Matematické popisy elektromagnetického pole - Mathematical descriptions of the electromagnetic field

Existují různé matematické popisy elektromagnetického pole které se používají při studiu elektromagnetismus, jeden ze čtyř základní interakce přírodní. V tomto článku je diskutováno několik přístupů, ačkoli rovnice jsou obecně z hlediska elektrických a magnetických polí, potenciálů a nábojů s proudy.

Přístup vektorové pole

Nejběžnější popis elektromagnetického pole používá dva trojrozměrné vektorová pole volal elektrické pole a magnetické pole. Každé z těchto vektorových polí má hodnotu definovanou v každém bodě prostoru a času a jsou proto často považovány za funkce souřadnic prostoru a času. Jako takové jsou často psány jako E(X, y, z, t) (elektrické pole) a B(X, y, z, t) (magnetické pole).

Kdyby jen elektrické pole (E) je nenulová a je konstantní v čase, pole se říká, že je elektrostatické pole. Podobně, kdyby jen magnetické pole (B) je nenulová a je konstantní v čase, říká se, že pole je a magnetostatické pole. Pokud však elektrické nebo magnetické pole má časovou závislost, musí se obě pole považovat společně za spojené elektromagnetické pole pomocí Maxwellovy rovnice.

Maxwellovy rovnice v přístupu vektorového pole

Chování elektrických a magnetických polí, ať už v případě elektrostatiky, magnetostatiky nebo elektrodynamika (elektromagnetické pole), se řídí Maxwellovy rovnice:

Maxwellovy rovnice (vektorová pole )
${displaystyle abla cdot mathbf {E} = {frac {ho} {varepsilon _ {0}}}}$	Gaussův zákon
${displaystyle abla cdot mathbf {B} = 0}$	Gaussův zákon pro magnetismus
${displaystyle abla imes mathbf {E} = - {frac {částečný mathbf {B}} {částečný t}}}$	Faradayův zákon
${displaystyle abla imes mathbf {B} = mu _ {0} mathbf {J} + mu _ {0} varepsilon _ {0} {frac {částečný mathbf {E}} {částečný t}}}$	Ampere – Maxwellův zákon

kde ρ je hustota náboje, která může (a často i závisí) na čase a poloze, ε₀ je elektrická konstanta, μ₀ je magnetická konstanta, a J je proud na jednotku plochy, také funkce času a polohy. Rovnice mají tuto formu s Mezinárodní soustava veličin.

Když se jedná o pouze nedisperzní izotropní lineární materiály, jsou Maxwellovy rovnice často modifikovány tak, aby ignorovaly vázané náboje nahrazením propustnosti a permitivity volný prostor s propustností a permitivitou daného lineárního materiálu. U některých materiálů, které mají složitější reakce na elektromagnetická pole, mohou být tyto vlastnosti reprezentovány tenzory s časovou závislostí související se schopností materiálu reagovat na rychlé změny pole (disperze (optika), Vztahy zeleno-kubo ), a případně také polní závislosti představující nelineární a / nebo nelokální materiálové odezvy na velká amplitudová pole (nelineární optika ).

Potenciální polní přístup

Mnohokrát při použití a výpočtu elektrických a magnetických polí použitý přístup nejprve spočítá přidružený potenciál: elektrický potenciál, ${displaystyle varphi}$ , pro elektrické pole a potenciál magnetického vektoru, A, pro magnetické pole. Elektrický potenciál je skalární pole, zatímco magnetický potenciál je vektorové pole. Proto se někdy elektrický potenciál nazývá skalární potenciál a magnetický potenciál vektorový potenciál. Tyto potenciály lze použít k vyhledání příslušných polí takto:

{displaystyle mathbf {E} = -mathbf {abla} varphi - {frac {částečná mathbf {A}} {částečná t}}}

{displaystyle mathbf {B} = mathbf {abla} imes mathbf {A}}

Maxwellovy rovnice v formulaci potenciálu

Tyto vztahy mohou být dosazeny do Maxwellových rovnic, aby se vyjádřily druhé z hlediska potenciálů. Faradayův zákon a Gaussův zákon pro magnetismus redukovat na identity (např. v případě Gaussova zákona pro magnetismus, 0 = 0). Další dvě Maxwellovy rovnice dopadnou méně jednoduše.

Maxwellovy rovnice (potenciální formulace)

${displaystyle abla ^ {2} varphi + {frac {částečné} {částečné t}} vlevo (mathbf {abla} cdot mathbf {A} ight) = - {frac {ho} {varepsilon _ {0}}}}$

${displaystyle left (abla ^ {2} mathbf {A} - {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} mathbf {A}} {částečné t ^ {2}}} vpravo ) -mathbf {abla} vlevo (mathbf {abla} cdot mathbf {A} + {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {parciální varphi} {parciální t}} ight) = - mu _ {0 } mathbf {J}}$

Tyto rovnice dohromady jsou stejně silné a úplné jako Maxwellovy rovnice. Navíc byl problém poněkud snížen, protože elektrické a magnetické pole mělo dohromady šest komponent, které bylo třeba vyřešit.^[1] Ve formulaci potenciálu existují pouze čtyři složky: elektrický potenciál a tři složky vektorového potenciálu. Rovnice jsou však chaotičtější než Maxwellovy rovnice využívající elektrické a magnetické pole.

