Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec - Baker–Campbell–Hausdorff formula

v matematika, Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec je řešením pro ${ displaystyle Z}$ k rovnici

${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}$

možná nekomutativní X a Y v Lež algebra a Lež skupina. Existují různé způsoby psaní vzorce, ale všechny nakonec přinášejí výraz pro ${ displaystyle Z}$ v Lie algebraických termínech, tj. jako formální řada (ne nutně konvergentní) v ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ a jejich iterované komutátory. Prvních několik termínů této série je:

${ displaystyle Z = X + Y + { frac {1} {2}} [X, Y] + { frac {1} {12}} [X, [X, Y]] - { frac {1} {12}} [Y, [X, Y]] + cdots ,,}$

kde "${ displaystyle cdots}$"označuje výrazy zahrnující vyšší komutátory ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$. Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou dostatečně malé prvky Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ skupiny lži ${ displaystyle G}$, řada je konvergentní. Mezitím každý prvek ${ displaystyle g}$ dostatečně blízko identitě v ${ displaystyle G}$ lze vyjádřit jako ${ displaystyle g = e ^ {X}}$ pro malé ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. To tedy můžeme říci blízko identity množení skupin v ${ displaystyle G}$- psáno jako ${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}$—Může být vyjádřeno čistě Lie algebraicky. Vzorec Baker – Campbell – Hausdorff lze použít k poměrně jednoduchému důkazu hlubokých výsledků v Lieova skupina - korespondence algebry Lie.

Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou dostatečně malé ${ displaystyle n krát n}$ tedy matice ${ displaystyle Z}$ lze vypočítat jako logaritmus ${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y}}$, kde lze exponenciály a logaritmus vypočítat jako výkonové řady. Smyslem vzorce Baker – Campbell – Hausdorff je tedy velmi nenápadné tvrzení ${ displaystyle Z: = log (e ^ {X} e ^ {Y})}$ lze vyjádřit jako řadu v opakovaných komutátorech ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$.

Moderní expozice vzorce lze najít mimo jiné v knihách Rossmanna^[1] a Hall.^[2]

Dějiny

Vzorec je pojmenován po Henry Frederick Baker, John Edward Campbell, a Felix Hausdorff který uvedl jeho kvalitativní formu, tj. pouze to komutátory a komutátoři komutátorů, ad infinitum, jsou potřební k vyjádření řešení. Dřívější prohlášení o formuláři bylo poznamenáno Friedrich Schur v roce 1890 ^[3] kde je dána konvergentní výkonová řada s termíny rekurzivně definovanými.^[4] Tato kvalitativní forma je to, co se používá v nejdůležitějších aplikacích, jako jsou relativně dostupné důkazy o Lež korespondence a v kvantová teorie pole. Po Schurovi to zaznamenal Campbell v tisku^[5] (1897); vypracoval Henri Poincaré^[6] (1899) a Baker (1902);^[7] a systematicky geometricky propojeny s Jacobi identita podle Hausdorffa (1906).^[8] První skutečný explicitní vzorec se všemi číselnými koeficienty je způsoben Eugene Dynkin (1947).^[9] Historie vzorce je podrobně popsána v článku Achilla a Bonfiglioliho^[10] a v knize Bonfiglioli a Fulci.^[11]

Explicitní formuláře

Pro mnoho účelů je nutné jen vědět, že rozšíření pro ${ displaystyle Z}$ z hlediska iterovaných komutátorů ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ existuje; přesné koeficienty jsou často irelevantní. (Viz například diskuse o vztahu mezi Leží skupina a Lie algebra homomorfismy v oddíle 5.2 Hallovy knihy,^[2] kde přesné koeficienty nehrají v argumentu žádnou roli.) Pozoruhodně přímý důkaz o existenci podal Martin Eichler,^[12] viz také níže část „Výsledky existence“.

V ostatních případech můžete potřebovat podrobné informace o ${ displaystyle Z}$ a je proto žádoucí počítat ${ displaystyle Z}$ co nejzřetelněji. Četné vzorce existují; v této části popíšeme dva z hlavních (Dynkinův vzorec a integrální Poincarého vzorec).

