Borel – Weil – Bottova věta - Borel–Weil–Bott theorem - Wikipedia

v matematika, Borel – Weil – Bottova věta je základním výsledkem v teorie reprezentace z Lež skupiny, ukazující, jak lze získat rodinu reprezentací z holomorfních částí určitého komplexu vektorové svazky a obecněji z vyšších snopová kohomologie skupiny spojené s takovými svazky. Je postaven na dřívějším Borel – Weilova věta z Armand Borel a André Weil, zabývající se pouze prostorem sekcí (nultá kohomologická skupina), rozšíření na vyšší kohomologické skupiny poskytuje Raoul Bott. Dá se ekvivalentně, přes Serre SENILNÍ, zobrazit jako výsledek ve komplexní algebraická geometrie v Zariski topologie.

Formulace

Nechat G být polojednoduchý Lež skupina nebo algebraická skupina přes ${ displaystyle mathbb {C}}$a opravte a maximální torus T spolu s a Podskupina Borel B který obsahuje T. Nechat λ být integrální hmotnost z T; λ definuje přirozeným způsobem jednorozměrné znázornění C_λ z B, stažením reprezentace zpět T = B/U, kde U je unipotentní radikál z B. Protože můžeme myslet na projekční mapu G → G/B jako ředitel školy B- svazek, pro každého C_λ dostaneme přidružený svazek vláken L_−λ na G/B (všimněte si cedule), což je zjevně a svazek řádků. Identifikace L_λ s jeho snop holomorfních úseků považujeme za svazek kohomologie skupiny ${ displaystyle H ^ {i} (G / B, , L _ { lambda})}$. Od té doby G působí na celkový prostor svazku ${ displaystyle L _ { lambda}}$ automatizovanými svazky svazků tato akce přirozeně dává a G-modulová struktura na těchto skupinách; a Borel – Weil – Bottova věta poskytuje explicitní popis těchto skupin jako G- moduly.

Nejprve musíme popsat Weylova skupina akce zaměřená na ${ displaystyle - rho}$. Pro jakoukoli integrální váhu λ a w ve skupině Weyl Ž, jsme si stanovili ${ Displaystyle w * lambda: = w ( lambda + rho) - rho ,}$, kde ρ označuje poloviční součet kladných kořenů G. Je snadné zkontrolovat, zda toto definuje skupinovou akci, i když tato akce je ne lineární, na rozdíl od obvyklé akce skupiny Weyl. Také váha μ se říká, že je dominantní -li ${ displaystyle mu ( alpha ^ { vee}) geq 0}$ pro všechny jednoduché kořeny α. Nechat ℓ označit délková funkce na Ž.

Vzhledem k integrální hmotnosti λ, dochází k jednomu ze dvou případů:

1. Tady není žádný ${ displaystyle w in W}$ takhle ${ displaystyle w * lambda}$ je dominantní, rovnocenně, existuje identita ${ displaystyle w in W}$ takhle ${ displaystyle w * lambda = lambda}$; nebo
2. Tady je unikátní ${ displaystyle w in W}$ takhle ${ displaystyle w * lambda}$ je dominantní.

Věta říká, že v prvním případě máme

${ displaystyle H ^ {i} (G / B, , L _ { lambda}) = 0}$ pro všechny i;

a v druhém případě máme

${ displaystyle H ^ {i} (G / B, , L _ { lambda}) = 0}$ pro všechny ${ Displaystyle i neq ell (w)}$, zatímco

${ displaystyle H ^ { ell (w)} (G / B, , L _ { lambda})}$ je duál neredukovatelného nejvyššího zastoupení G s nejvyšší hmotností ${ displaystyle w * lambda}$.

Stojí za zmínku, že výše uvedený případ (1) nastane tehdy a jen tehdy ${ displaystyle ( lambda + rho) ( beta ^ { vee}) = 0}$ pro nějaký pozitivní kořen β. Získáváme také klasiku Borel – Weilova věta jako zvláštní případ této věty převzetím λ být dominantní a w být prvkem identity ${ displaystyle e ve W}$.