Měřit svobodu

Tyto rovnice lze zjednodušit využitím skutečnosti, že elektrické a magnetické pole jsou fyzicky významné veličiny, které lze měřit; potenciály nejsou. Existuje svoboda omezit formu potenciálů za předpokladu, že to neovlivní výsledná elektrická a magnetická pole zvaná měřit svobodu. Konkrétně pro tyto rovnice pro jakoukoli volbu dvakrát diferencovatelné skalární funkce polohy a času λ, pokud (φ, A) je řešení pro daný systém, pak také další potenciál (φ′, A′) dána:

{displaystyle varphi '= varphi - {frac {částečná lambda} {částečná t}}}

{displaystyle mathbf {A} '= mathbf {A} + mathbf {abla} lambda}

Tuto svobodu lze použít ke zjednodušení potenciální formulace. Obvykle se volí jedna ze dvou takových skalárních funkcí: Coulombův měřič a Lorenzův měřič.

Coulombův rozchod

The Coulombův rozchod je zvolen takovým způsobem, že ${displaystyle mathbf {abla} cdot mathbf {A} '= 0}$ , což odpovídá případu magnetostatiky. Ve smyslu λ, to znamená, že musí vyhovovat rovnici

{displaystyle abla ^ {2} lambda = -mathbf {abla} cdot mathbf {A}}

.

Tato volba funkce vede k následující formulaci Maxwellových rovnic:

{displaystyle abla ^ {2} varphi '= - {frac {ho} {varepsilon _ {0}}}}

{displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} '-mu _ {0} varepsilon _ {0} {frac {částečné ^ {2}! mathbf {A}'} {částečné t ^ {2}}} = - mu _ {0} mathbf {J} + mu _ {0} varepsilon _ {0} abla !! left (! {Frac {partial varphi '} {částečné t}}! Ight)}

Několik funkcí o Maxwellových rovnicích v Coulombově měřidle je následující. Zaprvé, řešení elektrického potenciálu je velmi snadné, protože rovnice je verzí Poissonova rovnice. Zadruhé, řešení potenciálu magnetického vektoru je obzvláště obtížné. To je velká nevýhoda tohoto měřidla. Třetí věc, kterou je třeba poznamenat, a něco, co není okamžitě zřejmé, je to, že elektrický potenciál se okamžitě mění všude v reakci na změnu podmínek v jedné lokalitě.

Pokud se například v New Yorku přesune náboj v 13:00 místního času, pak hypotetický pozorovatel v Austrálii, který by mohl přímo měřit elektrický potenciál, změřil změnu potenciálu v 13:00 newyorského času. To zdánlivě porušuje kauzalitu v speciální relativita, tj. nemožnost informací, signálů nebo čehokoli cestovat rychleji, než je rychlost světla. Řešení tohoto zjevného problému spočívá ve skutečnosti, že jak již bylo uvedeno, žádný pozorovatel nemůže měřit potenciály; měří elektrické a magnetické pole. Takže kombinace ∇φ a ∂A/∂t použitý při určování elektrického pole obnovuje rychlostní limit stanovený speciální relativitou pro elektrické pole, čímž se všechny pozorovatelné veličiny shodují s relativitou.

Stav měřidla Lorenz

Často používaným měřidlem je Stav měřidla Lorenz. V tomto je skalární funkce λ je zvolen tak, že

{displaystyle mathbf {abla} cdot mathbf {A} '= -mu _ {0} varepsilon _ {0} {frac {částečné varphi'} {částečné t}},}

znamenající, že λ musí vyhovovat rovnici

{displaystyle abla ^ {2} lambda -mu _ {0} varepsilon _ {0} {frac {částečné ^ {2} lambda} {částečné t ^ {2}}} = - mathbf {abla} cdot mathbf {A} - mu _ {0} varepsilon _ {0} {frac {částečný varphi} {částečný t}}.}

Výsledkem Lorenzova měřidla je následující forma Maxwellových rovnic:

{displaystyle abla ^ {2} varphi '-mu _ {0} varepsilon _ {0} {frac {částečné ^ {2} varphi'} {částečné t ^ {2}}} = - Box ^ {2} varphi '= - {frac {ho} {varepsilon _ {0}}}}

{displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} '-mu _ {0} varepsilon _ {0} {frac {částečné ^ {2} mathbf {A}'} {částečné t ^ {2}}} = - Box ^ {2} mathbf {A} '= -mu _ {0} mathbf {J}}

Operátor ${displaystyle Box ^ {2}}$ se nazývá d'Alembertian (někteří autoři to označují pouze čtvercem ${displaystyle Box}$ ). Tyto rovnice jsou nehomogenní verze vlnová rovnice, přičemž termíny na pravé straně rovnice slouží jako zdroj pro vlnu. Stejně jako u jakékoli vlnové rovnice vedou tyto rovnice ke dvěma typům řešení: pokročilé potenciály (které souvisejí s konfigurací zdrojů v budoucích časových obdobích) a retardované potenciály (které souvisejí s minulými konfiguracemi zdrojů); ty první se obvykle nepřihlíží tam, kde se pole analyzuje z hlediska kauzality.

Jak bylo uvedeno výše, Lorenzův měřič není platnější než jakýkoli jiný měřič, protože potenciály nelze měřit. Navzdory tomu existují určité kvantově mechanické jevy, u nichž se zdá, že potenciály ovlivňují částice v oblastech, kde pozorovatelné pole v této oblasti mizí, například jako v Aharonov – Bohmův efekt. Tyto jevy však neposkytují prostředky k přímému měření potenciálů ani k detekci rozdílu mezi různými, ale vzájemně ekvivalent měřidla potenciály. Lorenzův rozchod má další výhodu v tom, že jsou rovnice Lorentzův invariant.