Dynkinův vzorec

Nechat G být Lieovou skupinou s Lieovou algebrou ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Nechat

${ displaystyle exp: { mathfrak {g}} rightarrow G}$

být exponenciální mapa Následující obecný kombinatorický vzorec představil Eugene Dynkin (1947),^[13][14]

${ displaystyle log ( exp X exp Y) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} součet _ { begin {smallmatrix} r_ {1} + s_ {1}> 0 vdots r_ {n} + s_ {n}> 0 end {smallmatrix}} { frac {[X ^ {r_ {1 }} Y ^ {s_ {1}} X ^ {r_ {2}} Y ^ {s_ {2}} dotsm X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}]}} {( součet _ {j = 1} ^ {n} (r_ {j} + s_ {j})) cdot prod _ {i = 1} ^ {n} r_ {i}! s_ {i}!}},}$

kde se součet provádí přes všechny nezáporné hodnoty ${ displaystyle s_ {i}}$ a ${ displaystyle r_ {i}}$, a byla použita následující notace:

${ displaystyle [X ^ {r_ {1}} Y ^ {s_ {1}} dotsm X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}] = [ spodní ortéza {X, [X, dotsm [X} _ {r_ {1}}, [ underbrace {Y, [Y, dotsm [Y} _ {s_ {1}}, , dotsm , [ underbrace {X, [X, dotsm [X} _ {r_ {n}}, [ underbrace {Y, [Y, dotsm Y} _ {s_ {n}}]] dotsm]].}$

Série není obecně konvergentní; je konvergentní (a uvedený vzorec je platný) pro všechny dostatečně malé ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$.Od té doby [A, A] = 0, termín je nula, pokud ${ displaystyle s_ {n}> 1}$ nebo když ${ displaystyle s_ {n} = 0}$ a ${ displaystyle r_ {n}> 1}$.^[15]

Prvních pár výrazů je dobře známých, přičemž všechny výrazy vyššího řádu zahrnují [X,Y] a komutátor jejich vnoření (tedy v Lež algebra ):

Výše uvedené seznamy všech summandů řádu 5 nebo nižších (tj. Těch, které obsahují 5 nebo méně X a Y). The X ↔ Y (anti -) / symetrie ve střídavých pořadích expanze, vyplývá z Z(Y, X) = −Z(−X,−Y). Úplný základní důkaz tohoto vzorce lze nalézt tady.

Integrální vzorec

Existuje mnoho dalších výrazů pro ${ displaystyle Z}$, z nichž mnohé se používají ve fyzikální literatuře.^[16][17] Populární integrální vzorec je^[18][19]

${ displaystyle log (e ^ {X} e ^ {Y}) = X + left ( int _ {0} ^ {1} psi left (e ^ { operatorname {ad} _ {X}} ~ e ^ {t , { text {ad}} _ {Y}} right) , dt right) , Y,}$

zahrnující generující funkce pro čísla Bernoulli,

${ displaystyle psi (x) ~ { stackrel { text {def}} {=}} ~ { frac {x log x} {x-1}} = 1- součet _ {n = 1} ^ { infty} {(1-x) ^ {n} nad n (n + 1)} ~,}$

využívají Poincaré a Hausdorff.^{[pozn. 1]}

Matice Lie skupinové ilustrace

Pro maticovou Lieovu skupinu ${ displaystyle G podmnožina { mbox {GL}} (n, mathbb {R})}$ Lieova algebra je tečný prostor identity Jáa komutátor je jednoduše [X, Y] = XY − YX; exponenciální mapa je standardní exponenciální mapa matic,

${ displaystyle exp X = e ^ {X} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {X ^ {n}} {n!}}.}$

Když jeden řeší pro Z v

${ displaystyle e ^ {Z} = e ^ {X} e ^ {Y},}$

pomocí rozšíření série pro exp a log získá se jednodušší vzorec:

${ displaystyle Z = sum _ {n> 0} { frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} sum _ { begin {smallmatrix} r_ {i} + s_ {i} > 0 , 1 leq i leq n end {smallmatrix}} { frac {X ^ {r_ {1}} Y ^ {s_ {1}} cdots X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}} {r_ {1}! s_ {1}! cdots r_ {n}! s_ {n}!}}, quad || X || + || Y || < log 2, || Z || < log 2.}$^{[pozn. 2]}

Podmínky prvního, druhého, třetího a čtvrtého řádu jsou:

