Sdružené zastoupení - Adjoint representation

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

v matematika, adjunkční reprezentace (nebo adjunkční akce) a Lež skupina G je způsob reprezentace prvků skupiny jako lineární transformace skupiny Lež algebra, považováno za a vektorový prostor. Například pokud G je ${ displaystyle GL (n, mathbb {R})}$, Lieova skupina skutečných n-podle-n invertibilní matice, pak adjunktní reprezentace je skupinový homomorfismus, který vysílá invertible n-podle-n matice ${ displaystyle g}$ k endomorfismu vektorového prostoru všech lineárních transformací ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ definován: ${ displaystyle x mapsto gxg ^ {- 1}}$.

Pro každou skupinu Lie je to přirozené zastoupení se získá linearizací (tj rozdíl z) akce z G na sobě časování. Adjunkční reprezentaci lze definovat pro lineární algebraické skupiny přes svévolné pole.

Definice

Nechat G být Lež skupina a nechte

${ displaystyle Psi: G k operatorname {Aut} (G)}$

být mapováním G ↦ Ψ_G, s Aut (G) automorfická skupina z G a Ψ_G: G → G dané vnitřní automorfismus (časování)

${ displaystyle Psi _ {g} (h) = ghg ​​^ {- 1} ~.}$

Toto Ψ je Homomorfismus skupiny lži.

Pro každého G v G, definovat Inzerát_G být derivát z Ψ_G v původu:

${ displaystyle operatorname {Ad} _ {g} = (d Psi _ {g}) _ {e}: T_ {e} G rightarrow T_ {e} G}$

kde d je rozdíl a ${ displaystyle { mathfrak {g}} = T_ {e} G}$ je tečný prostor na počátku E (E být prvkem identity skupiny G). Od té doby ${ displaystyle Psi _ {g}}$ je automorfismus Lieových skupin, Ad_G je autorfismus lži algebry; tj. invertibilní lineární transformace z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ pro sebe, která zachovává Ležící závorka. Navíc od té doby ${ displaystyle g mapsto Psi _ {g}}$ je skupinový homomorfismus, ${ displaystyle g mapsto operatorname {Ad} _ {g}}$ také je to skupinový homomorfismus.^[1] Proto je mapa

${ displaystyle mathrm {Ad} dvojtečka G to mathrm {Aut} ({ mathfrak {g}}), , g mapsto mathrm {Ad} _ {g}}$

je skupinové zastoupení volal adjunkční reprezentace z G.

Li G je ponořená Lie podskupina obecné lineární skupiny ${ displaystyle mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {C})}$ (nazývá se imerzně lineární Lieova skupina), pak Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ sestává z matic a exponenciální mapa je exponenciální matice ${ displaystyle operatorname {exp} (X) = e ^ {X}}$ pro matice X s normami malého operátora. Tedy pro G v G a malé X v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, přičemž derivát ${ displaystyle Psi _ {g} ( operatorname {exp} (tX)) = ge ^ {tX} g ^ {- 1}}$ na t = 0, jeden dostane:

${ displaystyle operatorname {Ad} _ {g} (X) = gXg ^ {- 1}}$

kde vpravo máme produkty matic. Li ${ displaystyle G podmnožina mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {C})}$ je uzavřená podskupina (tj. G je maticová Lieova skupina), pak tento vzorec platí pro všechny G v G a všechno X v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Stručně řečeno, adjunktní reprezentace je izotropní reprezentace spojené s konjugační akcí G kolem prvku identity G.

Derivát reklamy

Jeden může vždy projít ze zastoupení skupiny Lie G do a reprezentace jeho Lieovy algebry převzetím derivátu v identitě.