Rozšíření na kvantovou elektrodynamiku

Kanonická kvantizace elektromagnetického pole probíhá zvýšením skalárního a vektorového potenciálu; φ(X), A(X), z polí do operátory v terénu. Střídání 1/C² = ε₀μ₀ do předchozích Lorenzových měřicích rovnic dává:

{displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} - {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} mathbf {A}} {částečné t ^ {2}}} = - mu _ {0} mathbf {J}}

{displaystyle abla ^ {2} varphi - {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} varphi} {částečné t ^ {2}}} = - {frac {ho} {varepsilon _ {0}}}}

Tady, J a ρ jsou proud a hustota náboje hmota pole. Pokud je pole hmoty bráno tak, že popisuje interakci elektromagnetických polí s Dirac elektron dané čtyřsložkou Dirac spinor pole ψ, hustota proudu a náboje mají formu:^[2]

{displaystyle mathbf {J} = -epsi ^ {dagger} {oldsymbol {alpha}} psi, quad ho = -epsi ^ {dagger} psi ,,}

kde α jsou první tři Diracovy matice. Pomocí toho můžeme přepsat Maxwellovy rovnice jako:

Maxwellovy rovnice (QED )

${displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} - {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} mathbf {A}} {částečné t ^ {2}}} = mu _ {0} epsi ^ {dagger} {oldsymbol {alpha}} psi}$

${displaystyle abla ^ {2} varphi - {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} varphi} {částečné t ^ {2}}} = {frac {1} {varepsilon _ {0}}} epsi ^ {dagger} psi}$

což je forma použitá v kvantová elektrodynamika.

Formulace geometrické algebry

Analogicky k tenzorové formulaci jsou představeny dva objekty, jeden pro pole a druhý pro aktuální. v geometrická algebra (GA) to jsou multivektory. Polní multivektor, známý jako Riemann – Silbersteinův vektor, je

{displaystyle mathbf {F} = mathbf {E} + Icmathbf {B} = E ^ {k} sigma _ {k} + IcB ^ {k} sigma _ {k}}

a aktuální multivektor je

{displaystyle cho -mathbf {J} = cho -J ^ {k} sigma _ {k}}

kde v algebra fyzického prostoru (APS) ${displaystyle Cell _ {3,0} (mathbb {R})}$ s vektorovým základem ${displaystyle {sigma _ {k}}}$ . Jednotka pseudoskalární je ${displaystyle I = sigma _ {1} sigma _ {2} sigma _ {3}}$ (za předpokladu, že ortonormální základ ). Ortonormální bazální vektory sdílejí algebru Pauliho matice, ale obvykle se s nimi nevyrovnávají. Po definování derivace

{displaystyle {oldsymbol {abla}} = sigma ^ {k} částečný _ {k}}

Maxwellovy rovnice jsou redukovány na jednoduchou rovnici^[3]

Maxwellovy rovnice (Formulace APS)

${displaystyle left ({frac {1} {c}} {dfrac {partial} {partial t}} + {oldsymbol {abla}} ight) mathbf {F} = mu _ {0} c (cho -mathbf {J} ).}$

Ve třech rozměrech má derivát speciální strukturu umožňující zavedení křížového produktu:

{displaystyle {oldsymbol {abla}} mathbf {F} = {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {F} + {oldsymbol {abla}} klín mathbf {F} = {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {F} + I {oldsymbol {abla}} imes mathbf {F}}

ze kterého je snadno vidět, že Gaussův zákon je skalární část, Ampere-Maxwellovo právo je vektorová část, Faradayův zákon je pseudovektorová část a Gaussův zákon pro magnetismus je pseudoskalární část rovnice. Po rozšíření a přeskupení to lze zapsat jako

{displaystyle left ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {E} - {frac {ho} {epsilon _ {0}}} ight) -cleft ({oldsymbol {abla}} imes mathbf {B} -mu _ {0 } epsilon _ {0} {frac {částečný {mathbf {E}}} {částečný {t}}} - mu _ {0} mathbf {J} ight) + Ileft ({oldsymbol {abla}} imes mathbf {E} + {frac {částečné {mathbf {B}}} {částečné {t}}} ight) + Icleft ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {B} ight) = 0}

Můžeme identifikovat APS jako subalgebru časoprostorová algebra (STA) ${displaystyle Cell _ {1,3} (mathbb {R})}$ , definování ${displaystyle sigma _ {k} = gama _ {k} gama _ {0}}$ a ${displaystyle I = gamma _ {0} gamma _ {1} gamma _ {2} gamma _ {3}}$ . The ${displaystyle gamma _ {mu}}$ mají stejné algebraické vlastnosti gama matice ale jejich maticová reprezentace není nutná. Derivát je nyní

{displaystyle abla = gamma ^ {mu} částečné _ {mu}.}

Riemann – Silberstein se stává bivektorem

${displaystyle F = mathbf {E} + Icmathbf {B} = E ^ {1} gamma _ {1} gamma _ {0} + E ^ {2} gamma _ {2} gamma _ {0} + E ^ {3 } gamma _ {3} gamma _ {0} -c (B ^ {1} gamma _ {2} gamma _ {3} + B ^ {2} gamma _ {3} gamma _ {1} + B ^ {3 } gamma _ {1} gamma _ {2}),}$

a hustota náboje a proudu se stala vektorem

{displaystyle J = J ^ {mu} gamma _ {mu} = cho gamma _ {0} + J ^ {k} gamma _ {k} = gamma _ {0} (cho -J ^ {k} sigma _ {k }).}