• ${ displaystyle z_ {1} = X + Y}$
• ${ displaystyle z_ {2} = { frac {1} {2}} (XY-YX)}$
• ${ displaystyle z_ {3} = { frac {1} {12}} (X ^ {2} Y + XY ^ {2} -2XYX + Y ^ {2} X + YX ^ {2} -2YXY)}$
• ${ displaystyle z_ {4} = { frac {1} {24}} (X ^ {2} Y ^ {2} -2XYXY-Y ^ {2} X ^ {2} + 2YXYX).}$

Vzorce pro různé ${ displaystyle z_ {j}}$je ne vzorec Baker – Campbell – Hausdorff. Spíše vzorec Baker – Campbell – Hausdorff je jedním z různých výrazů pro ${ displaystyle z_ {j}}$je z hlediska opakovaných komutátorů ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$. Jde o to, že zdaleka není zřejmé, že je možné vyjádřit každý ${ displaystyle z_ {j}}$ z hlediska komutátorů. (Čtenář je vyzván například k ověření přímým výpočtem, že ${ displaystyle z_ {3}}$ je vyjádřitelný jako lineární kombinace dvou netriviálních komutátorů třetího řádu ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$, jmenovitě ${ displaystyle [X, [X, Y]]}$ a ${ displaystyle [Y, [X, Y]]}$.) Obecný výsledek, že každý ${ displaystyle z_ {j}}$ je vyjádřitelný, protože kombinace komutátorů byla Eichlerem ukázána elegantním a rekurzivním způsobem.^[12]

Důsledkem vzorce Baker – Campbell – Hausdorff je následující výsledek o stopa:

${ displaystyle operatorname {tr} log (e ^ {X} e ^ {Y}) = operatorname {tr} X + operatorname {tr} Y.}$

To znamená, protože každý ${ displaystyle z_ {j}}$ s ${ displaystyle j geq 2}$ je vyjádřitelný jako lineární kombinace komutátorů, stopa každého takového členu je nulová.

Otázky konvergence

Předpokládat ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou následující matice v Lieově algebře ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2; mathbb {C})}$ (prostor ${ displaystyle 2 krát 2}$ matice s nulovou stopou):

${ displaystyle X = { begin {pmatrix} 0 & - pi pi & 0 end {pmatrix}}; quad Y = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}}$.

Pak

${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & -1 0 & -1 end {pmatrix}}.}$

To pak není těžké ukázat^[20] že neexistuje matice ${ displaystyle Z}$ v ${ displaystyle operatorname {sl} (2; mathbb {C})}$ s ${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}$. (Podobné příklady lze nalézt v článku Wei.^[21])

Tento jednoduchý příklad ukazuje, že různé verze vzorce Baker – Campbell – Hausdorff, které dávají výrazy pro Z pokud jde o iterované Lie-závorky X a Y, popište formální výkonové řady, jejichž konvergence není zaručena. Pokud tedy někdo chce Z být skutečným prvkem Lieovy algebry obsahující X a Y (na rozdíl od formální mocenské řady) je třeba to předpokládat X a Y jsou malé. Závěr, že operace produktu na Lieově skupině je určena Lieovou algebrou, je tedy pouze lokálním tvrzením. Výsledek skutečně nemůže být globální, protože globálně lze mít neizomorfní Lieovy skupiny s izomorfními Lieovými algebrami.

Konkrétně, pokud pracujete s maticí Lie Algebra a ${ displaystyle |. |}$ je dané norma submultiplikativní matice, konvergence je zaručena^[14][22] -li

${ displaystyle | X | + | Y | <{ frac { ln 2} {2}}.}$

Speciální případy

Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ dojíždět, to je ${ displaystyle [X, Y] = 0}$, receptura Baker – Campbell – Hausdorff se redukuje na ${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y}}$.

Další případ to předpokládá ${ displaystyle [X, Y]}$ dojíždí s oběma ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$, jako pro nilpotentní Skupina Heisenberg. Potom se vzorec redukuje na první tři termíny.

Teorém:^[23] Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ dojíždět se svým komutátorem, ${ displaystyle [X, [X, Y]] = [Y, [X, Y]] = 0}$, pak ${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y + { frac {1} {2}} [X, Y]}}$.

Toto je zvrhlý případ, který se běžně používá v kvantová mechanika, jak je znázorněno níže. V tomto případě neexistují žádná omezení malosti ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$. Tento výsledek je za "umocněnými komutačními vztahy", které vstupují do Stone – von Neumannova věta. Jednoduchý důkaz této identity je uveden níže.

