Zdarma Lie algebra - Free Lie algebra
v matematika, a zdarma Lie algebra přes pole K. je Lež algebra generované a soubor X, bez jakýchkoli uložených vztahů kromě definujících vztahů střídání K.-bilinearita a Jacobi identita.
Definice
Definice volné Lieovy algebry generované množinou X je následující:
- Nechat X být sadou a A morfismus sad (funkce ) z X do lže algebry L. Lieova algebra L je nazýván zdarma na X -li je univerzální morfismus; to znamená, že pro jakoukoli Lieovu algebru A s morfismem množin , existuje jedinečný morfismus Lie Algebry takhle .
Vzhledem k sadě X, lze ukázat, že existuje jedinečná bezplatná Lieova algebra generováno uživatelem X.
V jazyce teorie kategorií, funktor odeslání sady X do Lieovy algebry generované X je volný funktor z kategorie sad do kategorie Lieových algeber. To znamená, že je vlevo adjoint do zapomnětlivý funktor.
Volná algebra lži na množině X je přirozeně odstupňované. Součástí volné algebry Lie je 0 stupňovaná složka volný vektorový prostor na tom setu.
Lze alternativně definovat volnou Lieovu algebru na a vektorový prostor PROTI jako nalevo přidružený k zapomnětlivému funktoru z Lieových algeber nad polem K. do vektorových prostorů nad polem K. - zapomenutí struktury Lieovy algebry, ale zapamatování struktury vektorového prostoru.
Univerzální obalová algebra
The univerzální obalová algebra volné Lie algebry na množině X je bezplatná asociativní algebra generováno uživatelem X. Podle Poincaré – Birkhoff – Wittova věta je to „stejná velikost“ jako symetrická algebra volné lže algebry (což znamená, že pokud jsou obě strany odstupňovány podle prvků X stupně 1 pak jsou izomorfní jako odstupňované vektorové prostory). To lze použít k popisu rozměru útvaru volné Lieovy algebry libovolného daného stupně.
Ernst Witt ukázal, že počet základní komutátory stupně k ve volné Lie algebře na m-prvková sada je dána polynomial náhrdelníku:
kde je Möbiova funkce.
Odstupňovaný dvojník univerzální obklopující algebry volné lže algebry na konečné množině je zamíchat algebru. Toto v podstatě následuje, protože univerzální obklopující algebry mají strukturu a Hopfova algebra a zamíchat produkt popisuje akci komultiplikace v této algebře. Vidět tenzorová algebra pro podrobnou expozici vzájemného vztahu mezi produktem shuffle a comultiplication.
Hala sady
Výslovný základ volné lže algebry lze uvést ve smyslu a Hall set, což je zvláštní druh podmnožiny uvnitř zdarma magma na X. Prvky volného magmatu jsou binární stromy s listy označenými prvky X. Hallové sady byly představeny Marshall Hall (1950 ) na základě práce Philip Hall ve skupinách. Následně Wilhelm Magnus ukázal, že vznikají jako klasifikovaná Lieova algebra spojené s filtrací na a volná skupina dané spodní centrální série. Tato korespondence byla motivována komutátor identity v teorie skupin kvůli Philipu Hallovi a Wittovi.
Lyndonský základ
The Lyndonova slova jsou zvláštním případem Hall slova, a tak zejména existuje základ volné lže algebry odpovídající lyndonským slovům. Tomu se říká Lyndonský základ, pojmenoval podle Roger Lyndon. (Toto se také nazývá Chen – Fox – Lyndonův základ nebo Lyndon – Shirshovův základ a je v zásadě stejný jako Širšovův základ.)Tady je bijekce γ od lyndonských slov v uspořádané abecedě k základu volné Lieovy algebry v této abecedě definované takto:
- Pokud slovo w má tedy délku 1 (považován za generátor volné Lieovy algebry).