Díky identitě

{displaystyle gamma _ {0} abla = gamma _ {0} gamma ^ {0} částečné _ {0} + gamma _ {0} gamma ^ {k} částečné _ {k} = částečné _ {0} + sigma ^ { k} částečné _ {k} = {frac {1} {c}} {dfrac {částečné} {částečné t}} + {oldsymbol {abla}},}

Maxwellovy rovnice se redukují na jednoduchou rovnici

Maxwellovy rovnice (Formulace STA)

${displaystyle abla F = mu _ {0} cJ.}$

Přístup diferenciálních forem

Pole 2-forma

v volný prostor, kde ε = ε₀ a μ = μ₀ jsou všude konstantní, Maxwellovy rovnice se podstatně zjednoduší, jakmile se jazyk stane diferenciální geometrie a diferenciální formy se používá. V tom, co následuje, cgs-Gaussovy jednotky, ne SI jednotky Jsou používány. (Chcete-li převést na SI, viz tady.) Elektrické a magnetické pole nyní společně popisuje a 2-forma F ve 4-dimenzionálním vesmírný čas potrubí. Faradayův tenzor ${displaystyle F_ {mu u}}$ (elektromagnetický tenzor ) lze zapsat jako 2-formulář v Minkowského prostoru s metrickým podpisem $(- + + +)$ tak jako

{displaystyle {egin {aligned} mathbf {F} & equiv {frac {1} {2}} F_ {mu u} mathrm {d} x ^ {mu} klínový mathrm {d} x ^ {u} & = B_ { x} mathrm {d} ywedge mathrm {d} z + B_ {y} mathrm {d} zwedge mathrm {d} x + B_ {z} mathrm {d} xwedge mathrm {d} y + E_ {x} mathrm {d } xwedge mathrm {d} t + E_ {y} mathrm {d} ywedge mathrm {d} t + E_ {z} mathrm {d} zwedge mathrm {d} tend {aligned}}}

který jako zakřivená forma, je vnější derivace z elektromagnetický čtyř potenciál,

{displaystyle mathbf {F} = mathrm {d} mathbf {A} = (částečný _ {mu} A_ {u}) mathrm {d} x ^ {mu} klínový mathrm {d} x ^ {u}}

Zdrojové volné rovnice lze zapsat působením vnější derivace na tuto 2-formu. Ale pro rovnice se zdrojovými výrazy (Gaussův zákon a Ampere-Maxwellova rovnice ), Hodge dual této 2-formy je potřeba. Hvězdný operátor Hodge vezme a p-forma do (n − p) -forma, kde n je počet rozměrů. Zde to má 2-formu (F) a dává další 2-formu (ve čtyřech rozměrech, n − p = 4 − 2 = 2). Pro základní kotangensové vektory je Hodgeův duální uveden jako (viz Provozovatel hvězd Hodge § Čtyři rozměry )

{displaystyle {star} (mathrm {d} xwedge mathrm {d} y) = - mathrm {d} zwedge mathrm {d} t, quad {star} (mathrm {d} xwedge mathrm {d} t) = mathrm {d } ywedge mathrm {d} z,}

a tak dále. Pomocí těchto vztahů je duál Faradayovy 2 formy Maxwellovým tenzorem,

{displaystyle {star} mathbf {F} = -B_ {x} mathrm {d} xwedge mathrm {d} t-B_ {y} mathrm {d} ywedge mathrm {d} t-B_ {z} mathrm {d} zwedge mathrm {d} t + E_ {x} mathrm {d} ywedge mathrm {d} z + E_ {y} mathrm {d} zwedge mathrm {d} x + E_ {z} mathrm {d} xwedge mathrm {d} y }

Aktuální 3-formulář, duální proud 1-formulář

Tady, 3-forma J se nazývá forma elektrického proudu nebo aktuální 3-forma:

{displaystyle mathbf {J} = ho, mathrm {d} xwedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z-j_ {x} mathrm {d} twedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z-j_ {y} mathrm {d} twedge mathrm {d} zwedge mathrm {d} x-j_ {z} mathrm {d} twedge mathrm {d} xwedge mathrm {d} y}

s odpovídajícím duálním 1-formulářem:

{displaystyle {{star} mathbf {J}} = - ho, mathrm {d} t + j_ {x} mathrm {d} x + j_ {y} mathrm {d} y + j_ {z} mathrm {d} z }

Maxwellovy rovnice se poté redukují na Bianchi identita a zdrojová rovnice:^[4]

Maxwellovy rovnice (aktuální 3-forma)

${displaystyle mathrm {d} mathbf {F} = 0}$

${displaystyle mathrm {d} {star} mathbf {F} = mathbf {J}}$

kde d označuje vnější derivace - přirozený souřadnicový a metrický nezávislý operátor diferenciálu působící na formulářích a (duální) Hodge hvězda operátor ${displaystyle {star}}$ je lineární transformace z prostoru 2-forem do prostoru (4 - 2) -form definovaných metrikou v Minkowského prostor (ve čtyřech rozměrech dokonce podle jakékoli metriky konformní k této metrice). Pole jsou v přirozené jednotky kde 1 / 4πε₀ = 1.

