Liouvillesova věta (diferenciální algebra) - Liouvilles theorem (differential algebra) - Wikipedia

v matematika, Liouvilleova věta, původně formuloval Joseph Liouville v letech 1833 až 1841,^[1]^[2]^[3] klade důležité omezení na antiderivativa které lze vyjádřit jako základní funkce.

Antiderivativy jisté základní funkce samy o sobě nemohou být vyjádřeny jako základní funkce. Standardní příklad takové funkce je ${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}},}$ jehož primitivní funkcí je (s multiplikátorem konstanty) chybová funkce, známý z statistika. Mezi další příklady patří funkce ${ displaystyle { frac { sin (x)} {x}}}$ a ${ displaystyle x ^ {x}}$ .

Liouvilleova věta uvádí, že základní antiderivativa, pokud existují, musí být stejná diferenciální pole jako funkce plus možná konečný počet logaritmů.

Definice

Pro jakékoli diferenciální pole F, existuje podpole

Ošidit(F) = {F v F | Df = 0},

volal konstanty z F. Vzhledem k tomu, dvě diferenciální pole F a G, G se nazývá a logaritmické rozšíření z F -li G je jednoduché transcendentální rozšíření z F (tj. G = F(t) pro některé transcendentální t) takové, že

Dt = Ds/s pro některé s v F.

To má podobu a logaritmická derivace. Intuitivně si člověk může myslet t jako logaritmus nějakého prvku s z F, v takovém případě je tato podmínka analogická s běžnou řetězové pravidlo. Nicméně, F není nutně vybaven jedinečným logaritmem; jeden by mohl připojit mnoho "logaritmických" rozšíření k F. Podobně an exponenciální rozšíření je jednoduché transcendentální rozšíření, které uspokojí

Dt = t Ds.

S ohledem na výše uvedené upozornění lze tento prvek považovat za exponenciál prvku s z F. Konečně, G se nazývá rozšíření základního diferenciálu z F pokud existuje konečný řetězec podpolí z F na G kde každé rozšíření v řetězci je buď algebraické, logaritmické nebo exponenciální.

Základní věta

Předpokládat F a G jsou diferenciální pole, s Con (F) = Con (G), a to G je elementární diferenciální rozšíření F. Nechat A být v F, y v G, a předpokládejme Dy = A (slovy, předpokládejme, že G obsahuje primitivní funkci A). Pak existují C₁, ..., C_n v Con (F), u₁, ..., u_n, proti v F takhle

{ displaystyle a = c_ {1} { frac {Du_ {1}} {u_ {1}}} + dotsb + c_ {n} { frac {Du_ {n}} {u_ {n}}} + Dv.}

Jinými slovy, jediné funkce, které mají „elementární primitivní funkce“ (tj. Antiderivativní látky žijící v nejhorším případě v elementárním diferenciálním rozšíření F) jsou lidé s touto formou. Věta tedy na intuitivní úrovni uvádí, že jedinými elementárními primitivními funkcemi jsou „jednoduché“ funkce plus konečný počet logaritmů „jednoduchých“ funkcí.

Důkaz Liouvilleovy věty lze nalézt v oddíle 12.4 Geddes a kol.

Příklady

Jako příklad pole C(X) z racionální funkce v jedné proměnné má derivaci danou standardem derivát s ohledem na tuto proměnnou. Konstanty tohoto pole jsou pouze komplexní čísla C.

Funkce ${ displaystyle { tfrac {1} {x}}}$ , který existuje v C(X), nemá v programu antiderivativ C(X). Jeho primitivní látky lnX + C existují však v logaritmické příponě C(X, lnX).

Stejně tak funkce ${ displaystyle { tfrac {1} {x ^ {2} +1}}}$ nemá v programu Antiderivative C(X). Jeho antiderivativa se opálí⁻¹(X) + C nezdá se, že splňují požadavky věty, protože to nejsou (zjevně) součty racionálních funkcí a logaritmy racionálních funkcí. Výpočet s Eulerův vzorec ${ displaystyle e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta}$ ukazuje, že ve skutečnosti mohou být antihyperativa psána požadovaným způsobem (jako logaritmy racionálních funkcí).

{ displaystyle { begin {sladěno} e ^ {2i theta} & = { frac {e ^ {i theta}} {e ^ {- i theta}}} = = frac { cos theta + i sin theta} { cos theta -i sin theta}} = { frac {1 + i tan theta} {1-i tan theta}} [8pt] theta & = { frac {1} {2i}} ln left ({ frac {1 + i tan theta} {1-i tan theta}} right) [8pt] tan ^ {-1} x & = { frac {1} {2i}} ln left ({ frac {1 + ix} {1-ix}} right) end {aligned}}}

Vztah s diferenciální Galoisovou teorií

Liouvilleova věta je někdy prezentována jako věta v diferenciální Galoisova teorie, ale to není striktně pravda. Věta může být prokázána bez použití Galoisovy teorie. Kromě toho je Galoisova skupina jednoduchého primitivní funkce buď triviální (není-li k jejímu vyjádření nutné rozšíření pole), nebo je jednoduše aditivní skupinou konstant (odpovídající integrační konstantě). Diferenciální Galoisova skupina primitivního prostředku tedy nekóduje dostatek informací k určení, zda ji lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, což je hlavní podmínka Liouvilleovy věty.