Vezmeme si derivát adjungované mapy

${ displaystyle mathrm {Ad}: G to mathrm {Aut} ({ mathfrak {g}})}$

u prvku identity dává adjunkční reprezentace lži algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ z G:

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {ad}: & , { mathfrak {g}} to mathrm {Der} ({ mathfrak {g}}) & , x mapsto operatorname {ad} _ {x} = d ( operatorname {Ad}) _ {e} (x) end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mathrm {Der} ({ mathfrak {g}}) = operatorname {Lie} ( operatorname {Aut} ({ mathfrak {g}}))}$ je Lieova algebra ${ displaystyle mathrm {Aut} ({ mathfrak {g}})}$ které lze identifikovat s derivační algebra z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Jeden to může ukázat

${ displaystyle mathrm {ad} _ {x} (y) = [x, y] ,}$

pro všechny ${ displaystyle x, y in { mathfrak {g}}}$, kde je pravá strana dána (indukována) znakem Ležácká závorka vektorových polí. Vskutku,^[2] připomenout, prohlížení ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ jako Lieova algebra levého invariantního vektorového pole G, držák zapnutý ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je uveden jako:^[3] pro vektorová pole invariantní vlevo X, Y,

${ displaystyle [X, Y] = lim _ {t až 0} {1 over t} (d varphi _ {- t} (Y) -Y)}$

kde ${ displaystyle varphi _ {t}: G až G}$ označuje tok generováno uživatelem X. Jak se ukazuje, ${ displaystyle varphi _ {t} (g) = g varphi _ {t} (e)}$, zhruba proto, že obě strany uspokojují stejnou ODR definující tok. To znamená ${ displaystyle varphi _ {t} = R _ { varphi _ {t} (e)}}$ kde ${ displaystyle R_ {h}}$ označuje správné násobení pomocí ${ displaystyle h v G}$. Na druhou stranu od té doby ${ displaystyle Psi _ {g} = R_ {g ^ {- 1}} cirkus L_ {g}}$tím, že řetězové pravidlo,

${ displaystyle operatorname {Ad} _ {g} (Y) = d (R_ {g ^ {- 1}} circ L_ {g}) (Y) = dR_ {g ^ {- 1}} (dL_ { g} (Y)) = dR_ {g ^ {- 1}} (Y)}$

tak jako Y je invariantní vlevo. Proto,

${ displaystyle [X, Y] = lim _ {t až 0} {1 over t} ( operatorname {Ad} _ { varphi _ {t} (e)} (Y) -Y)}$,

což bylo potřeba ukázat.

Tím pádem, ${ displaystyle mathrm {ad} _ {x}}$ se shoduje se stejným definovaným v § Sdružené znázornění Lieovy algebry níže. Reklama a reklama souvisí prostřednictvím exponenciální mapa: Konkrétně Ad_{exp (X)} = exp (reklama_X) pro všechny X v algebře Lie.^[4] Je to důsledek obecného výsledku týkajícího se Lieovy skupiny a Lieových algebrických homomorfismů prostřednictvím exponenciální mapy.^[5]

Li G je ponořená lineární Lieova skupina, pak se výše uvedený výpočet zjednodušuje: skutečně, jak bylo uvedeno dříve, ${ displaystyle operatorname {Ad} _ {g} (Y) = gYg ^ {- 1}}$ a tedy s ${ displaystyle g = e ^ {tX}}$,

${ displaystyle operatorname {Ad} _ {e ^ {tX}} (Y) = e ^ {tX} Ye ^ {- tX}}$.

Vezmeme-li si derivát tohoto na ${ displaystyle t = 0}$, my máme:

${ displaystyle operatorname {ad} _ {X} Y = XY-YX}$.

Obecný případ lze také odvodit z lineárního případu: ve skutečnosti ${ displaystyle G '}$ být ponořená lineární Lieova skupina se stejnou Lieovou algebrou jako algebra G. Pak derivát Ad v prvku identity pro G a to pro G' shodovat se; tedy bez ztráty obecnosti, G lze předpokládat, že jsou G'.

Velká a malá písmena se v literatuře hojně používají. Tedy například vektor X v algebře ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ generuje a vektorové pole X ve skupině G. Podobně i adjungovaná mapa inzerát_Xy = [X,y] vektorů v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je homomorfní^{[je zapotřebí objasnění ]} do Derivát lži L_XY = [X,Y] vektorových polí ve skupině G považováno za potrubí.

Dále viz derivát exponenciální mapy.