Od d² = 0, 3-forma J uspokojuje zachování proudu (rovnice spojitosti ):

{displaystyle mathrm {d} {mathbf {J}} = mathrm {d} ^ {2} {star} mathbf {F} = 0.}

Aktuální 3-formu lze integrovat do trojrozměrné časoprostorové oblasti. Fyzická interpretace tohoto integrálu je náboj v této oblasti, pokud je vesmírný, nebo množství náboje, které protéká povrchem v určitém čase, pokud je touto oblastí vesmírný povrch, protíná časový interval. definováno na jakémkoli potrubí „Diferenciální forma verze identity Bianchi má smysl pro jakékoli 4-dimenzionální potrubí, zatímco zdrojová rovnice je definována, pokud je potrubí orientováno a má Lorentzovu metriku. Zejména verze Maxwellových rovnic v diferenciální formě jsou pohodlnou a intuitivní formulací Maxwellových rovnic v obecné relativitě.

Poznámka: Ve velké části literatury jsou notace ${displaystyle mathbf {J}}$ a ${displaystyle {star} mathbf {J}}$ jsou přepnuty, takže ${displaystyle mathbf {J}}$ je 1 forma zvaná aktuální a ${displaystyle {star} mathbf {J}}$ je 3-forma zvaná duální proud.^[5]

Lineární makroskopický vliv hmoty

V lineární makroskopické teorii je vliv hmoty na elektromagnetické pole popsán obecnější lineární transformací v prostoru 2 forem. Voláme

{displaystyle C: Lambda ^ {2} i mathbf {F} mapsto mathbf {G} v lambda ^ {(4-2)}}

konstitutivní transformace. Role této transformace je srovnatelná s Hodgeovou dualitní transformací. Maxwellovy rovnice v přítomnosti hmoty se pak stanou:

{displaystyle mathrm {d} mathbf {F} = 0}

{displaystyle mathrm {d} mathbf {G} = mathbf {J}}

kde aktuální 3-forma J stále splňuje rovnici kontinuity dJ = 0.

Když jsou pole vyjádřena jako lineární kombinace (z vnější výrobky ) základních formulářů θ^p,

{displaystyle mathbf {F} = {frac {1} {2}} F_ {pq} mathbf {heta} ^ {p} klín mathbf {heta} ^ {q}.}

konstitutivní vztah má formu

{displaystyle G_ {pq} = C_ {pq} ^ {mn} F_ {mn}}

kde funkce koeficientu pole jsou v indexech antisymetrické a konstitutivní koeficienty jsou v odpovídajících párech antisymetrické. Zejména se získá transformace Hodgeovy duality vedoucí k vakuovým rovnicím diskutovaným výše

{displaystyle C_ {pq} ^ {mn} = {frac {1} {2}} g ^ {ma} g ^ {nb} epsilon _ {abpq} {sqrt {-g}}}

který až do měřítka je jediným invariantním tenzorem tohoto typu, který lze definovat pomocí metriky.

V této formulaci elektromagnetismus generalizuje okamžitě na jakýkoli 4-dimenzionálně orientovaný potrubí nebo s malými adaptacemi na jakýkoli potrubí.

Alternativní metrický podpis

V znaková konvence fyziků částic pro metrický podpis (+ − − −), je potenciální 1 forma

{displaystyle mathbf {A} = phi, mathrm {d} t-A_ {x} mathrm {d} x-A_ {y} mathrm {d} y-A_ {z} mathrm {d} z}

.

Faradayovo zakřivení 2 formy se stává

{displaystyle {egin {aligned} mathbf {F} ekviv & {frac {1} {2}} F_ {mu u} mathrm {d} x ^ {mu} klínový mathrm {d} x ^ {u} = & E_ { x} mathrm {d} twedge mathrm {d} x + E_ {y} mathrm {d} twedge mathrm {d} y + E_ {z} mathrm {d} twedge mathrm {d} z-B_ {x} mathrm {d } ywedge mathrm {d} z-B_ {y} mathrm {d} zwedge mathrm {d} x-B_ {z} mathrm {d} xwedge mathrm {d} yend {aligned}}}

a Maxwellův tenzor se stává

{displaystyle {{star} mathbf {F}} = - E_ {x} mathrm {d} ywedge mathrm {d} z-E_ {y} mathrm {d} zwedge mathrm {d} x-E_ {z} mathrm {d } xwedge mathrm {d} y-B_ {x} mathrm {d} twedge mathrm {d} x-B_ {y} mathrm {d} twedge mathrm {d} y-B_ {z} mathrm {d} twedge mathrm {d } z}

.

Aktuální 3-forma J je

{displaystyle mathbf {J} = -ho, mathrm {d} xwedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z + j_ {x} mathrm {d} twedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z + j_ {y} mathrm {d} twedge mathrm {d} zwedge mathrm {d} x + j_ {z} mathrm {d} twedge mathrm {d} xwedge mathrm {d} y}

a odpovídající duální 1 forma je

{displaystyle {{star} mathbf {J}} = - ho, mathrm {d} t + j_ {x} mathrm {d} x + j_ {y} mathrm {d} y + j_ {z} mathrm {d} z }

.

Současná norma je nyní kladná a rovná se

{displaystyle {mathbf {J} klín {star} mathbf {J}} = (ho ^ {2} + j_ {x} ^ {2} + j_ {y} ^ {2} + j_ {z} ^ {2} ), {star} (1)}

,

s kanonickým objemová forma ${displaystyle {star} (1) = mathrm {d} twedge mathrm {d} xwedge mathrm {d} ywedge mathrm {d} z}$ .

