Seznam integrálů Gaussových funkcí - List of integrals of Gaussian functions
Článek na Wikipedii
V těchto výrazech
ϕ ( X ) = 1 2 π E − 1 2 X 2 { displaystyle phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- { frac {1} {2}} x ^ {2}}} je standardní normální funkce hustoty pravděpodobnosti,
Φ ( X ) = ∫ − ∞ X ϕ ( t ) d t = 1 2 ( 1 + erf ( X 2 ) ) { displaystyle Phi (x) = int _ {- infty} ^ {x} phi (t) , dt = { frac {1} {2}} left (1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right)} je odpovídající kumulativní distribuční funkce (kde erf je chybová funkce ) a
T ( h , A ) = ϕ ( h ) ∫ 0 A ϕ ( h X ) 1 + X 2 d X { displaystyle T (h, a) = phi (h) int _ {0} ^ {a} { frac { phi (hx)} {1 + x ^ {2}}} , dx} je Owenova T funkce .
trouba[poznámka 1]
Neomezené integrály ∫ ϕ ( X ) d X = Φ ( X ) + C { displaystyle int phi (x) , dx = Phi (x) + C} ∫ X ϕ ( X ) d X = − ϕ ( X ) + C { displaystyle int x phi (x) , dx = - phi (x) + C} ∫ X 2 ϕ ( X ) d X = Φ ( X ) − X ϕ ( X ) + C { displaystyle int x ^ {2} phi (x) , dx = Phi (x) -x phi (x) + C} ∫ X 2 k + 1 ϕ ( X ) d X = − ϕ ( X ) ∑ j = 0 k ( 2 k ) ! ! ( 2 j ) ! ! X 2 j + C { displaystyle int x ^ {2k + 1} phi (x) , dx = - phi (x) součet _ {j = 0} ^ {k} { frac {(2k) !!} { (2j) !!}} x ^ {2j} + C} [pozn. 2] ∫ X 2 k + 2 ϕ ( X ) d X = − ϕ ( X ) ∑ j = 0 k ( 2 k + 1 ) ! ! ( 2 j + 1 ) ! ! X 2 j + 1 + ( 2 k + 1 ) ! ! Φ ( X ) + C { displaystyle int x ^ {2k + 2} phi (x) , dx = - phi (x) součet _ {j = 0} ^ {k} { frac {(2k + 1) !! } {(2j + 1) !!}} x ^ {2j + 1} + (2k + 1) !! , Phi (x) + C} V těchto integrálech n !! je dvojitý faktoriál : pro sudý n rovná se součinu všech sudých čísel od 2 do n a pro zvláštní n je to součin všech lichých čísel od 1 do n ; dále se předpokládá, že 0!! = (−1)!! = 1 .
∫ ϕ ( X ) 2 d X = 1 2 π Φ ( X 2 ) + C { displaystyle int phi (x) ^ {2} , dx = { frac {1} {2 { sqrt { pi}}}} Phi left (x { sqrt {2}} vpravo) + C} ∫ ϕ ( X ) ϕ ( A + b X ) d X = 1 t ϕ ( A t ) Φ ( t X + A b t ) + C , t = 1 + b 2 { displaystyle int phi (x) phi (a + bx) , dx = { frac {1} {t}} phi doleva ({ frac {a} {t}} doprava) Phi left (tx + { frac {ab} {t}} right) + C, qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}} [pozn. 3] ∫ X ϕ ( A + b X ) d X = − 1 b 2 ( ϕ ( A + b X ) + A Φ ( A + b X ) ) + C { displaystyle int x phi (a + bx) , dx = - { frac {1} {b ^ {2}}} left ( phi (a + bx) + a Phi (a + bx ) vpravo) + C} ∫ X 2 ϕ ( A + b X ) d X = 1 b 3 ( ( A 2 + 1 ) Φ ( A + b X ) + ( A − b X ) ϕ ( A + b X ) ) + C { displaystyle int x ^ {2} phi (a + bx) , dx = { frac {1} {b ^ {3}}} vlevo ((a ^ {2} +1) Phi ( a + bx) + (a-bx) phi (a + bx) vpravo) + C} ∫ ϕ ( A + b X ) n d X = 1 b n ( 2 π ) n − 1 Φ ( n ( A + b X ) ) + C { displaystyle int phi (a + bx) ^ {n} , dx = { frac {1} {b { sqrt {n (2 pi) ^ {n-1}}}}} Phi left ({ sqrt {n}} (a + bx) right) + C} ∫ Φ ( A + b X ) d X = 1 b ( ( A + b X ) Φ ( A + b X ) + ϕ ( A + b X ) ) + C { displaystyle int Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {b}} vlevo ((a + bx) Phi (a + bx) + phi (a + bx) vpravo) + C} ∫ X Φ ( A + b X ) d X = 1 2 b 2 ( ( b 2 X 2 − A 2 − 1 ) Φ ( A + b X ) + ( b X − A ) ϕ ( A + b X ) ) + C { displaystyle int x Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {2b ^ {2}}} vlevo ((b ^ {2} x ^ {2} -a ^ {2 } -1) Phi (a + bx) + (bx-a) phi (a + bx) vpravo) + C} ∫ X 2 Φ ( A + b X ) d X = 1 3 b 3 ( ( b 3 X 3 + A 3 + 3 A ) Φ ( A + b X ) + ( b 2 X 2 − A b X + A 2 + 2 ) ϕ ( A + b X ) ) + C { displaystyle int x ^ {2} Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {3b ^ {3}}} vlevo ((b ^ {3} x ^ {3} + a ^ {3} + 3a) Phi (a + bx) + (b ^ {2} x ^ {2} -abx + a ^ {2} +2) phi (a + bx) vpravo) + C } ∫ X n Φ ( X ) d X = 1 n + 1 ( ( X n + 1 − n X n − 1 ) Φ ( X ) + X n ϕ ( X ) + n ( n − 1 ) ∫ X n − 2 Φ ( X ) d X ) + C { displaystyle int x ^ {n} Phi (x) , dx = { frac {1} {n + 1}} left ( left (x ^ {n + 1} -nx ^ {n- 1} right) Phi (x) + x ^ {n} phi (x) + n (n-1) int x ^ {n-2} Phi (x) , dx right) + C } ∫ X ϕ ( X ) Φ ( A + b X ) d X = b t ϕ ( A t ) Φ ( X t + A b t ) − ϕ ( X ) Φ ( A + b X ) + C , t = 1 + b 2 { displaystyle int x phi (x) Phi (a + bx) , dx = { frac {b} {t}} phi doleva ({ frac {a} {t}} doprava) Phi left (xt + { frac {ab} {t}} right) - phi (x) Phi (a + bx) + C, qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2} }}} ∫ Φ ( X ) 2 d X = X Φ ( X ) 2 + 2 Φ ( X ) ϕ ( X ) − 1 π Φ ( X 2 ) + C { displaystyle int Phi (x) ^ {2} , dx = x Phi (x) ^ {2} +2 Phi (x) phi (x) - { frac {1} { sqrt { pi}}} Phi vlevo (x { sqrt {2}} vpravo) + C} ∫ E C X ϕ ( b X ) n d X = E C 2 2 n b 2 b n ( 2 π ) n − 1 Φ ( b 2 X n − C b n ) + C , b ≠ 0 , n > 0 { displaystyle int e ^ {cx} phi (bx) ^ {n} , dx = { frac {e ^ { frac {c ^ {2}} {2nb ^ {2}}}} {b { sqrt {n (2 pi) ^ {n-1}}}}} Phi left ({ frac {b ^ {2} xn-c} {b { sqrt {n}}}}} vpravo) + C, qquad b neq 0, n> 0} Určité integrály ∫ − ∞ ∞ X 2 ϕ ( X ) n d X = 1 n 3 ( 2 π ) n − 1 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} phi (x) ^ {n} , dx = { frac {1} { sqrt {n ^ {3} ( 2 pi) ^ {n-1}}}}} ∫ − ∞ 0 ϕ ( A X ) Φ ( b X ) d X = 1 2 π | A | ( π 2 − arktan ( b | A | ) ) { displaystyle int _ {- infty} ^ {0} phi (sekera) Phi (bx) dx = { frac {1} {2 pi | a |}} left ({ frac { pi} {2}} - arctan left ({ frac {b} {| a |}} right) right)} ∫ 0 ∞ ϕ ( A X ) Φ ( b X ) d X = 1 2 π | A | ( π 2 + arktan ( b | A | ) ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} phi (sekera) Phi (bx) , dx = { frac {1} {2 pi | a |}} left ({ frac { pi} {2}} + arctan left ({ frac {b} {| a |}} right) right)} ∫ 0 ∞ X ϕ ( X ) Φ ( b X ) d X = 1 2 2 π ( 1 + b 1 + b 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x phi (x) Phi (bx) , dx = { frac {1} {2 { sqrt {2 pi}}}}} vlevo (1 + { frac {b} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} vpravo)} ∫ 0 ∞ X 2 ϕ ( X ) Φ ( b X ) d X = 1 4 + 1 2 π ( b 1 + b 2 + arktan ( b ) ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2} phi (x) Phi (bx) , dx = { frac {1} {4}} + { frac {1} {2 pi}} left ({ frac {b} {1 + b ^ {2}}} + arctan (b) right)} ∫ 