Adjoint reprezentace Lieovy algebry

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být ležovou algebrou nad nějakým polem. Vzhledem k prvku X lže algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, jeden definuje adjoint akci X na ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ jako mapa

${ displaystyle operatorname {ad} _ {x}: { mathfrak {g}} do { mathfrak {g}} qquad { text {with}} qquad operatorname {ad} _ {x} ( y) = [x, y]}$

pro všechny y v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Říká se tomu adjungovaný endomorfismus nebo adjunkční akce. (${ displaystyle operatorname {ad} _ {x}}$ je také často označován jako ${ displaystyle operatorname {ad} (x)}$.) Protože závorka je bilineární, určuje to lineární mapování

${ displaystyle operatorname {ad}: { mathfrak {g}} to operatorname {End} ({ mathfrak {g}})}$

dána X ↦ reklama_X. Do konce${ displaystyle ({ mathfrak {g}})}$, závorka je podle definice dána komutátorem dvou operátorů:

${ displaystyle [T, S] = T cirku S-S cirku T}$

kde ${ displaystyle circ}$ označuje složení lineárních map. Pomocí výše uvedené definice závorky je Jacobi identita

${ displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0}$

má formu

${ displaystyle left ([ operatorname {ad} _ {x}, operatorname {ad} _ {y}] right) (z) = left ( operatorname {ad} _ {[x, y]} vpravo) (z)}$

kde X, y, a z jsou libovolné prvky ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

To říká poslední identita inzerát je homomorfismus lži algebry; tj. lineární mapování, které bere závorky na závorky. Proto, inzerát je reprezentace Lieovy algebry a nazývá se adjunkční reprezentace algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Li ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je konečně-dimenzionální, pak Konec${ displaystyle ({ mathfrak {g}})}$ je izomorfní s ${ displaystyle { mathfrak {gl}} ({ mathfrak {g}})}$, Lieova algebra obecná lineární skupina vektorového prostoru ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a pokud je zvolen základ pro to, složení odpovídá násobení matic.

Ve více modulově teoretickém jazyce to říká konstrukce ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je modul sám o sobě.

Jádro inzerát je centrum z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (to je jen přeformulování definice). Na druhou stranu pro každý prvek z v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, lineární mapování ${ displaystyle delta = operatorname {ad} _ {z}}$ poslouchá Leibnizův zákon:

${ displaystyle delta ([x, y]) = [ delta (x), y] + [x, delta (y)]}$

pro všechny X a y v algebře (přepracování Jacobiho identity). To znamená, ad_z je derivace a obraz ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ pod reklamou je subalgebra Der${ displaystyle ({ mathfrak {g}})}$, prostor všech odvozenin z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Když ${ displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ je Lieova algebra skupiny Lie G, inzerát je rozdíl Inzerát na prvku identity G (vidět # Derivát reklamy výše).

K dispozici je následující vzorec podobný Leibnizův vzorec: pro skaláry ${ displaystyle alpha, beta}$ a Lieovy algebry ${ displaystyle x, y, z}$,

${ displaystyle ( operatorname {ad} _ {x} - alpha - beta) ^ {n} [y, z] = součet _ {i = 0} ^ {n} { binom {n} {i }} [( operatorname {ad} _ {x} - alpha) ^ {i} y, ( operatorname {ad} _ {x} - beta) ^ {ni} z]}$.

Strukturní konstanty

Explicitní maticové prvky adjunktové reprezentace jsou dány znakem strukturní konstanty algebry. To znamená, že {eⁱ} být sada základní vektory pro algebru, s

${ displaystyle [e ^ {i}, e ^ {j}] = součet _ {k} {c ^ {ij}} _ {k} e ^ {k}.}$

Pak maticové prvky pro reklamu_Eⁱjsou dány

${ displaystyle { left [ operatorname {ad} _ {e ^ {i}} right] _ {k}} ^ {j} = {c ^ {ij}} _ {k} ~.}$

Tedy například adjunktní reprezentace su (2) je určujícím zástupcem takže (3).

Příklady

• Li G je abelian dimenze n, adjunkční reprezentace G je triviální n-dimenzionální reprezentace.
• Li G je matice Lieova skupina (tj. uzavřená podskupina GL (n, ℂ)), pak je jeho Lieova algebra algebrou n×n matice s komutátorem pro Lieovu závorku (tj. subalgebra o ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} ( mathbb {C})}$). V tomto případě je adjointová mapa dána Ad_G(X) = gxg⁻¹.
• Li G je SL (2, R) (skutečné matice 2 × 2 s určující 1), Lieova algebra z G se skládá ze skutečných matic 2 × 2 s stopa 0. Reprezentace je ekvivalentní reprezentaci dané akcí G lineární substitucí v prostoru binárního (tj. 2 proměnné) kvadratické formy.

