Logaritmická integrální funkce - Logarithmic integral function - Wikipedia

v matematika, logaritmická integrální funkce nebo integrální logaritmus li (X) je speciální funkce. Je relevantní pro problémy fyzika a má teoretický počet význam. Zejména podle Siegel-Walfiszova věta je to velmi dobré přiblížení do funkce počítání prvočísel, který je definován jako počet prvočísla menší nebo rovno dané hodnotě ${ displaystyle x}$ .

Logaritmický integrální funkční diagram

Integrální zastoupení

Logaritmický integrál má integrální reprezentaci definovanou pro všechny pozitivní reálná čísla $X$ ≠ 1 podle určitý integrál

{ displaystyle operatorname {li} (x) = int _ {0} ^ {x} { frac {dt} { ln t}}.}

Tady, $ln$ označuje přirozený logaritmus. Funkce $1 / (ln t)$ má jedinečnost na $t = 1$ a integrál pro $X > 1$ je interpretován jako a Hodnota Cauchyho jistiny,

{ displaystyle operatorname {li} (x) = lim _ { varepsilon až 0 +} left ( int _ {0} ^ {1- varepsilon} { frac {dt} { ln t} } + int _ {1+ varepsilon} ^ {x} { frac {dt} { ln t}} right).}

Ofsetový logaritmický integrál

The offset logaritmický integrál nebo Euleriánský logaritmický integrál je definován jako

{ displaystyle operatorname {Li} (x) = int _ {2} ^ {x} { frac {dt} { ln t}} = operatorname {li} (x) - operatorname {li} ( 2).}

Jako takové má integrální reprezentace tu výhodu, že se vyhne singularitě v oblasti integrace.

Speciální hodnoty

Funkce li (X) má jedinou kladnou nulu; vyskytuje se v X ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS: A070769; toto číslo je známé jako Ramanujan – konstanta pájky.

−Li (0) = li (2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ... OEIS: A069284

Tohle je ${ displaystyle - ( Gamma vlevo (0, - ln 2 vpravo) + i , pi)}$ kde ${ displaystyle Gamma left (a, x right)}$ je neúplná funkce gama. Musí to být chápáno jako Hodnota Cauchyho jistiny funkce.

Sériové zastoupení

Funkce li (X) souvisí s exponenciální integrál Ei (X) pomocí rovnice

{ displaystyle { hbox {li}} (x) = { hbox {Ei}} ( ln x), , !}

který platí pro X > 0. Tato identita poskytuje řadu reprezentací li (X) tak jako

{ displaystyle operatorname {li} (e ^ {u}) = { hbox {Ei}} (u) = gamma + ln | u | + sum _ {n = 1} ^ { infty} { u ^ {n} přes n cdot n!} quad { text {pro}} u neq 0 ;,}

kde γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEIS: A001620 je Euler – Mascheroniho konstanta. Rychleji konvergentní série od Ramanujan ^[1] je

{ displaystyle operatorname {li} (x) = gamma + ln ln x + { sqrt {x}} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { n-1} ( ln x) ^ {n}} {n! , 2 ^ {n-1}}} sum _ {k = 0} ^ { lfloor (n-1) / 2 rfloor} { frac {1} {2k + 1}}.}

Asymptotická expanze

Asymptotické chování pro X → ∞ je

{ displaystyle operatorname {li} (x) = O left ({x over ln x} right) ;.}

kde ${ displaystyle O}$ je velká O notace. Plný asymptotická expanze je

{ displaystyle operatorname {li} (x) sim { frac {x} { ln x}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {k!} {( ln x ) ^ {k}}}}

nebo

{ displaystyle { frac { operatorname {li} (x)} {x / ln x}} sim 1 + { frac {1} { ln x}} + { frac {2} {( ln x) ^ {2}}} + { frac {6} {( ln x) ^ {3}}} + cdots.}

To dává následující přesnější asymptotické chování:

{ displaystyle operatorname {li} (x) - {x over ln x} = O left ({x over ln ^ {2} x} right) ;.}

Jako asymptotická expanze je tato série není konvergentní: je to přiměřená aproximace, pouze pokud je řada zkrácena na konečný počet členů a pouze velké hodnoty X jsou zaměstnáni. Tato expanze vyplývá přímo z asymptotické expanze pro exponenciální integrál.

To znamená např. že můžeme držet li jako:

{ displaystyle 1 + { frac {1} { ln x}} < operatorname {li} (x) { frac { ln x} {x}} <1 + { frac {1} { ln x}} + { frac {3} {( ln x) ^ {2}}}}

pro všechny ${ displaystyle ln x geq 11}$ .

Teoretický význam čísel

Logaritmický integrál je důležitý v teorie čísel, které se objevují v odhadech počtu prvočísla menší než daná hodnota. Například věta o prvočísle tvrdí, že: