, Wulf Rossmann“. Americký matematický měsíčník. 110 (5): 446–455. doi:10.2307/3647845. JSTOR 3647845.

[5] Hall 2015 Oddíl 8.7

[6] Hall 2015 Oddíl 8.8

[7] Hall 2015 Definice 12.4

[8] Hall 2015 Návrh 12.7

[9] Hall 2015 Dodatek 13.20

[10] Hall 2015 Kapitola 12

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]