v matematika the neurčitý součet operátor (také známý jako antidifference operátor), označeno ∑ X {displaystyle sum _ {x}} Δ − 1 {displaystyle Delta ^ {- 1}} [1] [2] [3] lineární operátor , inverzní k operátor dopředného rozdílu Δ {displaystyle Delta} operátor dopředného rozdílu jako neurčitý integrál se vztahuje k derivát . Tím pádem
Δ ∑ X F ( X ) = F ( X ) . {displaystyle Delta sum _ {x} f (x) = f (x) ,.} Přesněji řečeno, pokud ∑ X F ( X ) = F ( X ) {displaystyle sum _ {x} f (x) = F (x)}
F ( X + 1 ) − F ( X ) = F ( X ) . {displaystyle F (x + 1) -F (x) = f (x) ,.} Li F (X ) je řešením této funkční rovnice pro daný F (X ), tak je F (X )+C (x) pro jakoukoli periodickou funkci C (x) s periodou 1. Proto každý neurčitý součet ve skutečnosti představuje rodinu funkcí. Řešení je však stejné Newtonova řada expanze je jedinečná až do aditivní konstanty C. Toto jedinečné řešení může být reprezentováno formální formou výkonové řady antidifferenčního operátoru: Δ − 1 = 1 E D − 1 {displaystyle Delta ^ {- 1} = {frac {1} {e ^ {D} -1}}}
Základní věta diskrétního počtu Neurčité součty lze použít k výpočtu určitých součtů pomocí vzorce:[4]
∑ k = A b F ( k ) = Δ − 1 F ( b + 1 ) − Δ − 1 F ( A ) {displaystyle sum _ {k = a} ^ {b} f (k) = Delta ^ {- 1} f (b + 1) -Delta ^ {- 1} f (a)} Definice Laplaceův součtový vzorec ∑ X F ( X ) = ∫ 0 X F ( t ) d t − ∑ k = 1 ∞ C k Δ k − 1 F ( X ) k ! + C {displaystyle sum _ {x} f (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) dt-sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {c_ {k} Delta ^ {k- 1} f (x)} {k!}} + C} kde C k = ∫ 0 1 Γ ( X + 1 ) Γ ( X − k + 1 ) d X {displaystyle c_ {k} = int _ {0} ^ {1} {frac {gama (x + 1)} {gama (x-k + 1)}} dx} [5] [Citace je zapotřebí Newtonův vzorec ∑ X F ( X ) = ∑ k = 1 ∞ ( X k ) Δ k − 1 [ F ] ( 0 ) + C = ∑ k = 1 ∞ Δ k − 1 [ F ] ( 0 ) k ! ( X ) k + C {displaystyle sum _ {x} f (x) = součet _ {k = 1} ^ {infty} {jin {x} {k}} Delta ^ {k-1} [f] left (0ight) + C = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {Delta ^ {k-1} [f] (0)} {k!}} (x) _ {k} + C} kde ( X ) k = Γ ( X + 1 ) Γ ( X − k + 1 ) {displaystyle (x) _ {k} = {frac {Gamma (x + 1)} {Gamma (x-k + 1)}}} klesající faktoriál . Faulhaberův vzorec ∑ X F ( X ) = ∑ n = 1 ∞ F ( n − 1 ) ( 0 ) n ! B n ( X ) + C , {displaystyle sum _ {x} f (x) = součet _ {n = 1} ^ {infty} {frac {f ^ {(n-1)} (0)} {n!}} B_ {n} (x ) + C ,,} za předpokladu, že pravá strana rovnice konverguje.
Muellerův vzorec Li lim X → + ∞ F ( X ) = 0 , {displaystyle lim _ {x o {+ infty}} f (x) = 0,} [6]
∑ X F ( X ) = ∑ n = 0 ∞ ( F ( n ) − F ( n + X ) ) + C . {displaystyle sum _ {x} f (x) = součet _ {n = 0} ^ {infty} left (f (n) -f (n + x) ight) + C.} Euler – Maclaurin vzorec ∑ X F ( X ) = ∫ 0 X F ( t ) d t − 1 2 F ( X ) + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! F ( 2 k − 1 ) ( X ) + C {displaystyle sum _ {x} f (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) dt- {frac {1} {2}} f (x) + součet _ {k = 1} ^ { infty} {frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (x) + C} Volba konstantního termínu Konstanta C v neurčitém součtu je často fixována z následující podmínky.