Vlastnosti

Následující tabulka shrnuje vlastnosti různých map uvedených v definici

${ displaystyle Psi dvojtečka G to mathrm {Aut} (G) ,}$	${ displaystyle Psi _ {g} dvojtečka G až G ,}$
Homomorfismus skupiny lži: ${ displaystyle Psi _ {gh} = Psi _ {g} Psi _ {h}}$	Automorfismus skupiny lži: ${ displaystyle Psi _ {g} (ab) = Psi _ {g} (a) Psi _ {g} (b)}$ ${ displaystyle ( Psi _ {g}) ^ {- 1} = Psi _ {g ^ {- 1}}}$
${ displaystyle mathrm {Ad} dvojtečka G to mathrm {Aut} ({ mathfrak {g}})}$	${ displaystyle mathrm {Ad} _ {g} tračník { mathfrak {g}} do { mathfrak {g}}}$
Homomorfismus skupiny lži: ${ displaystyle mathrm {Ad} _ {gh} = mathrm {Ad} _ {g} mathrm {Ad} _ {h}}$	Lie Algebra Automorfismus: ${ displaystyle mathrm {Ad} _ {g}}$ je lineární ${ displaystyle ( mathrm {Ad} _ {g}) ^ {- 1} = mathrm {Ad} _ {g ^ {- 1}}}$ ${ displaystyle mathrm {Ad} _ {g} [x, y] = [ mathrm {Ad} _ {g} x, mathrm {Ad} _ {g} y]}$
${ displaystyle mathrm {ad} dvojtečka { mathfrak {g}} to mathrm {Der} ({ mathfrak {g}})}$	${ displaystyle mathrm {ad} _ {x} tlustého střeva { mathfrak {g}} do { mathfrak {g}}}$
Homomorfismus lže algebry: ${ displaystyle mathrm {reklama}}$ je lineární ${ displaystyle mathrm {ad} _ {[x, y]} = [ mathrm {ad} _ {x}, mathrm {ad} _ {y}]}$	Derivace algebry lži: ${ displaystyle mathrm {ad} _ {x}}$ je lineární ${ displaystyle mathrm {ad} _ {x} [y, z] = [ mathrm {ad} _ {x} y, z] + [y, mathrm {ad} _ {x} z]}$

The obraz z G pod adjoint reprezentace je označena Ad (G). Li G je připojeno, jádro adjunktní reprezentace se shoduje s jádrem Ψ, což je právě centrum z G. Proto adjunktní reprezentace spojené Lieovy skupiny G je věřící kdyby a jen kdyby G je bez centra. Obecněji, pokud G není připojen, pak jádrem adjointové mapy je centralizátor z složka identity G₀ z G. Podle první věta o izomorfismu my máme

${ displaystyle mathrm {Ad} (G) cong G / Z_ {G} (G_ {0}).}$

Vzhledem k tomu, že konečná trojrozměrná skutečná algebra leží ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$tím, že Lieova třetí věta, existuje propojená Lieova skupina ${ displaystyle operatorname {Int} ({ mathfrak {g}})}$ jehož Lieova algebra je obrazem adjunkční reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (tj., ${ displaystyle operatorname {Lie} ( operatorname {Int} ({ mathfrak {g}})) = operatorname {ad} ({ mathfrak {g}})}$.) Říká se tomu adjunkční skupina z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Teď když ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je Lieova algebra propojené Lieovy skupiny G, pak ${ displaystyle operatorname {Int} ({ mathfrak {g}})}$ je obraz adjunkční reprezentace G: ${ displaystyle operatorname {Int} ({ mathfrak {g}}) = operatorname {Ad} (G)}$.