0 ∞ X ϕ ( X ) 2 Φ ( X ) d X = 1 4 π 3 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x phi (x) ^ {2} Phi (x) , dx = { frac {1} {4 pi { sqrt {3}} }}} ∫ 0 ∞ Φ ( b X ) 2 ϕ ( X ) d X = 1 2 π ( arktan ( b ) + arktan 1 + 2 b 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} Phi (bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {1} {2 pi}} left ( arctan ( b) + arctan { sqrt {1 + 2b ^ {2}}} vpravo)} ∫ − ∞ ∞ Φ ( A + b X ) 2 ϕ ( X ) d X = Φ ( A 1 + b 2 ) − 2 T ( A 1 + b 2 , 1 1 + 2 b 2 ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (a + bx) ^ {2} phi (x) , dx = Phi left ({ frac {a} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} vpravo) -2T vlevo ({ frac {a} { sqrt {1 + b ^ {2}}}}, { frac {1} { sqrt { 1 + 2b ^ {2}}}} vpravo)} ∫ − ∞ ∞ X Φ ( A + b X ) 2 ϕ ( X ) d X = 2 b 1 + b 2 ϕ ( A t ) Φ ( A 1 + b 2 1 + 2 b 2 ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x Phi (a + bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {2b} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} phi left ({ frac {a} {t}} right) Phi left ({ frac {a} {{ sqrt {1 + b ^ {2}}} { sqrt {1 + 2b ^ {2}}}}} vpravo)} [pozn. 4] ∫ − ∞ ∞ Φ ( b X ) 2 ϕ ( X ) d X = 1 π arktan 1 + 2 b 2 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {1} { pi}} arctan { sqrt {1 + 2b ^ {2}}}} ∫ − ∞ ∞ X ϕ ( X ) Φ ( b X ) d X = ∫ − ∞ ∞ X ϕ ( X ) Φ ( b X ) 2 d X = b 2 π ( 1 + b 2 ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x phi (x) Phi (bx) , dx = int _ {- infty} ^ { infty} x phi (x) Phi (bx) ^ {2} , dx = { frac {b} { sqrt {2 pi (1 + b ^ {2})}}}} ∫ − ∞ ∞ Φ ( A + b X ) ϕ ( X ) d X = Φ ( A 1 + b 2 ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (a + bx) phi (x) , dx = Phi left ({ frac {a} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} vpravo)} ∫ − ∞ ∞ X Φ ( A + b X ) ϕ ( X ) d X = b t ϕ ( A t ) , t = 1 + b 2 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x Phi (a + bx) phi (x) , dx = { frac {b} {t}} phi left ({ frac {a} {t}} vpravo), qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}} ∫ 0 ∞ X Φ ( A + b X ) ϕ ( X ) d X = b t ϕ ( A t ) Φ ( − A b t ) + 1 2 π Φ ( A ) , t = 1 + b 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x Phi (a + bx) phi (x) , dx = { frac {b} {t}} phi left ({ frac { a} {t}} right) Phi left (- { frac {ab} {t}} right) + { frac {1} { sqrt {2 pi}}} Phi (a) , qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}} ∫ − ∞ ∞ ln ( X 2 ) 1 σ ϕ ( X σ ) d X = ln ( σ 2 ) − y − ln 2 ≈ ln ( σ 2 ) − 1.27036 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ln (x ^ {2}) { frac {1} { sigma}} phi left ({ frac {x} { sigma }} right) , dx = ln ( sigma ^ {2}) - gamma - ln 2 cca ln ( sigma ^ {2}) - 1,27036} Reference Patel, Jagdish K .; Přečtěte si, Campbell B. (1996). Příručka normálního rozdělení (2. vyd.). CRC Press. ISBN 0-8247-9342-0 CS1 maint: ref = harv (odkaz) Owen, D. (1980). Msgstr "Tabulka normálních integrálů". Komunikace ve statistice: Simulace a výpočet . B9 : 389–419. CS1 maint: ref = harv (odkaz)