Zakřivený časoprostor

Tradiční formulace

Hmota a energie generují zakřivení vesmírný čas. To je předmětem obecná relativita. Zakřivení časoprostoru ovlivňuje elektrodynamiku. Elektromagnetické pole s energií a hybností také generuje zakřivení v časoprostoru. Maxwellovy rovnice v zakřiveném časoprostoru lze získat nahrazením derivací v rovnicích v plochém časoprostoru za kovarianční deriváty. (To, zda jde o vhodné zobecnění, vyžaduje samostatné zkoumání.) Rovnice ze zdrojů a bez zdrojů se stanou (cgs-Gaussovy jednotky ):

{displaystyle {4pi over c} j ^ {eta} = částečný _ {alpha} F ^ {alpha eta} + {Gamma ^ {alpha}} _ {mu alpha} F ^ {mu eta} + {Gamma ^ {eta} } _ {mu alpha} F ^ {alpha mu} {stackrel {mathrm {def}} {=}} abla _ {alpha} F ^ {alpha eta} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {F ^ {alpha eta}} _ {; alpha} ,!}

a

{displaystyle 0 = částečné _ {gamma} F_ {alpha eta} + částečné _ {eta} F_ {gamma alpha} + částečné _ {alpha} F_ {eta gamma} = abla _ {gamma} F_ {alpha eta} + abla _ {eta} F_ {gamma alpha} + abla _ {alpha} F_ {eta gamma}.,}

Tady,

{displaystyle {Gamma ^ {alpha}} _ {mu eta}!}

je Christoffelův symbol který charakterizuje zakřivení časoprostoru a ∇_α je kovarianční derivace.

Formulace z hlediska diferenciálních forem

Formulace Maxwellových rovnic z hlediska diferenciální formy lze použít beze změny obecné relativity. Ekvivalenci tradičnější obecné relativistické formulace používající kovariantní derivaci s formulací diferenciální formy lze vidět následovně. Zvolte místní souřadnice X^α což dává základ 1-forem dX^α v každém bodě otevřené množiny, kde jsou definovány souřadnice. Pomocí tohoto základu a cgs-Gaussovy jednotky definujeme

Tensor antisymetrického pole F_αβ, což odpovídá poli 2-forma F

{displaystyle mathbf {F} = {frac {1} {2}} F_ {alpha eta}, mathrm {d} x ^ {alpha} wedge mathrm {d} x ^ {eta}.}

Aktuální vektorový infinitezimální 3-tvar J

{displaystyle mathbf {J} = {4pi nad c} vlevo ({frac {1} {6}} j ^ {alpha} {sqrt {-g}}, epsilon _ {alpha eta gamma delta} mathrm {d} x ^ {eta} wedge mathrm {d} x ^ {gamma} wedge mathrm {d} x ^ {delta} .ight)}

Tenzor epsilon kontraktovaný s diferenciální 3 formou vytváří šestinásobek požadovaného počtu termínů.

Tady G je jako obvykle určující matice představující metrický tenzor, G_αβ. Malý výpočet, který využívá symetrii Christoffel symboly (tj. torzní pružnost Připojení Levi-Civita ) a kovarianční konstanta Operátor hvězd Hodge pak ukazuje, že v tomto sousedství souřadnic máme:

identita Bianchi

{displaystyle mathrm {d} mathbf {F} = 2 (částečný _ {gamma} F_ {alpha eta} + částečný _ {eta} F_ {gamma alpha} + částečný _ {alpha} F_ {eta gamma}) mathrm {d} x ^ {alpha} klínový mathrm {d} x ^ {eta} klínový mathrm {d} x ^ {gamma} = 0,}

zdrojová rovnice

{displaystyle mathrm {d} {star mathbf {F}} = {frac {1} {6}} {F ^ {alpha eta}} _ {; alpha} {sqrt {-g}}, epsilon _ {eta gamma delta eta} mathrm {d} x ^ {gamma} klínový mathrm {d} x ^ {delta} klínový mathrm {d} x ^ {eta} = mathbf {J},}

rovnice kontinuity

{displaystyle mathrm {d} mathbf {J} = {4pi over c} {j ^ {alpha}} _ {; alpha} {sqrt {-g}}, epsilon _ {alpha eta gamma delta} mathrm {d} x ^ {alpha} klínový mathrm {d} x ^ {eta} klínový mathrm {d} x ^ {gamma} klínový mathrm {d} x ^ {delta} = 0.}

Klasická elektrodynamika jako zakřivení svazku čar

Elegantním a intuitivním způsobem, jak formulovat Maxwellovy rovnice, je použití komplexu svazky řádků nebo a hlavní svazek U (1), na jejichž vláknech U (1) jedná pravidelně. The ředitel školy U (1) -spojení ∇ na řádku má svazek zakřivení F = ∇² což je dvě formy, která automaticky uspokojí dF = 0 a lze jej interpretovat jako intenzitu pole. Pokud je svazek triviální s plochým referenčním připojením d můžeme napsat ∇ = d + A a F = dA s A the 1-forma složený z elektrický potenciál a potenciál magnetického vektoru.