Další užitečná forma obecného vzorce zdůrazňuje expanzi z hlediska Y a používá adjoint mapovací notace ${ displaystyle ad_ {X} (Y) = [X, Y]}$:

${ displaystyle log ( exp X exp Y) = X + { frac { operatorname {ad} _ {X}} {1-e ^ {- operatorname {ad} _ {X}}}} ~ Y + O (Y ^ {2}) = X + operatorname {ad} _ {X / 2} (1+ coth operatorname {ad} _ {X / 2}) ~ Y + O (Y ^ {2}) ,}$

což je patrné z integrálního vzorce výše. (Koeficienty vnořených komutátorů s jedinou ${ displaystyle Y}$ jsou normalizovaná Bernoulliho čísla.)

Nyní předpokládejme, že komutátor je násobkem ${ displaystyle Y}$, aby ${ displaystyle [X, Y] = sY}$. Pak budou všechny iterované komutátory násobky ${ displaystyle Y}$, a žádné kvadratické nebo vyšší výrazy v ${ displaystyle Y}$ objevit. To znamená, že ${ displaystyle O (Y ^ {2})}$ výše uvedený výraz zmizí a získáme:

Teorém:^[24] Li ${ displaystyle [X, Y] = sY}$, kde ${ displaystyle s}$ je komplexní číslo s ${ displaystyle s neq 2 pi in}$ pro všechna celá čísla ${ displaystyle n}$, pak máme

${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = exp left (X + { frac {s} {1-e ^ {- s}}} Y right).}$

Opět platí, že v tomto případě neexistují žádná omezení malosti ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$. Omezení na ${ displaystyle s}$ zaručuje, že výraz na pravé straně má smysl. (Když ${ displaystyle s = 0}$ můžeme interpretovat ${ displaystyle lim nolimits _ {s až 0} s / (1-e ^ {- s}) = 1}$.) Získáváme také jednoduchou „opletení identity“:

${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ { exp (y) Y} e ^ {X} ~,}$

které lze napsat jako adjunktní dilataci:

${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} e ^ {- X} = e ^ { exp (y) ~ Y} ~.}$

Existující výsledky

Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou matice, lze vypočítat ${ displaystyle Z: = log (e ^ {X} e ^ {Y})}$ použití výkonové řady pro exponenciální a logaritmus, s konvergencí řady, pokud ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou dostatečně malé. Je přirozené shromáždit všechny termíny, kde je celkový stupeň ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ rovná se pevné číslo ${ displaystyle k}$, dává výraz ${ displaystyle z_ {k}}$. (Viz vzorce pro první několik v části „Matrix Lie group group illustration“) ${ displaystyle z_ {k}}$Je pozoruhodně přímý a výstižný rekurzivní důkaz, že každý ${ displaystyle z_ {k}}$ je vyjádřitelný opakovanými komutátory ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ byl dán Martin Eichler.^[12]

Alternativně můžeme uvést argument existence následovně. Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec znamená, že pokud X a Y jsou v některých Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}},}$ definované přes jakékoli pole charakteristika 0 jako ${ displaystyle mathbb {R}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {C}}$, pak

${ displaystyle Z = log ( exp (X) exp (Y)),}$

lze formálně zapsat jako nekonečný součet prvků ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. [Tato nekonečná řada se může nebo nemusí sbíhat, takže nemusí definovat skutečný prvek Z v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.] U mnoha aplikací je dostatečné pouhé zajištění existence tohoto formálního výrazu a není nutné výslovné vyjádření pro tento nekonečný součet. To je například případ Lorentzian^[25] konstrukce reprezentace Lieovy skupiny z reprezentace Lieovy algebry. Existenci lze vidět následovně.

Zvažujeme prsten ${ displaystyle S = mathbb {R} [[X, Y]]}$ze všech nedojíždějící formální mocenské řady se skutečnými koeficienty v proměnných bez dojíždění X a Y. Tady je kruhový homomorfismus z S do tenzorový produkt z S s S přes R,

${ displaystyle Delta dvojtečka S až S mnohokrát S}$,

volal koprodukt, takový, že

${ displaystyle Delta (X) = X vícekrát 1 + 1 vícekrát}$ a${ displaystyle Delta (Y) = Y otimes 1 + 1 ot Y}$.

