Cohomologie lže algebry - Lie algebra cohomology
v matematika, Cohomologie lže algebry je kohomologie teorie pro Lež algebry. Poprvé byl představen v roce 1929 Élie Cartan studovat topologii Lež skupiny a homogenní prostory[1] spojením kohomologických metod z Georges de Rham k vlastnostem Lieovy algebry. Později byla rozšířena o Claude Chevalley a Samuel Eilenberg (1948 ) na koeficienty libovolně Lieův modul.[2]
Motivace
Li je kompaktní jednoduše připojeno Lieova skupina, pak je určena její Lieovou algebrou, takže by mělo být možné vypočítat její cohomologii z Lieovy algebry. To lze provést následovně. Jeho cohomologie je de Rhamova kohomologie komplexu diferenciální formy na . Pomocí procesu zprůměrování lze tento komplex nahradit komplexem levo invariantní diferenciální formy. Levo-invariantní formy jsou mezitím určeny jejich hodnotami v identitě, takže prostor levých invariantních diferenciálních forem lze identifikovat pomocí vnější algebra Lieovy algebry s vhodným diferenciálem.
Konstrukce tohoto diferenciálu na vnější algebře má smysl pro jakoukoli Lieovu algebru, takže se používá k definování cohomologie Lieovy algebry pro všechny Lieovy algebry. Obecněji jeden používá podobnou konstrukci k definování cohomologie Lie algebry s koeficienty v modulu.
Li je jednoduše připojen nekompaktní Lieova skupina, cohomologie Lieovy algebry přidružené Lieovy algebry nemusí nutně reprodukovat de Rhamovu cohomologii . Důvodem je to, že přechod od komplexu všech diferenciálních forem ke komplexu diferenciálních forem s levou invariantností využívá průměrovací proces, který má smysl pouze pro kompaktní skupiny.
Definice
Nechat být Lež algebra na komutativním kruhu R s univerzální obalová algebra a nechte M být zastoupení z (ekvivalentně a -modul). S ohledem na R jako triviální znázornění , jeden definuje kohomologické skupiny
(vidět Ext funktor pro definici Ext). Rovněž mají pravdu odvozené funktory levého přesného invariantního submodulárního funktoru
Analogicky lze definovat homologii Lie algebry jako
(vidět Tor funktor pro definici Tor), což je ekvivalentní levým derivovaným funktorům pravého exaktního coinvarianty funktor
Mezi důležité základní výsledky o cohomologii Lieových algeber patří Whiteheadova lemata, Weylova věta a Leviho rozklad teorém.
Komplex Chevalley – Eilenberg
Nechat být ležovou algebrou nad polem , s akcí vlevo na -modul . Prvky Komplex Chevalley – Eilenberg
se nazývají cochains od na . Homogenní -cochain z na je tedy střídavý -multilineární funkce . Komplex Chevalley – Eilenberg je kanonicky izomorfní s tenzorovým produktem , kde označuje duální vektorový prostor .
Ložní závorka na indukuje a přemístit aplikace dualitou. Ta je dostatečná k definování derivace komplexu cochainů z na prodloužením podle odstupňovaného Leibnizova pravidla. Z Jacobiho identity to vyplývá splňuje a je ve skutečnosti rozdíl. V tomto nastavení je považována za triviální -modul zatímco lze považovat za konstanty.
Obecně řečeno označit levou akci na a považovat to za aplikaci . Diferenciál Chevalley – Eilenberg je pak jedinečná derivace rozšiřující se a podle odstupňované Leibnizovo pravidlo, podmínka nilpotence vyplývající z homomorfismu lži algebry z na a Jacobi identita v .
Explicitně, rozdíl -cochain je -cochain dána:[3]
kde stříška znamená vynechání tohoto argumentu.
Když je skutečná Lieova skupina s Lieovou algebrou , komplex Chevalley – Eilenberg lze také kanonicky identifikovat s prostorem levostranně invariantních forem s hodnotami v , označeno . Chevalley – Eilenbergův diferenciál lze potom považovat za omezení kovariančního derivátu na triviální svazek vláken , vybavený ekvivariantem spojení spojené s levou akcí z na . V konkrétním případě, kdy je vybaven triviální akcí , Chevalley – Eilenbergův diferenciál se shoduje s omezením de Rhamův diferenciál na do podprostoru levostranně invariantních diferenciálních forem.
Kohomologie v malých rozměrech
Nultá kohomologická skupina je (podle definice) invarianty Lieovy algebry působící na modul:
První kohomologická skupina je prostor Der derivací moduluje prostor Ider vnitřních derivací
- ,
kde derivací je mapa od algebry lži k takhle
a nazývá se vnitřní, pokud je dáno
pro některé v .
Druhá kohomologická skupina
je prostor tříd ekvivalence Rozšíření Lie Algebra
Liehovy algebry modulem .
Podobně jakýkoli prvek kohomologické skupiny dává třídu ekvivalence způsobů, jak rozšířit Lieovu algebru na „Lež -algebra "s v nule a ve třídě .[4] Lež -algebra je a homotopie Lie algebra s nenulovými výrazy pouze ve stupních 0 až .
Viz také
- BRST formalismus v teoretické fyzice.
- Gelfand – Fuksova kohomologie
Reference
- ^ Cartan, Élie (1929). „Sur les invariants intégraux de certains espaces homogènes clos“. Annales de la Société Polonaise de Mathématique. 8: 181–225.
- ^ Koszul, Jean-Louis (1950). „Homologie et cohomologie des algèbres de Lie“. Bulletin de la Société Mathématique de France. 78: 65–127. doi:10,24033 / bsmf.1410. Archivováno od původního dne 2019-04-21. Citováno 2019-05-03.
- ^ Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge University Press. p. 240.
- ^ Baez, John C.; Crans, Alissa S. (2004). "Vyšší dimenzionální algebra VI: Lež 2-algebry". Teorie a aplikace kategorií. 12: 492–528. arXiv:matematika / 0307263. Bibcode:Matematika 2003 ... 7263B. CiteSeerX 10.1.1.435.9259.
- Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel (1948), „Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras“, Transakce Americké matematické společnosti „Providence, R.I .: Americká matematická společnost, 63 (1): 85–124, doi:10.2307/1990637, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, PAN 0024908
- Hilton, Peter J.; Stammbach, Urs (1997), Kurz homologické algebry, Postgraduální texty z matematiky, 4 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94823-2, PAN 1438546
- Knapp, Anthony W. (1988), Ležové skupiny, Lieovy algebry a kohomologieMatematické poznámky, 34, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08498-5, PAN 0938524