Článek na Wikipedii
V matematice je určitý integrál :
∫ A b F ( X ) d X { displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx} je oblast regionu v xy rovina ohraničená grafem F , X -osa a řádky X = A a X = b , taková oblast nad X - osa přidává k součtu, a to pod X -osa odečte od součtu.
The základní věta o počtu stanoví vztah mezi neurčitými a určitými integrály a zavádí techniku pro hodnocení určitých integrálů.
Pokud je interval nekonečný, definitivní integrál se nazývá an nesprávný integrál a definováno pomocí vhodných omezujících postupů. například:
∫ A ∞ F ( X ) d X = lim b → ∞ [ ∫ A b F ( X ) d X ] { displaystyle int _ {a} ^ { infty} f (x) , dx = lim _ {b až infty} vlevo [ int _ {a} ^ {b} f (x) , dx vpravo]} Konstanta, jako pí, která může být definována integrálem algebraické funkce nad algebraickou doménou, je známá jako doba .
Následuje seznam nejběžnějších definitivních Integrály . Seznam neurčité integrály vidět Seznam neurčitých integrálů
== Určité integrály zahrnující racionální nebo iracionální výrazy
∫ 0 ∞ X m d X X n + A n = π A m − n + 1 n hřích ( m + 1 n π ) pro 0 < m + 1 < n { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {m} dx} {x ^ {n} + a ^ {n}}} = { frac { pi a ^ {m -n + 1}} {n sin left ({ dfrac {m + 1} {n}} pi right)}} quad { mbox {for}} 0 ∫ 0 ∞ X p − 1 d X 1 + X = π hřích ( p π ) pro 0 < p < 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {p-1} dx} {1 + x}} = { frac { pi} { sin (p pi)} } quad { mbox {for}} 0
∫ 0 ∞ X m d X 1 + 2 X cos β + X 2 = π hřích ( m π ) ⋅ hřích ( m β ) hřích ( β ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {m} dx} {1 + 2x cos beta + x ^ {2}}} = { frac { pi} { sin (m pi)}} cdot { frac { sin (m beta)} { sin ( beta)}}} ∫ 0 A d X A 2 − X 2 = π 2 { displaystyle int _ {0} ^ {a} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = { frac { pi} {2}}} ∫ 0 A A 2 − X 2 d X = π A 2 4 { displaystyle int _ {0} ^ {a} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} dx = { frac { pi a ^ {2}} {4}}} ∫ 0 A X m ( A n − X n ) p d X = A m + 1 + n p Γ ( m + 1 n ) Γ ( p + 1 ) n Γ ( m + 1 n + p + 1 ) { displaystyle int _ {0} ^ {a} x ^ {m} (a ^ {n} -x ^ {n}) ^ {p} , dx = { frac {a ^ {m + 1 + np} Gamma left ({ dfrac {m + 1} {n}} right) Gamma (p + 1)} {n Gamma left ({ dfrac {m + 1} {n}} + p + 1 vpravo)}}} ∫ 0 ∞ X m d X ( X n + A n ) r = ( − 1 ) r − 1 π A m + 1 − n r Γ ( m + 1 n ) n hřích ( m + 1 n π ) ( r − 1 ) ! Γ ( m + 1 n − r + 1 ) pro n ( r − 2 ) < m + 1 < n r { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {m} dx} {({x ^ {n} + a ^ {n})} ^ {r}}} = { frac {(-1) ^ {r-1} pi a ^ {m + 1-nr} gama vlevo ({ dfrac {m + 1} {n}} vpravo)} {n sin vlevo ({ dfrac {m + 1} {n}} pi right) (r-1)! , Gamma left ({ dfrac {m + 1} {n}} - r + 1 right) }} quad { mbox {for}} n (r-2) Určité integrály zahrnující trigonometrické funkce ∫ 0 π hřích ( m X ) hřích ( n X ) d X = { 0 -li m ≠ n π 2 -li m = n pro m , n kladná celá čísla { displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin (mx) sin (nx) dx = { begin {cases} 0 & { text {if}} m neq n { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} m = n end {cases}} quad { text {for}} m, n { text {kladná celá čísla}}} ∫ 0 