(Definice Δ je rozšířena na další prvky S vyžadováním R-linearita, multiplikativita a nekonečná aditivita.)

Poté lze ověřit následující vlastnosti:

• Map exp, definovaný jeho standardní Taylorovou řadou, je bijekce mezi množinou prvků S se stálým členem 0 a množinou prvků S s konstantním členem 1; inverzní k exp je log
• ${ displaystyle r = exp (s)}$ je Grouplike (to znamená ${ displaystyle Delta (r) = r mnohokrát r}$) kdyby a jen kdyby s je primitivní (to znamená ${ displaystyle Delta (s) = s vícekrát 1 + 1 vícekrát}$).
• Grouplike prvky tvoří a skupina pod násobením.
• The primitivní prvky jsou přesně formální nekonečné součty prvků Lieovy algebry generováno uživatelem X a Y, kde Lieova závorka je dána komutátor ${ displaystyle [U, V] = UV-VU}$. (Friedrichs věta^[16][13])

Na existenci vzorce Campbell – Baker – Hausdorff lze nyní pohlížet následovně:^[13]Elementy X a Y jsou primitivní, takže ${ displaystyle exp (X)}$ a ${ displaystyle exp (Y)}$ jsou grouplike; takže jejich produkt ${ displaystyle exp (X) exp (Y)}$ je také grouplike; takže jeho logaritmus ${ displaystyle log ( exp (X) exp (Y))}$ je primitivní; a proto může být zapsán jako nekonečný součet prvků Lieovy algebry generovaných X a Y.

The univerzální obalová algebra z zdarma Lie algebra generováno uživatelem X a Y je izomorfní s algebrou všech polynomy bez dojíždění v X a Y. Stejně jako všechny univerzální obklopující algebry má přirozenou strukturu a Hopfova algebra, s koproduktem Δ. Prsten S použité výše je jen doplněním této Hopfovy algebry.

Zassenhausův vzorec

Související kombinatorická expanze, která je užitečná v dual^[16] aplikace je

${ displaystyle e ^ {t (X + Y)} = e ^ {tX} ~ e ^ {tY} ~ e ^ {- { frac {t ^ {2}} {2}} [X, Y]} ~ e ^ {{ frac {t ^ {3}} {6}} (2 [Y, [X, Y]] + [X, [X, Y]])} ~ e ^ {{ frac {- t ^ {4}} {24}} ([[[X, Y], X], X] +3 [[[X, Y], X], Y] +3 [[[X, Y], Y ], Y])} cdots}$

kde exponenty vyššího řádu v t jsou rovněž vnořené komutátory, tj. homogenní Lieovy polynomy.^[26]Tito exponenti, C_n v exp (-tX) exp (t(X + Y)) = Π_n exp (tⁿ C_n), rekurzivně následujte aplikací výše uvedené expanze BCH.

Důsledkem toho je Rozklad Suzuki – Trotter následuje.

Důležité lemma a jeho aplikace na speciální případ vzorce Baker – Campbell – Hausdorff

Identita

Nechat G být maticovou Lieovou skupinou a G jeho odpovídající Lieova algebra. Nechat inzerát_X být lineárním operátorem G definován inzerát_X Y = [X,Y] = XY − YX pro některé pevné X ∈ G. (The adjungovaný endomorfismus výše.) Označte s Inzerát_A pro pevné A ∈ G lineární transformace G dána Inzerát_AY = AYA⁻¹.

Používá se standardní kombinatorické lemma^[18] při výrobě výše uvedených explicitních expanzí je dáno^[27]

${ displaystyle operatorname {Ad} _ {e ^ {X}} = e ^ { operatorname {ad} _ {X}},}$

tak výslovně,

${ displaystyle operatorname {Ad} _ {e ^ {X}} Y = e ^ {X} Ye ^ {- X} = e ^ { operatorname {ad} _ {X}} Y = Y + vlevo [X , Y right] + { frac {1} {2!}} [X, [X, Y]] + { frac {1} {3!}} [X, [X, [X, Y]] ] + cdots.}$

Tento vzorec lze prokázat hodnocením derivátu s ohledem na s z F (s)Y ≡ E^sX Y E^−sX, řešení výsledné diferenciální rovnice a vyhodnocení na s = 1,

