Infinitezimální transformace - Infinitesimal transformation

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, an nekonečně malá transformace je omezující druh malý proměna. Například lze mluvit o nekonečně malá rotace a tuhé tělo, v trojrozměrném prostoru. To je obvykle reprezentováno 3 × 3 šikmo symetrická matice A. Není to matice skutečného otáčení ve vesmíru; ale pro malé reálné hodnoty parametru ε transformace

${ displaystyle T = I + varepsilon A}$

je malá rotace, až do množství řádu ε².

Dějiny

Komplexní teorie nekonečně malých transformací byla poprvé dána autorem Sophus Lie. To bylo jádrem jeho práce na tom, co se nyní nazývá Lež skupiny a jejich doprovod Lež algebry; a identifikace jejich role v EU geometrie a zejména teorie diferenciální rovnice. Vlastnosti abstraktu Lež algebra jsou přesně ty definitivní z nekonečně malých transformací, stejně jako axiomy z teorie skupin ztělesnit symetrie. Termín „Lie algebra“ zavedl v roce 1934 Hermann Weyl, protože to, co bylo do té doby známé jako algebra nekonečně malých transformací skupiny lži.

Příklady

Například v případě nekonečně malých rotací je struktura Lieovy algebry ta, kterou poskytuje křížový produkt, jakmile byla identifikována symetrická matice zkosení s 3vektor. To odpovídá výběru vektoru os pro rotace; definování Jacobi identita je dobře známou vlastností křížových produktů.

Nejstarší příklad nekonečně malé transformace, která jako taková mohla být rozpoznána, byl v Eulerova věta o homogenních funkcích. Zde je uvedeno, že funkce F z n proměnné X₁, ..., X_n to je homogenní se stupněm r, splňuje

${ displaystyle Theta F = rF ,}$

s

${ displaystyle Theta = součet _ {i} x_ {i} { částečné nad částečné x_ {i}},}$

the Operátor Theta. To znamená z nemovitosti

${ displaystyle F ( lambda x_ {1}, tečky, lambda x_ {n}) = lambda ^ {r} F (x_ {1}, tečky, x_ {n}) ,}$

je možné rozlišovat vzhledem k λ a poté nastavit λ rovné 1. Toto se pak stává a nutná podmínka na plynulá funkce F mít vlastnost homogenity; je také dostačující (pomocí Schwartzovy distribuce jeden může snížit matematická analýza úvahy zde). Toto nastavení je typické v tom, že existuje skupina s jedním parametrem z škálování provozní; a informace jsou kódovány v nekonečně malé transformaci, která je a operátor diferenciálu prvního řádu.

Operátorova verze Taylorovy věty

Operátorova rovnice

${ displaystyle e ^ {tD} f (x) = f (x + t) ,}$

kde

${ displaystyle D = {d nad dx}}$

je operátor verze Taylorova věta - a je tedy platný pouze pod upozornění o F být analytická funkce. Ukazuje to na operátorskou část D je nekonečně malá transformace, generující překlady skutečné linie pomocí exponenciální. V Lieově teorii je to zobecněno dlouhou cestou. Žádný připojeno Lží skupina může být vytvořena pomocí jeho nekonečně malé generátory (základ pro Lieovu algebru skupiny); s explicitními, ne-li vždy užitečnými informacemi uvedenými v Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec.

Reference

• „Lie algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen, Anglický překlad D.H.Delphenicha, §8, odkaz z neoklasické fyziky.