π cos ( m X ) cos ( n X ) d X = { 0 -li m ≠ n π 2 -li m = n pro m , n kladná celá čísla { displaystyle int _ {0} ^ { pi} cos (mx) cos (nx) dx = { begin {cases} 0 & { text {if}} m neq n { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} m = n end {cases}} quad { text {for}} m, n { text {kladná celá čísla}}} ∫ 0 π hřích ( m X ) cos ( n X ) d X = { 0 -li m + n dokonce 2 m m 2 − n 2 -li m + n zvláštní pro m , n celá čísla . { displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin (mx) cos (nx) dx = { begin {cases} 0 & { text {if}} m + n { text {even}} { dfrac {2m} {m ^ {2} -n ^ {2}}} & { text {if}} m + n { text {odd}} end {cases}} quad { text {for}} m, n { text {celá čísla}}.} ∫ 0 π 2 hřích 2 ( X ) d X = ∫ 0 π 2 cos 2 ( X ) d X = π 4 { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2} (x) dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {2} (x) dx = { frac { pi} {4}}} ∫ 0 π 2 hřích 2 m ( X ) d X = ∫ 0 π 2 cos 2 m ( X ) d X = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 m − 1 ) 2 × 4 × 6 × ⋯ × 2 m ⋅ π 2 pro m = 1 , 2 , 3 … { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2m} (x) dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {2m} (x) dx = { frac {1 krát 3 krát 5 krát cdots krát (2m-1)} {2 krát 4 krát 6 krát cdots krát 2m} } cdot { frac { pi} {2}} quad { mbox {pro}} m = 1,2,3 ldots} ∫ 0 π 2 hřích 2 m + 1 ( X ) d X = ∫ 0 π 2 cos 2 m + 1 ( X ) d X = 2 × 4 × 6 × ⋯ × 2 m 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 m + 1 ) pro m = 1 , 2 , 3 … { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2m + 1} (x) dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2 }} cos ^ {2m + 1} (x) dx = { frac {2 krát 4 krát 6 krát cdots krát 2m} {1 krát 3 krát 5 krát cdots krát (2m +1)}} quad { mbox {for}} m = 1,2,3 ldots} ∫ 0 π 2 hřích 2 p − 1 ( X ) cos 2 q − 1 ( X ) d X = Γ ( p ) Γ ( q ) 2 Γ ( p + q ) = 1 2 B ( p , q ) { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2p-1} (x) cos ^ {2q-1} (x) dx = { frac { Gamma (p) Gamma (q)} {2 Gamma (p + q)}} = { frac {1} {2}} { text {B}} (p, q)} ∫ 0 ∞ hřích ( p X ) X d X = { π 2 -li p > 0 0 -li p = 0 − π 2 -li p < 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (px)} {x}} dx = { begin {případech} { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} p> 0 0 & { text {if}} p = 0 - { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} p <0 end {případy}}} Dirichletův integrál ) ∫ 0 ∞ hřích p X cos q X X d X = { 0 -li q > p > 0 π 2 -li 0 < q < p π 4 -li p = q > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin px cos qx} {x}} dx = { begin {cases} 0 & { text {if}} q> p> 0 { dfrac { pi} {2}} & { text {if}} 0 0 end {případů}}} ∫ 0 ∞ hřích p X hřích q X X 2 d X = { π p 2 -li 0 < p ≤ q π q 2 -li 0 < q ≤ p { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin px sin qx} {x ^ {2}}} dx = { start {případů} { dfrac { pi p} {2}} & { text {if}} 0