V kvantové mechanice se samotné spojení používá k definování dynamiky systému. Tato formulace umožňuje přirozený popis Aharonov – Bohmův efekt. V tomto experimentu prochází statické magnetické pole dlouhým magnetickým drátem (např. Podélně magnetizovaným železným drátem). Vně tohoto drátu je magnetická indukce nulová, na rozdíl od vektorového potenciálu, který v podstatě závisí na magnetickém toku v průřezu drátu a nezmizí ven. Protože také neexistuje žádné elektrické pole, Maxwellův tenzor F = 0 v celém časoprostorovém regionu mimo trubici, během experimentu. To podle definice znamená, že spojení ∇ je ploché.

Jak již bylo zmíněno, spojení závisí na magnetickém poli procházejícím trubicí, protože holonomy podél nesmrtelné křivky obklopující trubici je magnetický tok trubicí ve vhodných jednotkách. To lze detekovat kvantově-mechanicky pomocí experimentu s dvojitou štěrbinovou elektronovou difrakcí na elektronové vlně pohybující se kolem trubky. Holonomie odpovídá dalšímu fázovému posunu, který vede k posunu v difrakčním obrazci.^[6]^[7]

Diskuse

Následují důvody pro použití každé z těchto formulací.

Potenciální formulace

V pokročilé klasické mechanice je často užitečné a v kvantové mechanice často nezbytné vyjádřit Maxwellovy rovnice v a potenciální formulace zahrnující elektrický potenciál (také zvaný skalární potenciál ) φa magnetický potenciál (A vektorový potenciál ) A. Například analýza rádiových antén plně využívá Maxwellovy vektorové a skalární potenciály k oddělení proměnných, což je běžná technika používaná při formulaci řešení diferenciálních rovnic. Potenciály lze zavést pomocí Poincaré lemma na homogenních rovnicích je řešit univerzálním způsobem (předpokládá se, že uvažujeme a topologicky jednoduché, např. smluvní prostor ). Potenciály jsou definovány jako v tabulce výše. Alternativně tyto rovnice definují E a B z hlediska elektrických a magnetických potenciálů, které pak splňují homogenní rovnice pro E a B jako identity. Substituce dává nehomogenní Maxwellovy rovnice v potenciální formě.

Mnoho různých možností A a φ jsou v souladu s danými pozorovatelnými elektrickými a magnetickými poli E a B, takže se zdá, že potenciály obsahují více, (klasicky ) nepozorovatelné informace. Nejedinečnost potenciálů je však dobře známa. Pro každou skalární funkci polohy a času λ(X, t), potenciály lze změnit pomocí a transformace měřidla tak jako

{displaystyle varphi '= varphi - {frac {částečná lambda} {částečná t}}, quad mathbf {A}' = mathbf {A} + mathbf {abla} lambda}

beze změny elektrického a magnetického pole. Dva páry měřidel transformovaly potenciály (φ, A) a (φ′, A′) se nazývají ekvivalent měřidlaa nazývá se svoboda výběru libovolného páru potenciálů v jeho třídě ekvivalence měřidel měřit svobodu. Opět podle Poincarého lematu (a za jeho předpokladů) je svoboda měřidla jediným zdrojem neurčitosti, takže polní formulace je ekvivalentní potenciální formulaci, pokud uvažujeme potenciální rovnice jako rovnice pro třídy ekvivalence měřidel.

Potenciální rovnice lze zjednodušit pomocí tzv. Procedury upevnění měřidla. Vzhledem k tomu, že potenciály jsou definovány pouze do ekvivalence měřidla, máme možnost uvalit na potenciály další rovnice, pokud pro každou dvojici potenciálů existuje pár ekvivalentních měřidel, který splňuje další rovnice (tj. Pokud rovnice upevňující měřidlo definují plátek akce měřidla). Fixní potenciály měřidla mají stále svobodu měřidla při všech transformacích měřidla, které ponechávají rovnice upevnění měřidla neměnné. Kontrola potenciálních rovnic naznačuje dvě přirozené volby. V Coulombův rozchod, ukládáme ∇ ⋅ A = 0 který se většinou používá v případě magneto statiky, když můžeme zanedbávat C⁻²∂²A/∂t² období. V Lorenzův rozchod (pojmenoval podle Dane Ludvig Lorenz ), ukládáme

{displaystyle mathbf {abla} cdot mathbf {A} + {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {parciální varphi} {parciální t}} = 0 ,.}

Výhodou Lorenzova stavu je, že je Lorentzův invariant a vede k Lorentzovým invariantním rovnicím pro potenciály.

Zjevně kovariantní (tenzorový) přístup

Maxwellovy rovnice jsou přesně v souladu speciální relativita — Tj. Pokud jsou platné v jednom inerciálním referenčním rámci, pak jsou automaticky platné v každém dalším inerciálním referenčním rámci. Ve skutečnosti byly Maxwellovy rovnice klíčové v historickém vývoji speciální relativity. Avšak při obvyklé formulaci Maxwellových rovnic není jejich konzistence se speciální relativitou zřejmá; lze to prokázat pouze pracným výpočtem.

Zvažte například a vodič pohybující se v poli magnetu.^[8] V rám magnetu, tento vodič zažije a magnetický platnost. Ale v rámu vodiče pohybujícího se vzhledem k magnetu, vodič zažívá sílu v důsledku elektrický pole. Pohyb je v těchto dvou různých referenčních rámcích přesně konzistentní, ale matematicky vzniká zcela různými způsoby.

Z tohoto a dalších důvodů je často užitečné přepsat Maxwellovy rovnice způsobem, který je „zjevně kovariantní“ - tj. očividně v souladu se speciální relativitou, i když stačí pohled na rovnice - použití kovarianční a kontravariantní čtyři vektory a tenzory. To lze provést pomocí EM tenzor F, nebo 4-potenciál A, s 4-proud J - viz kovarianční formulace klasického elektromagnetismu.

