Radikál lži - Radical of a Lie algebra

V matematický pole Teorie lži, radikální a Lež algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je největší řešitelný ideál z ${displaystyle {mathfrak {g}}.}$^[1]

Radikál, označený ${displaystyle {m {rad}} ({mathfrak {g}})}$, zapadá do přesné sekvence

${displaystyle 0 o {m {rad}} ({mathfrak {g}}) o {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}} / {m {rad}} ({mathfrak {g}}) o 0}$.

kde ${displaystyle {mathfrak {g}} / {m {rad}} ({mathfrak {g}})}$ je polojednoduchý. Když má zemní pole charakteristiku nula a ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ má tedy konečný rozměr Leviho věta uvádí, že tato přesná sekvence se rozdělí; tj. existuje (nutně poloviční) subalgebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ to je izomorfní s polovičním kvocientem ${displaystyle {mathfrak {g}} / {m {rad}} ({mathfrak {g}})}$ přes mapu kvocientu ${displaystyle {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}} / {m {rad}} ({mathfrak {g}}).}$

Podobný pojem je a Borel subalgebra, což je (ne nutně jedinečná) maximální řešitelná subalgebra.

Definice

Nechat ${displaystyle k}$ být pole a nechat ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ být konečně-dimenzionální Lež algebra přes ${displaystyle k}$. Existuje jedinečný maximální řešitelný ideál zvaný radikální, z následujícího důvodu.

Nejprve nechte ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ a ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ být dva řešitelné ideály ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Pak ${displaystyle {mathfrak {a}} + {mathfrak {b}}}$ je opět ideálem ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, a je řešitelný, protože se jedná o příponu ${displaystyle ({mathfrak {a}} + {mathfrak {b}}) / {mathfrak {a}} simeq {mathfrak {b}} / ({mathfrak {a}} čepice {mathfrak {b}})}}$ podle ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Nyní zvažte součet všech řešitelných ideálů ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Od té doby je to neprázdné ${displaystyle {0}}$ je řešitelný ideál a je to řešitelný ideál podle právě odvozené vlastnosti součet. Je zřejmé, že jde o jedinečný maximální řešitelný ideál.

Související pojmy

• Liege algebra je polojednoduchý právě když je jeho radikál ${displaystyle 0}$.
• Lie algebra je redukční právě když se jeho radikál rovná jeho středu.

Viz také

• Leviho rozklad

Reference