∫ 0 ∞ hřích 2 p X X 2 d X = π p 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin ^ {2} px} {x ^ {2}}} dx = { frac { pi p} {2}}} ∫ 0 ∞ 1 − cos p X X 2 d X = π p 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {1- cos px} {x ^ {2}}} dx = { frac { pi p} {2}}} ∫ 0 ∞ cos p X − cos q X X d X = ln q p { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos px- cos qx} {x}} dx = ln { frac {q} {p}}} ∫ 0 ∞ cos p X − cos q X X 2 d X = π ( q − p ) 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos px- cos qx} {x ^ {2}}} dx = { frac { pi (qp)} {2} }} ∫ 0 ∞ cos m X X 2 + A 2 d X = π 2 A E − m A { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos mx} {x ^ {2} + a ^ {2}}} dx = { frac { pi} {2a}} e ^ {- ma}} ∫ 0 ∞ X hřích m X X 2 + A 2 d X = π 2 E − m A { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x sin mx} {x ^ {2} + a ^ {2}}} dx = { frac { pi} {2} } e ^ {- ma}} ∫ 0 ∞ hřích m X X ( X 2 + A 2 ) d X = π 2 A 2 ( 1 − E − m A ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin mx} {x (x ^ {2} + a ^ {2})}} dx = { frac { pi} { 2a ^ {2}}} vlevo (1-e ^ {- ma} vpravo)} ∫ 0 2 π d X A + b hřích X = 2 π A 2 − b 2 { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {a + b sin x}} = { frac {2 pi} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} ∫ 0 2 π d X A + b cos X = 2 π A 2 − b 2 { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {a + b cos x}} = { frac {2 pi} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} ∫ 0 π 2 d X A + b cos X = cos − 1 ( b A ) A 2 − b 2 { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {dx} {a + b cos x}} = { frac { cos ^ {- 1} vlevo ({ dfrac {b} {a}} vpravo)} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} ∫ 0 2 π d X ( A + b hřích X ) 2 = ∫ 0 2 π d X ( A + b cos X ) 2 = 2 π A ( A 2 − b 2 ) 3 / 2 { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {(a + b sin x) ^ {2}}} = int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {(a + b cos x) ^ {2}}} = { frac {2 pi a} {(a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {3/2} }}} ∫ 0 2 π d X 1 − 2 A cos X + A 2 = 2 π 1 − A 2 pro 0 < A < 1 { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {1-2a cos x + a ^ {2}}} = { frac {2 pi} {1-a ^ {2}}} quad { mbox {for}} 0 ∫ 0 π X hřích X d X 1 − 2 A cos X + A 2 = { π A ln | 1 + A | -li | A | < 1 π A ln | 1 + 1 A | -li | A | > 1 { displaystyle int _ {0} ^ { pi} { frac {x sin x dx} {1-2a cos x + a ^ {2}}} = { begin {cases} { dfrac { pi} {a}} ln left | 1 + a right | & { text {if}} | a | <1 { dfrac { pi} {a}} ln left | 1 + { dfrac {1} {a}} right | & { text {if}} | a |> 1 end {cases}}} ∫ 0 π cos m X d X 1 − 2 A cos X + A 2 = π A m 1 − A 2 pro A 2 < 1 , m = 0 , 1 , 2 , … { displaystyle int _ {0} ^ { pi} { frac { cos mx dx} {1-2a cos x + a ^ {2}}} = { frac { pi a ^ {m }} {1-a ^ {2}}} quad { mbox {for}} a ^ {2} <1 , m = 0,1,2, dots} ∫ 0 ∞ hřích A X 2 d X = ∫ 0 ∞ cos A X 2 = 1 2 π 2 A { displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin ax ^ {2} dx = int _ {0} ^ { infty} cos ax ^ {2} = { frac {1} { 2}} { sqrt { frac { pi} {2a}}}} ∫ 0 ∞ hřích A X n = 1 n A 1 / n Γ ( 1 n ) hřích π 2 n pro n > 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin ax ^ {n} = { frac {1} {na ^ {1 / n}}} Gamma left ({ frac {1} { n}} vpravo) sin { frac { pi} {2n}} quad { mbox {pro}} n> 1} ∫ 0 ∞ cos A X n = 1 n A 1 / n Γ ( 1 n ) cos π 2 n pro n > 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} cos ax ^ {n} = { frac {1} {na ^ {1 / n}}} Gamma left ({ frac {1} { n}} vpravo) cos { frac { pi} {2n}} quad { mbox {pro}} n> 1} ∫ 0 ∞ hřích X X d X = ∫ 0 ∞ cos X X d X = π 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} { sqrt {x}}} dx = int _ {0} ^ { infty} { frac { cos x} { sqrt {x}}} dx = { sqrt { frac { pi} {2}}}} ∫ 0 ∞ hřích X X p d X = π 2 Γ ( p ) hřích ( p π 2 ) pro 0 < p < 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x ^ {p}}} dx = { frac { pi} {2 Gamma (p) sin left ({ dfrac {p pi} {2}} right)}} quad { mbox {for}} 0