Příklad

Zvažte například G = SL₂(C), pro který G/B je Riemannova koule, integrální váha je specifikována jednoduše celým číslem n, a ρ = 1. Balíček linek L_n je ${ displaystyle { mathcal {O}} (n)}$, jehož sekce jsou homogenní polynomy stupně n (tj binární formy). Jako reprezentace G, sekce lze psát jako Symⁿ(C²)*, a je kanonicky izomorfní^{[jak? ]} na Symⁿ(C²).

To nám dává najednou teorii reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbf {C})}$: ${ displaystyle Gamma ({ mathcal {O}} (1))}$ je standardní reprezentace a ${ displaystyle Gamma ({ mathcal {O}} (n))}$ je jeho nth symetrická síla. Dokonce máme jednotný popis působení Lieovy algebry, odvozený od jeho realizace jako vektorových polí na Riemannově sféře: pokud H, X, Y jsou standardní generátory ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbf {C})}$, pak

${ displaystyle { begin {aligned} H & = x { frac {d} {dx}} - y { frac {d} {dy}}, [5pt] X & = x { frac {d} { dy}}, [5pt] Y & = y { frac {d} {dx}}. end {zarovnáno}}}$

Pozitivní charakteristika

Jeden má také slabší formu této věty v pozitivní charakteristice. Jmenovitě G být napůl jednoduchou algebraickou skupinou nad algebraicky uzavřené pole charakteristické ${ displaystyle p> 0}$. Pak to zůstává pravda ${ displaystyle H ^ {i} (G / B, , L _ { lambda}) = 0}$ pro všechny i -li λ je váha taková, že ${ displaystyle w * lambda}$ není dominantní pro všechny ${ displaystyle w in W}$ tak dlouho jak λ je „blízko nule“.^[1] Toto je známé jako Kempfova věta o mizení. Ostatní výroky věty však v tomto nastavení nezůstávají platné.

Přesněji řečeno λ být dominantní integrální váhou; pak stále platí, že ${ displaystyle H ^ {i} (G / B, , L _ { lambda}) = 0}$ pro všechny ${ displaystyle i> 0}$, ale to už není pravda G-module je obecně jednoduchý, i když obsahuje jedinečný modul s nejvyšší hmotností a nejvyšší hmotností λ jako G-podmodul. Li λ je libovolná integrální váha, je ve skutečnosti velkým nevyřešeným problémem v teorii reprezentace popsat cohomologické moduly ${ displaystyle H ^ {i} (G / B, , L _ { lambda})}$ obecně. Na rozdíl od konce ${ displaystyle mathbb {C}}$, Mumford uvedl příklad, který ukazuje, že to nemusí být pravda λ že všechny tyto moduly jsou nulové, kromě jediného stupně i.

Borel – Weilova věta

Věta Borel-Weil poskytuje konkrétní model pro neredukovatelné reprezentace z kompaktní Lieovy skupiny a neredukovatelné holomorfní reprezentace komplex napůl jednoduché Lie skupiny. Tyto reprezentace jsou realizovány v globálních prostorech sekce z svazky holomorfní linie na příznak potrubí skupiny. Věta Borel – Weil – Bott je její zobecnění do vyšších prostor cohomologie. Věta sahá do počátku 50. let a lze ji najít v Serre & 1951-4 chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFSerre1951-4 (Pomoc) a Prsa (1955).