- Li w má délku alespoň 2, pak napište pro Lyndonova slova u, proti s proti co nejdéle („standardní faktorizace“[1]). Pak .
Širshov – Wittova věta
Anatoly Širšov (1953 ) a Witt (1956 ) ukázal, že jakýkoli Lež subalgebra volné lže algebry je sama bezplatná lže algebra.
Aplikace
Serreova věta o polojednodušé Lie algebře používá bezplatnou Lieovu algebru k sestavení polojednoduché algebry z generátorů a vztahů.
The Milnorovy invarianty a skupina odkazů souvisí s volnou ležovou algebrou na složkách odkaz, jak je uvedeno v tomto článku.
Viz také Lie operad za použití volné lže algebry při stavbě operády.
Viz také
Reference
- ^ Berstel, Jean; Perrin, Dominique (2007), „Počátky kombinatoriky slov“ (PDF), European Journal of Combinatorics, 28 (3): 996–1022, doi:10.1016 / j.ejc.2005.07.019, PAN 2300777
- Bakhturin, Yu.A. (2001) [1994], „Free Lie Algebra Over a Ring“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Bourbaki, Nicolasi (1989). „Kapitola II: Algebry lži zdarma“. Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 0-387-50218-1.
- Chen, Kuo-Tsai; Fox, Ralph H.; Lyndon, Roger C. (1958), "Volný diferenciální počet. IV. Kvocientové skupiny dolní centrální řady", Annals of Mathematics, Druhá série, 68 (1): 81–95, doi:10.2307/1970044, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970044, PAN 0102539
- Hall, Marshalle (1950), „Základ pro volné lži a vyšší komutátory ve volných skupinách“, Proceedings of the American Mathematical Society, 1 (5): 575–581, doi:10.1090 / S0002-9939-1950-0038336-7, ISSN 0002-9939, PAN 0038336
- Lothaire, M. (1997), Kombinatorika slovEncyklopedie matematiky a její aplikace 17, Perrin, D .; Reutenauer, Christophe; Berstel, J .; Pin, J. E .; Pirillo, G .; Foata, D .; Sakarovitch, J .; Simon, I .; Schützenberger, Marcel-Paul; Choffrut, C .; Cori, R .; Lyndon, Rogere; Rota, Gian-Carlo. Předmluva Rogera Lyndona (2. vyd.), Cambridge University Press, str. 76–91, 98, ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040
- Magnus, Wilhelm (1937), „Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 177 (177): 105–115, doi:10.1515 / crll.1937.177.105, ISSN 0075-4102, JFM 63.0065.01
- Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004). Teorie kombinatorické grupy (Dotisk druhého vydání z roku 1976). Mineola, NY: Doveru. ISBN 0-486-43830-9. PAN 2109550.
- Guy Melançon (2001) [1994], "Hall set", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Guy Melançon (2001) [1994], "Hall slovo", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Melançon, Guy (2001) [1994], "Shirshov základ", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Reutenauer, Christophe (1993), Zdarma Lie algebry, Monografie matematické společnosti v Londýně. Nová řada, 7Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, PAN 1231799
- Širšov, Anatoliĭ I. (1953), „Subalgebry volných algeber“, Rohož. Sbornik N.S., 33 (75): 441–452, PAN 0059892
- Širšov, Anatoliĭ I. (1958), „On free Lie krúžky“, Rohož. Sbornik N.S., 45 (2): 113–122, PAN 0099356
- Bokut, Leonid A .; Latyshev, Victor; Shestakov, Ivan; Zelmanov, Efim, eds. (2009). Vybraná díla A.I. Širšov. Přeložil Bremner, Murray; Kochetov, Michail V. Basel, Boston, Berlín: Birkhäuser. PAN 2547481.
- Witt, Ernst (1956). „Die Unterringe der freien Lieschen Ringe“. Mathematische Zeitschrift. 64: 195–216. doi:10.1007 / BF01166568. ISSN 0025-5874. PAN 0077525.