∫ 0 ∞ cos X X p d X = π 2 Γ ( p ) cos ( p π 2 ) pro 0 < p < 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos x} {x ^ {p}}} dx = { frac { pi} {2 gama (p) cos left ({ dfrac {p pi} {2}} right)}} quad { mbox {for}} 0
∫ 0 ∞ hřích A X 2 cos 2 b X d X = 1 2 π 2 A ( cos b 2 A − hřích b 2 A ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin ax ^ {2} cos 2bx dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {2a} }} left ( cos { frac {b ^ {2}} {a}} - sin { frac {b ^ {2}} {a}} right)} ∫ 0 ∞ cos A X 2 cos 2 b X d X = 1 2 π 2 A ( cos b 2 A + hřích b 2 A ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} cos ax ^ {2} cos 2bx dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {2a} }} left ( cos { frac {b ^ {2}} {a}} + sin { frac {b ^ {2}} {a}} right)} Určité integrály zahrnující exponenciální funkce ∫ 0 ∞ X E − X d X = 1 2 π { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { sqrt {x}} , e ^ {- x} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { pi} }} Funkce gama ) ∫ 0 ∞ E − A X cos b X d X = A A 2 + b 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} cos bx , dx = { frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}}} ∫ 0 ∞ E − A X hřích b X d X = b A 2 + b 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} sin bx , dx = { frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}}} ∫ 0 ∞ E − A X hřích b X X d X = opálení − 1 b A { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {{} e ^ {- ax} sin bx} {x}} , dx = tan ^ {- 1} { frac {b }{A}}} ∫ 0 ∞ E − A X − E − b X X d X = ln b A { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} , dx = ln { frac {b} {a }}} ∫ 0 ∞ E − A X 2 d X = 1 2 π A pro A > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a }}} quad { mbox {for}} a> 0} Gaussův integrál ) ∫ 0 ∞ E − A X 2 cos b X d X = 1 2 π A E ( − b 2 4 A ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} {e ^ {- ax ^ {2}}} cos bx , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ { left ({ frac {-b ^ {2}} {4a}} right)}} ∫ 0 ∞ E − ( A X 2 + b X + C ) d X = 1 2 π A E ( b 2 − 4 A C 4 A ) ⋅ erfc b 2 A , kde erfc ( p ) = 2 π ∫ p ∞ E − X 2 d X { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx + c)} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ { left ({ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}} right)} cdot operatorname {erfc} { frac {b} {2 { sqrt {a}}}}, { text {kde}} operatorname {erfc} (p) = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {p} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx} ∫ − ∞ ∞ E − ( A X 2 + b X + C ) d X = π A E ( b 2 − 4 A C 4 A ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx + c)} dx = { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ { left ({ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}} right)}} ∫ 0 ∞ X n E − A X d X = Γ ( n + 1 ) A n + 1 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax} dx = { frac { gama (n + 1)} {a ^ {n + 1}}} } ∫ 0 ∞ X 2 E − A X 2 d X = 1 4 π A 3 pro A > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} {x ^ {2} e ^ {- ax ^ {2}} , dx} = { frac {1} {4}} { sqrt { frac { pi} {a ^ {3}}}} quad { mbox {for}} a> 0} ∫ 0 ∞ X 2 n E − A X 2 d X = 2 n − 1 2 A ∫ 0 ∞ X 2 ( n − 1 ) E − A X 2 d X = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 π A 2 n + 1 = ( 2 n ) ! n ! 2 2 n + 1 π A 2 n + 1 pro A > 0 , n = 1 , 2 , 3 … { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {2n-1} {2a}} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {2 (n-1)} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n + 1} }} { sqrt { frac { pi} {a ^ {2n + 1}}}} = { frac {(2n)!} {n! 2 ^ {2n + 1}}} { sqrt { frac { pi} {a ^ {2n + 1}}}} quad { mbox {for}} a> 0 , n = 1,2,3 ldots} dvojitý faktoriál ) ∫ 0 ∞ X 3 E − A X 2 d X = 1 2 A 2 pro A > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} {x ^ {3} e ^ {- ax ^ {2}} , dx} = { frac {1} {2a ^ {2}}} čtyřkolka { mbox {for}} a> 0} ∫ 0 ∞ X 2 n + 1 E − A X 2 d X = n A ∫ 0 ∞ X 2 n − 1 E − A X 2 d X = n ! 2 A n + 1 pro A > 0 , n = 0 , 1 , 2 … { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n + 1} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {n} {a}} int _ {0 } ^ { infty} x ^ {2n-1} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {n!} {2a ^ {n + 1}}} quad { mbox { for}} a> 0 , n = 0,1,2 ldots} ∫ 0 ∞ X m E − A X 2 d X = Γ ( m + 1 2 ) 2 A ( m + 1 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {m} e ^ {- ax ^ {2}} dx = { frac { gama vlevo ({ dfrac {m + 1} { 2}} vpravo)} {2a ^ { vlevo ({ frac {m + 1} {2}} vpravo)}}}} ∫ 0 ∞ E ( − A X 2 − b X 2 ) d X = 1 2 π A E − 2 A b { displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ { vlevo (-ax ^ {2} - { frac {b} {x ^ {2}}} vpravo)} dx = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ {- 2 { sqrt {ab}}}} ∫ 0 ∞ X E X − 1 d X = ζ ( 2 ) = π 2 6 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x} {e ^ {x} -1}} dx = zeta (2) = { frac { pi ^ {2}} {6}}} ∫ 0 ∞ X n − 1 E X − 1 d X = Γ ( n ) ζ ( n ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {n-1}} {e ^ {x} -1}} dx = gama (n) zeta (n)} ∫ 0 ∞ X E X + 1 d X = 1 1 2 − 1 2 2 + 1 3 2 − 1 4 2 + ⋯ = π 2 12 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x} {e ^ {x} +1}} dx = { frac {1} {1 ^ {2}}} - { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} - { frac {1} {4 ^ {2}}} + dots = { frac { pi ^ {2}} {12}}} ∫ 0 ∞ hřích m X E 2 π X − 1 d X = 1 4 coth m 2 − 1 2 m { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin mx} {e ^ {2 pi x} -1}} dx = { frac {1} {4}} coth { frac {m} {2}} - { frac {1} {2m}}} ∫ 0 ∞ ( 1 1 + X − E − X ) d X X = y { displaystyle int _ {0} ^ { infty} vlevo ({ frac {1} {1 + x}} - e ^ {- x} vpravo) { frac {dx} {x}} = gamma} y { displaystyle gamma} Euler – Mascheroniho konstanta ) ∫ 0 ∞ E − X 2 − E − X X d X = y 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- x ^ {2}} - e ^ {- x}} {x}} dx = { frac { gamma} {2}}} ∫ 0 ∞ ( 1 E X − 1 − E − X X ) d X = y { displaystyle int _ {0} ^ { infty} vlevo ({ frac {1} {e ^ {x} -1}} - { frac {e ^ {- x}} {x}} vpravo) dx = gamma} ∫ 0 ∞ E − A X − E − b X X sek p X d X = 1 2 ln b 2 + p 2 A 2 + p 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x sec px}} dx = { frac {1} {2 }} ln { frac {b ^ {2} + p ^ {2}} {a ^ {2} + p ^ {2}}}} ∫ 0 ∞ E − A X − E − b X X csc p X d X = opálení − 1 b p − opálení − 1 A p { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x csc px}} dx = tan ^ {- 1} { frac {b} {p}} - tan ^ {- 1} { frac {a} {p}}} ∫ 0 ∞ E − A X ( 1 − cos X ) X 2 d X = dětská postýlka − 1 A − A 2 ln | A 2 + 1 A 2 | { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- sekera} (1- cos x)} {x ^ {2}}} dx = cot ^ {- 1} a - { frac {a} {2}} ln left | { frac {a ^ {2} +1} {a ^ {2}}} doprava |} ∫ − ∞ ∞ E − X 2 d X = π { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi}}} ∫ − ∞ ∞ X 2 ( n + 1 ) E − 1 2 X 2 d X = ( 2 n + 1 ) ! 2 n n ! 2 π pro n = 0 , 1 , 2 , … { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2 (n + 1)} e ^ {- { frac {1} {2}} x ^ {2}} , dx = { frac {(2n + 1)!} {2 ^ {n} n!}} { sqrt {2 pi}} quad { mbox {for}} n = 0,1,2, ldots} Hridayovy integrály Tyto integrály původně vytvořil Hriday Narayan Mishra dne 31. srpna 2020 v Indii. Tyto integrály byly později odvozeny pomocí metod integrace kontury od Reynoldse a Stauffera v roce 2020.
∫ 0 ∞ ln ( 1 + E − 2 π α X ) 1 + X 2 d X = − π ( α + ln [ Γ ( 1 2 + α ) α α 2 π ] ) pro R E ( α ) > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (1 + e ^ {- 2 pi alpha x})} {1 + x ^ {2}}} , dx = - pi left ( alpha + ln left [{ frac { Gamma left ({ frac {1} {2}} + alpha right)} { alpha ^ { alpha} { sqrt {2 pi}}}} right] right) quad { mbox {for}} Re ( alpha)> 0} ∫ 0 ∞ ln ( 1 − E − 2 π α X ) 1 + X 2 d X = − π 2 ( 2 α + ln [ Γ 2 ( 1 + α ) 2 π α 2 α + 1 ] ) pro R E ( α ) > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (1-e ^ {- 2 pi alpha x})} {1 + x ^ {2}}} , dx = - { frac { pi} {2}} vlevo (2 alpha + ln vlevo [{ frac { Gamma ^ {2} (1+ alpha)} {2 pi alpha ^ {2 alpha +1}}} right] right) quad { mbox {for}} Re ( alpha)> 0} Určité integrály zahrnující logaritmické funkce ∫ 0 1 X m ( ln X ) n d X = ( − 1 ) n n ! ( m + 1 ) n + 1 pro m > − 1 , n = 0 , 1 , 2 , … { displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {m} ( ln x) ^ {n} , dx = { frac {(-1) ^ {n} n!} {(m + 1) ^ {n + 1}}} quad { mbox {for}} m> -1, n = 0,1,2, ldots} ∫ 0 1 ln X 1 + X d X = − π 2 12 { displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { ln x} {1 + x}} , dx = - { frac { pi ^ {2}} {12}}} ∫ 0 1 ln X 1 − X d X = − π 2 6 { displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { ln x} {1-x}} , dx = - { frac { pi ^ {2}} {6}}} ∫ 0 1 ln ( 1 + X ) X d X = π 2 12 { displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { ln (1 + x)} {x}} , dx = { frac { pi ^ {2}} {12}}} ∫ 0 1 ln ( 1 − X ) X d X = − π 2 6 { displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { ln (1-x)} {x}} , dx = - { frac { pi ^ {2}} {6}}} ∫ 0 ∞ ln ( A 2 + X 2 ) b 2 + X 2 d X = π b ln ( A + b ) pro A , b > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (a ^ {2} + x ^ {2})} {b ^ {2} + x ^ {2}}} dx = { frac { pi} {b}} ln (a + b) quad { mbox {for}} a, b> 0} ∫ 0 ∞ ln X X 2 + A 2 d X = π ln A 2 A pro A > 0 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln x} {x ^ {2} + a ^ {2}}} dx = { frac { pi ln a} { 2a}} quad { mbox {for}} a> 0} Určité integrály zahrnující hyperbolické funkce ∫ 0 ∞ hřích A X sinh b X d X = π 2 b tanh A π 2 b { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin sekera} { sinh bx}} dx = { frac { pi} {2b}} tanh { frac {a pi} {2b}}}