Přístup diferenciálních forem

Gaussův zákon pro magnetismus a zákon Faraday – Maxwell lze seskupit, protože rovnice jsou homogenní a lze je považovat za geometrický identity vyjadřující pole F (2-forma), které lze odvodit z 4-potenciál A. Gaussův zákon pro elektřinu a zákon Ampere – Maxwell lze chápat jako dynamický pohybové rovnice z polí získaných prostřednictvím Lagrangian princip nejméně akce z „termínu interakce“ AJ (představeno prostřednictvím měřidlo kovarianční deriváty ), spojující pole s hmotou. Pro polní formulaci Maxwellových rovnic z hlediska principu extremálu akce viz elektromagnetický tenzor.

Časová derivace v Faraday-Maxwellově rovnici často motivuje tuto rovnici nazývat „dynamickou“, což je ve smyslu předchozí analýzy poněkud zavádějící. To je spíše artefakt rozbití relativistické kovariance výběrem preferovaného časového směru. Chcete-li mít fyzické stupně volnosti šířené těmito polními rovnicemi, musíte zahrnout a kinetický termín F ⋆F pro A, a vezměte v úvahu nefyzické stupně svobody, které lze odstranit transformace měřidla A ↦ A - dα. Viz také upevnění měřidla a Faddeev – Popovští duchové.

Přístup geometrického počtu

Tato formulace používá algebru, která vesmírný čas generuje zavedením distributivního, asociativního (nikoli však komutativního) produktu zvaného geometrický součin. Prvky a operace algebry lze obecně spojit s geometrickým významem. Členy algebry lze rozložit podle stupně (jako ve formalismu diferenciálních forem) a (geometrického) součinu vektoru s k-vektor se rozkládá na a (k − 1)-vektor a a (k + 1)-vektor. The (k − 1)-vektorovou součást lze identifikovat s vnitřním produktem a (k + 1)-vektorová součást s vnějším produktem. Je algebraickou výhodou, že geometrický součin je invertibilní, zatímco vnitřní a vnější součin ne. Deriváty, které se objevují v Maxwellových rovnicích, jsou vektory a elektromagnetická pole jsou reprezentována Faradayovým bivektorem F. Tato formulace je stejně obecná jako formulace diferenciálních forem pro různá potrubí s metrickým tenzorem, protože pak jsou přirozeně identifikovány r-formy a existují odpovídající operace. Maxwellovy rovnice se v tomto formalismu redukují na jednu rovnici. Tuto rovnici lze rozdělit na části, jak je to provedeno výše, z důvodu srovnání.

Viz také

Poznámky

^ Úvod do elektrodynamiky Griffiths
^ Kvantová elektrodynamika, Mathworld
^ Přednáška Oersted Medal David Hestenes „Reforming the Mathematical Language of Physics“ (Am. J. Phys. 71 (2), únor 2003, str. 104–121) Online:http://geocalc.clas.asu.edu/html/Oersted-ReformingTheLanguage.html p26
^ Harley Flanders (1963) Diferenciální formy s aplikacemi na fyzikální vědy, strany 44 až 46, Akademický tisk
^ Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitace. W. H. Freeman. p. 81. ISBN 978-0-7167-0344-0.
^ M. Murray (5. září 2008). "Line Bundles. Honours 1996" (PDF). University of Adelaide. Citováno 2010-11-19.
^ R. Bott (1985). "On some recent interactions between mathematics and physics". Kanadský matematický bulletin. 28 (2): 129–164. doi:10.4153/CMB-1985-016-3.
^ Albert Einstein (1905) On the electrodynamics of moving bodies

Reference

Warnick, Karl; Russer, Peter (2014). "Differential Forms and Electromagnetic Field Theory" (PDF). Pokrok ve výzkumu elektromagnetismu. 148: 83–112. doi:10.2528/PIER14063009.
Russer, Peter (2006). Electromagnetics, Microwave Circuit and Antenna Design for Communications Engineering (2. vyd.). Artech House. ISBN 978-1-58053-907-4. (with worked problems in Warnick, Russer 2006 ISBN 1-59693-096-9)
Hehl, Friedrich; Obukhov, Yuri (2003). Foundations of Classical Electrodynamics. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4222-8.
Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Geometrická algebra pro fyziky. Cambridge Univ. Lis. ISBN 978-0-521-71595-9.

[1] Úvod do elektrodynamiky Griffiths

[2] Kvantová elektrodynamika, Mathworld

[3] Přednáška Oersted Medal David Hestenes „Reforming the Mathematical Language of Physics“ (Am. J. Phys. 71 (2), únor 2003, str. 104–121) Online:http://geocalc.clas.asu.edu/html/Oersted-ReformingTheLanguage.html p26

[4] Harley Flanders (1963) Diferenciální formy s aplikacemi na fyzikální vědy, strany 44 až 46, Akademický tisk

[5] Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitace. W. H. Freeman. p. 81. ISBN 978-0-7167-0344-0.

[6] M. Murray (5. září 2008). "Line Bundles. Honours 1996" (PDF). University of Adelaide. Citováno 2010-11-19.

[7] R. Bott (1985). "On some recent interactions between mathematics and physics". Kanadský matematický bulletin. 28 (2): 129–164. doi:10.4153/CMB-1985-016-3.

[8] Albert Einstein (1905) On the electrodynamics of moving bodies

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]