Redukční Lieova algebra - Reductive Lie algebra - Wikipedia
![]() | tento článek ne uvést žádný Zdroje.Květen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, a Lež algebra je redukční Pokud je to adjunkční reprezentace je zcela redukovatelné, odkud název. Přesněji řečeno, Lieova algebra je redukční, pokud je přímý součet a polojednoduchá Lie algebra a Abelian Lie Algebra: existují alternativní charakterizace uvedené níže.
Příklady
Nejzákladnějším příkladem je Lieova algebra z matice s komutátorem jako Lieova závorka nebo abstraktněji jako endomorfismus algebra z n-dimenzionální vektorový prostor, Toto je Lieova algebra obecná lineární skupina GL (n), a je redukční, protože se rozkládá jako souhlasí s bez stopy matice a skalární matice.
Žádný polojednoduchá Lie algebra nebo Abelian Lie Algebra je tím spíše redukční.
Přes reálná čísla kompaktní Lieovy algebry jsou redukční.
Definice
Lieova algebra nad polem charakteristiky 0 se nazývá redukční, pokud je splněna některá z následujících ekvivalentních podmínek:
- The adjunkční reprezentace (akce v závorkách) z je zcela redukovatelné (A přímý součet neredukovatelných reprezentací).
- připouští věrné, zcela redukovatelné zobrazení konečných rozměrů.
- The radikální z rovná se středu:
- Radikál vždy obsahuje střed, ale nemusí se mu rovnat.
- je přímý součet polojediného ideálu a jeho střed
- Porovnejte s Leviho rozklad, která rozkládá Lieovu algebru jako svoji radikál (který je řešitelný, obecně ne abelianský) a Leviho subalgebru (což je polojednoduché).
- je přímý součet polojednoduché Lieovy algebry a abelianská Lieova algebra :
- je přímý součet hlavních ideálů:
Některé z těchto rovnocenností lze snadno vidět. Například střed a radikál je zatímco pokud se radikál rovná středu, rozklad Levi vede k rozkladu Dále jednoduché Lieovy algebry a triviální 1-rozměrná Lieova algebra jsou prvotřídní ideály.
Vlastnosti
Reduktivní Lieovy algebry jsou zobecněním polojediných Lieových algeber a sdílejí s nimi mnoho vlastností: mnoho vlastností polojednodušých Lieových algeber závisí pouze na tom, že jsou redukční. Je pozoruhodné, že unitářský trik z Hermann Weyl pracuje pro redukční Lieovy algebry.
Přidružené redukční Lieovy skupiny jsou významného zájmu: Langlandsův program je založen na předpokladu, že to, co se dělá pro jednu reduktivní Lieovu skupinu, by mělo být děláno pro všechny.[je zapotřebí objasnění ]
Průsečík reduktivních Lieových algeber a řešitelných Lieových algeber je přesně abelianské Lieovy algebry (kontrast s tím, že průsečík polojednodušých a řešitelných Lieových algeber je triviální).
externí odkazy
- Lie algebra, redukční, A.L. Onishchik, v Encyklopedie matematiky, ISBN 1-4020-0609-8, SpringerLink