Kořeny polojednoduché Lieovy skupiny

Li G je polojednoduchý, nenulová závaží adjunktního reprezentačního formuláře a kořenový systém.^[6] (Obecně je třeba před pokračováním složit komplexizaci Lieovy algebry.) Chcete-li zjistit, jak to funguje, zvažte případ G = SL (n, R). Můžeme vzít skupinu diagonálních matic diag (t₁, ..., t_n) jako naše maximální torus T. Konjugace prvkem T posílá

${ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {n1} & a_ {n2} & cdots & a_ {nn} end {bmatrix}} mapsto { begin {bmatrix} a_ {11} & t_ {1} t_ {2} ^ {-1} a_ {12} & cdots & t_ {1} t_ {n} ^ {- 1} a_ {1n} t_ {2} t_ {1} ^ {- 1} a_ {21} & a_ {22 } & cdots & t_ {2} t_ {n} ^ {- 1} a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots t_ {n} t_ {1} ^ {- 1} a_ {n1} & t_ {n} t_ {2} ^ {- 1} a_ {n2} & cdots & a_ {nn} end {bmatrix}}.}$

Tím pádem, T působí triviálně na diagonální část Lieovy algebry G a s vlastními vektory t_it_j⁻¹ na různých off-diagonálních záznamech. Kořeny G jsou váhy diag (t₁, ..., t_n) → t_it_j⁻¹. To odpovídá standardnímu popisu kořenového systému G = SL_n(R) jako sada vektorů formuláře E_i−E_j.

Příklad SL (2, R)

Při výpočtu kořenového systému pro jeden z nejjednodušších případů Lieových skupin se skupina SL (2, R) dvourozměrných matic s determinantem 1 se skládá ze sady matic ve tvaru:

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d konec {bmatrix}}}$

s A, b, C, d skutečné a inzerát − před naším letopočtem = 1.

Maximální kompaktní připojená abelianská podskupina Lie nebo maximální torus T, je dáno podmnožinou všech matic formuláře

${ displaystyle { begin {bmatrix} t_ {1} & 0 0 & t_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} t_ {1} & 0 0 & 1 / t_ {1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} exp ( theta) & 0 0 & exp (- theta) end {bmatrix}}}$

s ${ displaystyle t_ {1} t_ {2} = 1}$. Lieova algebra maximálního torusu je Cartanova subalgebra skládající se z matic

${ displaystyle { begin {bmatrix} theta & 0 0 & - theta end {bmatrix}} = theta { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {bmatrix}} - theta { begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} = theta (e_ {1} -e_ {2}).}$

Pokud spojíme prvek SL (2, R) prvkem maximálního torusu, který získáme

${ displaystyle { begin {bmatrix} t_ {1} & 0 0 & 1 / t_ {1} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} { začátek {bmatrix} 1 / t_ {1} & 0 0 & t_ {1} konec {bmatrix}} = { begin {bmatrix} at_ {1} & bt_ {1} c / t_ {1} & d / t_ {1} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 / t_ {1} & 0 0 & t_ {1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} a & bt_ {1} ^ {2} ct_ {1} ^ {- 2} & d end {bmatrix}}}$

Matice

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 a 0 1 & 0 end {bmatrix}}}$

jsou pak „vlastní vektory“ operace konjugace s vlastními hodnotami ${ displaystyle 1,1, t_ {1} ^ {2}, t_ {1} ^ {- 2}}$. Funkce Λ, která dává ${ displaystyle t_ {1} ^ {2}}$ je multiplikativní charakter nebo homomorfismus z torusu skupiny k podkladovému poli R. Funkce λ poskytující θ je váha Lie Algebry s váhovým prostorem daným rozpětím matic.

Je uspokojivé ukázat multiplikativitu postavy a linearitu váhy. Dále lze dokázat, že rozdíl Λ lze použít k vytvoření váhy. Vzdělávací je také zvážit případ SL (3, R).

Varianty a analogy

Podobu adjunktu lze také definovat pro algebraické skupiny přes jakékoli pole.^{[je zapotřebí objasnění ]}

The společná reprezentace je zastoupení přísad adjunktního vyjádření. Alexandre Kirillov poznamenal, že obíhat libovolného vektoru v co-adjoint reprezentaci je a symplektické potrubí. Podle filozofie v teorie reprezentace známý jako orbitální metoda (viz také Vzorec Kirillovova znaku ), neredukovatelné reprezentace Lieovy skupiny G by měl být nějakým způsobem indexován svými obousměrnými oběžnými drahami. Tento vztah je nejbližší v případě nilpotentní Lie skupiny.

Poznámky

Reference

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Základy diferenciální geometrie, sv. 1 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-15733-5.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3319134666.