Výrok věty

Větu lze konstatovat buď pro složitou polojedinou Lieovu skupinu G nebo pro jeho kompaktní forma K.. Nechat G být připojeno komplexní polojediná Lieova skupina, B A Podskupina Borel z G, a X = G/B the odrůda vlajky. V tomto scénáři X je komplexní potrubí a nesingulární algebraika G-odrůda. Odrůdu vlajky lze také popsat jako kompaktní homogenní prostor K./T, kde T = K. ∩ B je (kompaktní) Cartan podskupina z K.. An integrální hmotnost λ určuje a G-ekvivariantní svazek holomorfní linie L_λ na X a skupina G jedná v prostoru globálních sekcí,

${ displaystyle Gamma (G / B, L _ { lambda}). }$

Věta Borel-Weil říká, že pokud λ je dominantní integrální váha, pak toto vyjádření je a holomorfní neredukovatelné nejvyšší hmotnostní zastoupení z G s nejvyšší hmotností λ. Jeho omezení na K. je neredukovatelné jednotné zastoupení z K. s nejvyšší hmotností λa každé neredukovatelné jednotné vyjádření K. se získá tímto způsobem za jedinečnou hodnotu λ. (Holomorfní reprezentace komplexní skupiny Lie je skupina, pro kterou je odpovídající reprezentace Lieovy algebry komplex lineární.)

Konkrétní popis

Váha λ dává vzniknout znaku (jednorozměrné reprezentaci) podskupiny Borel B, který je označen χ_λ. Holomorfní řezy svazku holomorfních linií L_λ přes G/B lze konkrétněji popsat jako holomorfní mapy

${ displaystyle f: G to mathbb {C} _ { lambda}: f (gb) = chi _ { lambda} (b ^ {- 1}) f (g)}$

pro všechny G ∈ G a b ∈ B.

Akce G na těchto úsecích je dáno

${ displaystyle g cdot f (h) = f (g ^ {- 1} h)}$

pro G, h ∈ G.

Příklad

Nechat G být komplexem speciální lineární skupina SL (2, C), s podskupinou Borel sestávající z horních trojúhelníkových matic s určující. Integrální závaží pro G lze identifikovat pomocí celá čísla, s dominantní váhou odpovídající nezáporným celým číslům a odpovídajícími znaky χ_n z B mít formu

${ displaystyle chi _ {n} { begin {pmatrix} a & b 0 & a ^ {- 1} end {pmatrix}} = a ^ {n}.}$

Odrůda vlajky G/B lze identifikovat pomocí komplexní projektivní linie CP¹ s homogenní souřadnice X, Y a prostor globálních částí svazku linek L_n je identifikován s prostorem homogenních polynomů stupně n na C². Pro n ≥ 0, tento prostor má rozměr n + 1 a tvoří neredukovatelné zastoupení v rámci standardní akce G na polynomiální algebře C[X, Y]. Váhové vektory jsou dány monomály

${ displaystyle X ^ {i} Y ^ {n-i}, quad 0 leq i leq n}$

závaží 2i − na vektor s nejvyšší hmotností Xⁿ má váhu n.

Viz také

• Věta o nejvyšší hmotnosti

Poznámky

Reference

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103..
• Baston, Robert J .; Eastwood, Michael G. (1989), Penrosova transformace: její interakce s teorií reprezentace, Oxford University Press. (přetištěno Dover)
• „Bottova – Borel – Weilova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Důkaz věty Borel – Weil – Bott tím, že Jacob Lurie. Citováno 13. července 2014.
• Serre, Jean-Pierre (1954) [1951], „Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)“, Seminář Bourbaki, 2 (100): 447–454. Francouzsky; přeložený název: „Lineární reprezentace a Kählerovy homogenní prostory kompaktních Lieových skupin (po Armandu Borelovi a André Weilovi).“
• Kozy, Jacques (1955), Sur certaines classes d'espaces homogènes de groupes de Lie, Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. Mém. Sb., 29 Francouzsky.
• Sepanski, Mark R. (2007), Compact Lie skupiny., Postgraduální texty z matematiky, 235, New York: Springer, ISBN  9780387302638.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teorie reprezentace polojednodušých skupin: Přehled na základě příkladů, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press. Dotisk originálu z roku 1986.

Další čtení

• Teleman, Constantin (1998). „Borel – Weil – Bottova teorie o zásobníku modulů G- svazky nad křivkou ". Inventiones Mathematicae. 134 (1): 1–57. doi:10.1007 / s002220050257. PAN  1646586.

Tento článek obsahuje materiál z věty Borel – Bott – Weil PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.