${ displaystyle { frac {d} {ds}} f (s) Y = { frac {d} {ds}} vlevo (e ^ {sX} Ye ^ {- sX} vpravo) = Xe ^ { sX} Ye ^ {- sX} -e ^ {sX} Ye ^ {- sX} X = operatorname {ad} _ {X} (e ^ {sX} Ye ^ {- sX})}$

nebo

${ displaystyle f '(s) = operatorname {ad} _ {X} f (s), qquad f (0) = 1 qquad Longrightarrow qquad f (s) = e ^ {s operatorname {reklama } _{X}}.}$^[28]

Aplikace identity

Pro [X, Y] centrální, tj. dojíždění s oběma X a Y,

${ displaystyle e ^ {sX} Ye ^ {- sX} = Y + s [X, Y] ~.}$

V důsledku toho pro g (y) ≡ e^sX E^sY, z toho vyplývá, že

${ displaystyle { frac {dg} {ds}} = { Bigl (} X + e ^ {sX} Ye ^ {- sX} { Bigr)} g (s) = (X + Y + s [X , Y]) ~ g (s) ~,}$

jehož řešení je

${ displaystyle g (s) = e ^ {s (X + Y) + { frac {s ^ {2}} {2}} [X, Y]} ~.}$

Brát ${ displaystyle s = 1}$ uvádí jeden ze speciálních případů výše popsaného vzorce Baker-Campbell-Hausdorff:

${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y + { frac {1} {2}} [X, Y]} ~.}$

Obecněji pro necentrální [X, Y] , následující pletací identita dále snadno následuje,

${ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {(Y + left [X, Y right] + { frac {1} {2!}} [X, [X, Y]] + { frac {1} {3!}} [X, [X, [X, Y]]] + cdots)} ~ e ^ {X}.}$

Infinitezimální případ

Obzvláště užitečnou variantou výše uvedeného je nekonečně malá forma. Toto se běžně píše jako

${ displaystyle e ^ {- X} de ^ {X} = dX - { frac {1} {2!}} left [X, dX right] + { frac {1} {3!}} [ X, [X, dX]] - { frac {1} {4!}} [X, [X, [X, dX]]] + cdots}$

Tato variace se běžně používá k zápisu souřadnic a vielbeins jako odvolání metriky na Lieově skupině. Například psaní ${ displaystyle X = X ^ {i} e_ {i}}$ pro některé funkce ${ displaystyle X ^ {i}}$ a základ ${ displaystyle e_ {i}}$ pro Lieovu algebru to člověk snadno spočítá

${ displaystyle e ^ {- X} de ^ {X} = dX ^ {i} e_ {i} - { frac {1} {2!}} X ^ {i} dX ^ {j} {f_ {ij }} ^ {k} e_ {k} + { frac {1} {3!}} X ^ {i} X ^ {j} dX ^ {k} {f_ {jk}} ^ {l} {f_ { il}} ^ {m} e_ {m} - cdots}$

pro ${ displaystyle [e_ {i}, e_ {j}] = {f_ {ij}} ^ {k} e_ {k}}$ the strukturní konstanty lži algebry. Seriál lze psát kompaktněji jako

${ displaystyle e ^ {- X} de ^ {X} = e_ {i} {W ^ {i}} _ {j} dX ^ {j}}$

s nekonečnou sérií

${ displaystyle W = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} M ^ {n}} {(n + 1)!}} = (tj. ^ { -M}) M ^ {- 1}.}$

Tady, ${ displaystyle M}$ je matice, jejíž maticové prvky jsou ${ displaystyle {M_ {j}} ^ {k} = X ^ {i} {f_ {ij}} ^ {k}}$. Užitečnost tohoto výrazu vychází ze skutečnosti, že matice ${ displaystyle W}$ je vielbein. Tedy vzhledem k nějaké mapě ${ displaystyle N až G}$ z nějakého potrubí ${ displaystyle N}$ do nějakého potrubí ${ displaystyle G}$, metrický tenzor na potrubí ${ displaystyle N}$ lze zapsat jako pullback metrického tenzoru ${ displaystyle B_ {mn}}$ ve skupině Lie ${ displaystyle G}$:

${ displaystyle g_ {ij} = {W_ {i}} ^ {m} {W_ {j}} ^ {n} B_ {mn}}$

Metrický tenzor ${ displaystyle B_ {mn}}$ ve skupině Lie je Cartanova metrika, aka Formulář zabíjení. Pro ${ displaystyle N}$ a (pseudo-)Riemannovo potrubí, metrika je (pseudo-)Riemannova metrika.

