Omezená Lieova algebra - Restricted Lie algebra - Wikipedia

v matematika, a omezená Lie algebra je Lež algebra společně s dalším "str úkon."

Definice

Nechat L být ležovou algebrou nad polem k charakteristické p> 0. A str úkon na L je mapa ${ displaystyle X mapsto X ^ {[p]}}$ uspokojující

• ${ displaystyle mathrm {ad} (X ^ {[p]}) = mathrm {ad} (X) ^ {p}}$ pro všechny ${ displaystyle X v L}$,
• ${ displaystyle (tX) ^ {[p]} = t ^ {p} X ^ {[p]}}$ pro všechny ${ displaystyle t v k, X v L}$,
• ${ displaystyle (X + Y) ^ {[p]} = X ^ {[p]} + Y ^ {[p]} + sum _ {i = 1} ^ {p-1} { frac {s_ {i} (X, Y)} {i}}}$, pro všechny ${ displaystyle X, Y v L}$, kde ${ displaystyle s_ {i} (X, Y)}$ je koeficient ${ displaystyle t ^ {i-1}}$ ve formálním vyjádření ${ displaystyle mathrm {ad} (tX + Y) ^ {p-1} (X)}$.

Pokud je charakteristika k je tedy 0 L je omezená Lieova algebra, kde str operace je mapa identity.

Příklady

Pro jakoukoli asociativní algebru A definované přes pole charakteristik str, operace závorky ${ displaystyle [X, Y]: = XY-YX}$ a str úkon ${ displaystyle X ^ {[p]}: = X ^ {p}}$ udělat A do omezené Lieovy algebry ${ displaystyle mathrm {Lie} (A)}$.

Nechat G být algebraickou skupinou nad polem k charakteristiky str, a ${ displaystyle mathrm {Lie} (G)}$ být Zariski tečný prostor na prvku identity G. Každý prvek ${ displaystyle mathrm {Lie} (G)}$ jednoznačně definuje levé invariantní vektorové pole Ga komutátor vektorových polí definuje strukturu Lieovy algebry ${ displaystyle mathrm {Lie} (G)}$ stejně jako v Lež skupina případ. Li p> 0, Mapa Frobenius ${ displaystyle x mapsto x ^ {p}}$ definuje a str provoz zapnut ${ displaystyle mathrm {Lie} (G)}$.

Omezená univerzální obalová algebra

Funktor ${ displaystyle A mapsto mathrm {Lie} (A)}$ má vlevo adjoint ${ displaystyle L mapsto U ^ {[p]} (L)}$ volal omezená univerzální obalová algebra. Chcete-li to postavit, dovolte ${ displaystyle U (L)}$ být univerzální obalová algebra z L zapomenout na str úkon. Pronájem Já být oboustranný ideál generovaný prvky formuláře ${ displaystyle x ^ {p} -x ^ {[p]}}$, jsme si stanovili ${ displaystyle U ^ {[p]} (L) = U (L) / I}$. Splňuje formu Věta PBW.

Viz také

Omezené Lieovy algebry se používají v Jacobson Galoisova korespondence pro čistě neoddělitelná rozšíření polí exponentu 1.

Reference

• Borel, Armand (1991), Lineární algebraické skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 126 (2. vyd.), Springer-Verlag, Zbl  0726.20030.
• Block, Richard E .; Wilson, Robert Lee (1988), „Klasifikace omezených jednoduchých Lieových algeber“, Journal of Algebra, 114 (1): 115–259, doi:10.1016/0021-8693(88)90216-5, ISSN  0021-8693, PAN  0931904.
• Montgomery, Susan (1993), Hopfovy algebry a jejich akce na prstencích. Rozšířená verze deseti přednášek na konferenci CBMS o Hopfových algebrách a jejich akcích na kruzích, která se konala na DePaul University v Chicagu, USA, 10. – 14. Srpna 1992, Regionální konferenční seriál z matematiky, 82„Providence, RI: American Mathematical Society, str. 23, ISBN  978-0-8218-0738-5, Zbl  0793.16029.