∫ 0 ∞ cos A X hovadina b X d X = π 2 b ⋅ 1 hovadina A π 2 b { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { cos ax} { cosh bx}} dx = { frac { pi} {2b}} cdot { frac {1} { cosh { frac {a pi} {2b}}}}}
∫ 0 ∞ X sinh A X d X = π 2 4 A 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x} { sinh ax}} dx = { frac { pi ^ {2}} {4a ^ {2}}}}
∫ − ∞ ∞ 1 hovadina X d X = π { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} { cosh x}} dx = pi}
∫ 0 ∞ F ( A X ) − F ( b X ) X d X = ( lim X → 0 F ( X ) − lim X → ∞ F ( X ) ) ln ( b A ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {f (sekera) -f (bx)} {x}} dx = vlevo ( lim _ {x až 0} f (x ) - lim _ {x to infty} f (x) right) ln left ({ frac {b} {a}} right)} F ′ ( X ) { displaystyle f '(x)}
Viz také Matematický portál Reference Reynolds, Robert; Stauffer, Allan (2020). „Odvození logaritmických a logaritmických hyperbolických tangens integrálů vyjádřených z hlediska speciálních funkcí“ . Matematika . 8 (687): 687. doi :10,3390 / matematika8050687 Reynolds, Robert; Stauffer, Allan (2019). „Definitivní integrál zahrnující logaritmickou funkci z hlediska Lerchovy funkce“ . Matematika . 7 (1148): 1148. doi :10,3390 / matematika 7121148 Reynolds, Robert; Stauffer, Allan (2019). „Určitá integrace arkustangensových a polylogaritmických funkcí vyjádřených jako řada“ . Matematika . 7 (1099): 1099. doi :10,3390 / matematika 7111099 Winckler, Anton (1861). „Eigenschaften Einiger Bestimmten Integrale“. Hof, K. K., vyd . Spiegel, Murray R .; Lipschutz, Seymour; Liu, John (2009). Matematická příručka vzorců a tabulek (3. vyd.). McGraw-Hill . ISBN 978-0071548557 Zwillinger, Daniel (2003). Standardní matematické tabulky a vzorce CRC (32. vydání). CRC Press . ISBN 978-143983548-7 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . PAN 0167642 . LCCN 65-12253 .
![{ displaystyle int _ {a} ^ { infty} f (x) , dx = lim _ {b až infty} vlevo [ int _ {a} ^ {b} f (x) , dx vpravo]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a095fbd3f49faf63702fb3b314abd0e76c40f8a)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (1 + e ^ {- 2 pi alpha x})} {1 + x ^ {2}}} , dx = - pi left ( alpha + ln left [{ frac { Gamma left ({ frac {1} {2}} + alpha right)} { alpha ^ { alpha} { sqrt {2 pi}}}} right] right) quad { mbox {for}} Re ( alpha)> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6a8321c8cd67ff9891706ebaa13d33986f07eb)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { ln (1-e ^ {- 2 pi alpha x})} {1 + x ^ {2}}} , dx = - { frac { pi} {2}} vlevo (2 alpha + ln vlevo [{ frac { Gamma ^ {2} (1+ alpha)} {2 pi alpha ^ {2 alpha +1}}} right] right) quad { mbox {for}} Re ( alpha)> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365d25206324b35f1f9025af296a51cdb46a0f19)