Nechat
F ( X ) = ∑ X F ( X ) + C {displaystyle F (x) = součet _ {x} f (x) + C} Potom je konstanta C fixní z podmínky
∫ 0 1 F ( X ) d X = 0 {displaystyle int _ {0} ^ {1} F (x) dx = 0} nebo
∫ 1 2 F ( X ) d X = 0 {displaystyle int _ {1} ^ {2} F (x) dx = 0} Alternativně lze použít Ramanujanovu částku:
∑ X ≥ 1 ℜ F ( X ) = − F ( 0 ) − F ( 0 ) {displaystyle sum _ {xgeq 1} ^ {Re} f (x) = - f (0) -F (0)} nebo v 1
∑ X ≥ 1 ℜ F ( X ) = − F ( 1 ) {displaystyle sum _ {xgeq 1} ^ {Re} f (x) = - F (1)} resp[7] [8]
Souhrn podle částí Neomezené shrnutí po částech:
∑ X F ( X ) Δ G ( X ) = F ( X ) G ( X ) − ∑ X ( G ( X ) + Δ G ( X ) ) Δ F ( X ) {displaystyle sum _ {x} f (x) Delta g (x) = f (x) g (x) -sum _ {x} (g (x) + Delta g (x)) Delta f (x)} ∑ X F ( X ) Δ G ( X ) + ∑ X G ( X ) Δ F ( X ) = F ( X ) G ( X ) − ∑ X Δ F ( X ) Δ G ( X ) {displaystyle sum _ {x} f (x) Delta g (x) + součet _ {x} g (x) Delta f (x) = f (x) g (x) - součet _ {x} Delta f (x ) Delta g (x)} Jednoznačné shrnutí po částech:
∑ i = A b F ( i ) Δ G ( i ) = F ( b + 1 ) G ( b + 1 ) − F ( A ) G ( A ) − ∑ i = A b G ( i + 1 ) Δ F ( i ) {displaystyle sum _ {i = a} ^ {b} f (i) Delta g (i) = f (b + 1) g (b + 1) -f (a) g (a) -sum _ {i = a} ^ {b} g (i + 1) Delta f (i)} Pravidla období Li T {displaystyle T} F ( X ) {displaystyle f (x)}
∑ X F ( T X ) = X F ( T X ) + C {displaystyle sum _ {x} f (Tx) = xf (Tx) + C} Li T {displaystyle T} F ( X ) {displaystyle f (x)} F ( X + T ) = − F ( X ) {displaystyle f (x + T) = - f (x)}
∑ X F ( T X ) = − 1 2 F ( T X ) + C {displaystyle sum _ {x} f (Tx) = - {frac {1} {2}} f (Tx) + C} Alternativní použití Někteří autoři používají frázi „neurčitý součet“ k popisu součtu, ve kterém není uvedena číselná hodnota horní hranice:
∑ k = 1 n F ( k ) . {displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} f (k).} V tomto případě uzavřený výraz F (k ) pro součet je řešení
F ( X + 1 ) − F ( X ) = F ( X + 1 ) {displaystyle F (x + 1) -F (x) = f (x + 1)} který se nazývá teleskopická rovnice.[9] zpětný rozdíl ∇ {displaystyle abla}
Seznam neurčitých částek Toto je seznam neurčitých součtů různých funkcí. Ne každá funkce má neurčitý součet, který lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí.
Antidiference racionálních funkcí ∑ X A = A X + C {displaystyle sum _ {x} a = ax + C} ∑ X X = X 2 2 − X 2 + C {displaystyle sum _ {x} x = {frac {x ^ {2}} {2}} - {frac {x} {2}} + C} ∑ X X A = B A + 1 ( X ) A + 1 + C , A ∉ Z − {displaystyle sum _ {x} x ^ {a} = {frac {B_ {a + 1} (x)} {a + 1}} + C ,, aotin mathbb {Z} ^ {-}} kde B A ( X ) = − A ζ ( − A + 1 , X ) {displaystyle B_ {a} (x) = - azeta (-a + 1, x)} Bernoulliho polynomy . ∑ X X A = ( − 1 ) A − 1 ψ ( − A − 1 ) ( X ) Γ ( − A ) + C , A ∈ Z − {displaystyle sum _ {x} x ^ {a} = {frac {(-1) ^ {a-1} psi ^ {(- a-1)} (x)} {Gamma (-a)}} + C ,, ain mathbb {Z} ^ {-}} kde ψ ( n ) ( X ) {displaystyle psi ^ {(n)} (x)} funkce polygammy . ∑ X 1 X = ψ ( X ) + C {displaystyle sum _ {x} {frac {1} {x}} = psi (x) + C} kde ψ ( X ) {displaystyle psi (x)} funkce digamma . ∑ X B A ( X ) = ( X − 1 ) B A ( X ) − A A + 1 B A + 1 ( X ) + C {displaystyle sum _ {x} B_ {a} (x) = (x-1) B_ {a} (x) - {frac {a} {a + 1}} B_ {a + 1} (x) + C } Antidiference exponenciálních funkcí ∑ X A X = A X A − 1 + C {displaystyle sum _ {x} a ^ {x} = {frac {a ^ {x}} {a-1}} + C} Zejména,
