Nilpotentní Lie algebra - Nilpotent Lie algebra

Lež skupiny
Klasické skupiny Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n)
Jednoduché Lie skupiny Seznam jednoduchých Lieových skupin Klasický An Bn Cn Dn Výjimečný G2 F4 E6 E7 E8
Další Lie skupiny Kruh Lorentz Poincaré Konformní skupina Difomorfismus Smyčka Euklidovský
Lež algebry Lieova skupina - korespondence algebry Lie Exponenciální mapa Sdružené zastoupení Formulář zabíjení Index Symetrie bodu lži Jednoduchá algebra lži
Poloplná Lieova algebra Dynkinovy ​​diagramy Cartan subalgebra Kořenový systém Weylova skupina Skutečná forma Složitění Split Lie algebra Kompaktní Lieova algebra
Teorie reprezentace Zastoupení skupiny lži Zastoupení algebry lži Teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber Věta o nejvyšší hmotnosti Borel – Weil – Bottova věta
Lež skupiny v fyzika Fyzika částic a teorie reprezentace Zastoupení skupiny Lorentz Zastoupení skupiny Poincaré Galileovské reprezentace skupiny
Vědci Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosář Tabulka Lieových skupin

v matematika, a Lež algebra je nilpotentní Pokud je to spodní centrální série nakonec se stane nulou.

Je to analogie Lieovy algebry a nilpotentní skupina.

Definice

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být Lež algebra. Jeden to říká ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní pokud spodní centrální série končí, tj. pokud ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {n} = 0}$ pro některé n ∈ ℕ.

Výslovně to znamená, že

${ displaystyle [X_ {1}, [X_ {2}, [ cdots [X_ {n}, Y] cdots]] = mathrm {ad} _ {X_ {1}} mathrm {ad} _ { X_ {2}} cdots mathrm {ad} _ {X_ {n}} Y = 0}$

${ displaystyle forall X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n}, Y in { mathfrak {g}}, qquad (1)}$

aby inzerát_X1inzerát_X2 ⋅⋅⋅ reklama_Xn = 0.

Rovnocenné podmínky

Velmi zvláštním důsledkem (1) je to

${ displaystyle [X, [X, [ cdots [X, Y] cdots] = { mathrm {ad} _ {X}} ^ {n} Y v { mathfrak {g}} _ {n} = 0 quad forall X, Y in { mathfrak {g}}. Qquad (2)}$

Tím pádem (inzerát_X)ⁿ = 0 pro všechny ${ displaystyle X v { mathfrak {g}}}$. To znamená, inzerát_X je nilpotentní endomorfismus v obvyklém smyslu pro lineární endomorfismy (spíše než pro Lie algebry). Říkáme takový prvek X v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ad-nilpotent.

Je pozoruhodné, že pokud ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je konečný rozměr, zjevně mnohem slabší podmínka (2) je ve skutečnosti ekvivalentní (1), jak uvádí

Engelova věta: Konečná trojrozměrná Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní právě tehdy, pokud všechny prvky ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ jsou nilpotentní,

což zde neprokážeme.

Trochu jednodušší ekvivalentní podmínka pro nilpotenci ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ : ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní právě tehdy ${ displaystyle mathrm {ad} , { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní (jako Lieova algebra). Chcete-li to vidět, nejprve si všimněte, že (1) to znamená ${ displaystyle mathrm {ad} , { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní, protože expanze (n − 1)složená vnořená závorka se bude skládat z termínů formuláře v (1). Naopak lze psát^[1]

${ displaystyle [[ cdots [X_ {n}, X_ {n-1}], cdots, X_ {2}], X_ {1}] = mathrm {ad} [ cdots [X_ {n}, X_ {n-1}], cdots, X_ {2}] (X_ {1}),}$

a od té doby inzerát je homomorfismus lži algebry,

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {ad} [ cdots [X_ {n}, X_ {n-1}], cdots, X_ {2}] & = [ mathrm {ad} [ cdots [X_ {n}, X_ {n-1}], cdots X_ {3}], mathrm {ad} _ {X_ {2}}] & = ldots = [ cdots [ mathrm {reklama } _ {X_ {n}}, mathrm {ad} _ {X_ {n-1}}], cdots mathrm {ad} _ {X_ {2}}]. End {zarovnáno}}}$

Li ${ displaystyle mathrm {ad} , { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní, poslední výraz je pro dostatečně velký nula n, a tedy první. To ale naznačuje (1), takže ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní.