Aplikace v kvantové mechanice

Zvláštní případ vzorce Baker – Campbell – Hausdorff je užitečný kvantová mechanika a hlavně kvantová optika, kde X a Y jsou Hilbertův prostor operátory generující Heisenberg Lie algebra. Konkrétně operátory polohy a hybnosti v kvantové mechanice, obvykle označované ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle P}$, uspokojit kanonickou komutační relaci:

${ displaystyle [X, P] = i hbar I}$

kde ${ displaystyle I}$ je operátor identity. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle P}$ dojíždět se svým komutátorem. Pokud tedy formálně použil speciální případ vzorce Baker – Campbell – Hausdorff (i když ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle P}$ jsou neomezené operátory a ne matice), dospěli bychom k závěru, že

${ displaystyle e ^ {iaX} e ^ {ibP} = e ^ {i (aX + bP - { frac {ab hbar} {2}})}}}$

Tento "umocněný komutační vztah" skutečně platí a tvoří základ Stone – von Neumannova věta.

Související aplikací je operátory zničení a vytvoření, A a A^†. Jejich komutátor [A^†,A]= −Já je centrální, to znamená, že dojíždí s oběma A a A^†. Jak je uvedeno výše, expanze se poté zhroutí do polotriviální degenerované formy:

${ displaystyle e ^ {v { hat {a}} ^ { dagger} -v ^ {*} { hat {a}}} = e ^ {v { hat {a}} ^ { dagger} } e ^ {- v ^ {*} { hat {a}}} e ^ {- | v | ^ {2} / 2},}$

kde proti je jen komplexní číslo.

Tento příklad ilustruje rozlišení operátor posunutí, exp (vâ^†−proti^*A), na exponenciály zničení a vytvoření operátorů a skalárů.^[29]

Tento zdegenerovaný Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec poté zobrazí produkt dvou operátorů posunutí jako další operátor posunutí (až do fázového faktoru), přičemž výsledný posun se rovná součtu těchto dvou posunutí,

${ displaystyle e ^ {v { hat {a}} ^ { dagger} -v ^ {*} { hat {a}}} e ^ {u { hat {a}} ^ { dagger} - u ^ {*} { hat {a}}} = e ^ {(v + u) { hat {a}} ^ { dagger} - (v ^ {*} + u ^ {*}) { klobouk {a}}} e ^ {(vu ^ {*} - uv ^ {*}) / 2},}$

od Skupina Heisenberg poskytují reprezentaci is nilpotentní. Degenerovaný vzorec Baker – Campbell – Hausdorff se často používá v kvantová teorie pole také.^[30]

Viz také

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Achilles, R. a Bonfiglioli, A. (2012). „Rané důkazy o teorému Campbella, Bakera, Hausdorffa a Dynkina“. Archiv pro dějiny exaktních věd, 66(3), 295-358. doi:10.1007 / s00407-012-0095-8
• Yu.A. Bakhturin (2001) [1994], „Campbell – Hausdorffův vzorec“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Bonfiglioli, A., Fulci, R. (2012): Témata v nekomutativní algebře: Věta Campbella, Bakera, Hausdorffa a Dynkina. Springer
• L. Corwin & F.P Greenleaf, Zastoupení nilpotentních Lieových skupin a jejich aplikací, Část 1: Základní teorie a příklady, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN  0-521-36034-X.
• Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Kvantování pole, Springer Publishing, ISBN  978-3-540-59179-5
• Hall, Brian C. (2015), Ležové skupiny, Lie Algebry a reprezentace Základní úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3-319-13466-6
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups, Oxfordské postgraduální texty z matematiky, Oxford Science Publications, ISBN  978-0-19-859683-7
• Serre, Jean-Pierre (1965). Lie algebry a Lieovy skupiny. Benjamin.
• Schmid, Wilfried (1982). „Poincaré a Lie skupiny“ (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 6: 175−186. doi:10.1090 / s0273-0979-1982-14972-2.
• Shlomo Sternberg (2004) Lie AlgebryKnihy Orange Grove, ISBN  978-1616100520 zdarma online
• Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lie Groups in Physics", online přednášky.

externí odkazy

• C.K. Zachos, Poznámky k postýlkám o expanzích CBH doi:10.13140/2.1.3090.2409
• Stránka MathWorld