Konečně-dimenzionální Lieova algebra je nilpotentní právě tehdy, pokud existuje sestupný řetězec ideálů ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {g}} _ {0} supset { mathfrak {g}} _ {1} supset cdots supset { mathfrak {g}} _ { n} = 0}$ takhle ${ displaystyle [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}} _ {i}] podmnožina { mathfrak {g}} _ {i + 1}}$.^[2]

Příklady

Přísně horní trojúhelníkové matice

Li ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (k, mathbb {R})}$ je sada k × k matice s položkami v ℝ, pak subalgebra skládající se z přísně horní trojúhelníkové matice je nilpotentní Lieova algebra.

Heisenbergovy algebry

A Heisenbergova algebra je nilpotentní. Například v dimenzi 3 je komutátor dvou matic

${ displaystyle left [{ begin {bmatrix} 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}, { begin {bmatrix} 0 & a '& b' 0 & 0 & c ' 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} right] = { begin {bmatrix} 0 & 0 & a '' 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$

kde ${ displaystyle a '' = ac '+ a'c}$.

Cartan subalgebry

A Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ a Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {l}}}$ je nilpotentní a samo-normalizující^{[3] strana 80}. Samonormalizující se stav je ekvivalentem normalizace Lieovy algebry. To znamená ${ displaystyle { mathfrak {c}} = N _ { mathfrak {l}} ({ mathfrak {c}}) = {x v { mathfrak {l}}: [x, c] podmnožina { mathfrak {c}} { text {pro}} c v { mathfrak {c}} }}$. To zahrnuje horní trojúhelníkové matice ${ displaystyle { mathfrak {t}} (n)}$ a všechny úhlopříčné matice ${ displaystyle { mathfrak {d}} (n)}$ v ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (n)}$.

Další příklady

Pokud Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ má automorfismus hlavního období bez pevných bodů s výjimkou 0, pak ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní^[4].

Vlastnosti

Nilpotentní Lieovy algebry jsou řešitelné

Každá nilpotentní Lie algebra je řešitelný. To je užitečné při prokazování řešitelnosti a Lež algebra protože v praxi je obvykle snazší dokázat nilpotenci (pokud platí!) než řešitelnost. Obecně platí, že konverzace této vlastnosti je nepravdivá. Například subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (k, mathbb {R})}$ (k ≥ 2) sestávající z horních trojúhelníkových matic, ${ displaystyle { mathfrak {b}} (k, mathbb {R})}$, je řešitelný, ale není nilpotentní.

Subalgebry a obrázky

Pokud Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní, pak vše subalgebry a homomorphic images are nilpotent.

Nilpotence kvocientu centrem

Pokud kvocient algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}} / Z ({ mathfrak {g}})}$, kde ${ displaystyle Z ({ mathfrak {g}})}$ je centrum z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, je nilpotentní, pak také je ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. To znamená, že centrální rozšíření nilpotentní Lieovy algebry o nilpotentní Lieovou algebru je nilpotentní.

Engelova věta

Engelova věta: Konečná trojrozměrná Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je nilpotentní právě tehdy, pokud všechny prvky ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ jsou nilpotentní.

Formulář nulového zabíjení

The Formulář zabíjení nilpotentní Lieovy algebry je 0.

Mít vnější autormofismy

Nilpotentní Lie algebra má vnější automorfismus, tj. automorfismus, který není obrazem Ad.

Odvozené subalgebry řešitelných Lieových algeber

The odvozená subalgebra konečně dimenzionální řešitelné Lieovy algebry nad polem charakteristiky 0 je nilpotentní.

Viz také

• Řešitelná Lieova algebra

Poznámky

Reference

• Fulton, W.; Harris, J. (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97527-6. PAN  1153249.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Humphreys, James E. (1972). Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace. Postgraduální texty z matematiky. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90053-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Knapp, A. W. (2002). Skupiny lži nad rámec úvodu. Pokrok v matematice. 120 (2. vyd.). Boston · Basilej · Berlín: Birkhäuser. ISBN  0-8176-4259-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie částečně simuluje komplexy [Komplexní polojednoduché Lie Algebry], přeložil Jones, G. A., Springer, ISBN  978-3-540-67827-4.