∑ X 2 X = 2 X + C {displaystyle sum _ {x} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} + C} Antidiference logaritmických funkcí ∑ X log b X = log b Γ ( X ) + C {displaystyle sum _ {x} log _ {b} x = log _ {b} Gamma (x) + C} ∑ X log b A X = log b ( A X − 1 Γ ( X ) ) + C {displaystyle sum _ {x} log _ {b} ax = log _ {b} (a ^ {x-1} Gamma (x)) + C} Antidiference hyperbolických funkcí ∑ X sinh A X = 1 2 csch ( A 2 ) hovno ( A 2 − A X ) + C {displaystyle sum _ {x} sinh ax = {frac {1} {2}} operatorname {csch} left ({frac {a} {2}} ight) cosh left ({frac {a} {2}} - axight ) + C} ∑ X hovno A X = 1 2 csch ( A 2 ) sinh ( A X − A 2 ) + C {displaystyle sum _ {x} cosh ax = {frac {1} {2}} operatorname {csch} left ({frac {a} {2}} ight) sinh left (ax- {frac {a} {2}} ight) + C} ∑ X tanh A X = 1 A ψ E A ( X − i π 2 A ) + 1 A ψ E A ( X + i π 2 A ) − X + C {displaystyle sum _ {x} anh ax = {frac {1} {a}} psi _ {e ^ {a}} vlevo (x- {frac {ipi} {2a}} ight) + {frac {1} { a}} psi _ {e ^ {a}} vlevo (x + {frac {ipi} {2a}} vpravo) -x + C} kde ψ q ( X ) {displaystyle psi _ {q} (x)} q-digamma funkce. Antidiference trigonometrických funkcí ∑ X hřích A X = − 1 2 csc ( A 2 ) cos ( A 2 − A X ) + C , A ≠ 2 n π {displaystyle sum _ {x} sin ax = - {frac {1} {2}} csc left ({frac {a} {2}} ight) cos left ({frac {a} {2}} - axight) + C ,,,, aeq 2npi} ∑ X cos A X = 1 2 csc ( A 2 ) hřích ( A X − A 2 ) + C , A ≠ 2 n π {displaystyle sum _ {x} cos ax = {frac {1} {2}} csc left ({frac {a} {2}} ight) sin left (ax- {frac {a} {2}} ight) + C ,,,, aeq 2npi} ∑ X hřích 2 A X = X 2 + 1 4 csc ( A ) hřích ( A − 2 A X ) + C , A ≠ n π {displaystyle sum _ {x} sin ^ {2} ax = {frac {x} {2}} + {frac {1} {4}} csc (a) sin (a-2ax) + C ,,,,, aeq npi} ∑ X cos 2 A X = X 2 − 1 4 csc ( A ) hřích ( A − 2 A X ) + C , A ≠ n π {displaystyle sum _ {x} cos ^ {2} ax = {frac {x} {2}} - {frac {1} {4}} csc (a) sin (a-2ax) + C ,,,,, aeq npi} ∑ X opálení A X = i X − 1 A ψ E 2 i A ( X − π 2 A ) + C , A ≠ n π 2 {displaystyle sum _ {x} an ax = ix- {frac {1} {a}} psi _ {e ^ {2ia}} left (x- {frac {pi} {2a}} ight) + C ,,, , aeq {frac {npi} {2}}} kde ψ q ( X ) {displaystyle psi _ {q} (x)} q-digamma funkce. ∑ X opálení X = i X − ψ E 2 i ( X + π 2 ) + C = − ∑ k = 1 ∞ ( ψ ( k π − π 2 + 1 − X ) + ψ ( k π − π 2 + X ) − ψ ( k π − π 2 + 1 ) − ψ ( k π − π 2 ) ) + C {displaystyle sum _ {x} an x = ix-psi _ {e ^ {2i}} left (x + {frac {pi} {2}} ight) + C = -sum _ {k = 1} ^ {infty} left (psi left (kpi - {frac {pi} {2}} + 1-xight) + psi left (kpi - {frac {pi} {2}} x xight) -psi left (kpi - {frac {pi} {2}} + 1ight) -psi left (kpi - {frac {pi} {2}} ight) ight) + C} ∑ X dětská postýlka A X = − i X − i ψ E 2 i A ( X ) A + C , A ≠ n π 2 {displaystyle sum _ {x} postýlka ax = -ix- {frac {ipsi _ {e ^ {2ia}} (x)} {a}} + C ,,,, aeq {frac {npi} {2}}} Antidiference inverzních hyperbolických funkcí ∑ X artanh A X = 1 2 ln ( Γ ( X + 1 A ) Γ ( X − 1 A ) ) + C {displaystyle sum _ {x} operatorname {artanh}, ax = {frac {1} {2}} ln left ({frac {Gamma left (x + {frac {1} {a}} ight)} {Gamma left (x - {frac {1} {a}} ight)}} ight) + C} Antidiference inverzních trigonometrických funkcí ∑ X arktan A X = i 2 ln ( Γ ( X + i A ) Γ ( X − i A ) ) + C {displaystyle sum _ {x} arctan ax = {frac {i} {2}} ln left ({frac {Gamma (x + {frac {i} {a}})}} {Gamma (x- {frac {i} { a}})}} hned) + C} Antidiference speciálních funkcí ∑ X ψ ( X ) = ( X − 1 ) ψ ( X ) − X + C {displaystyle sum _ {x} psi (x) = (x-1) psi (x) -x + C} ∑ X Γ ( X ) = ( − 1 ) X + 1 Γ ( X ) Γ ( 1 − X , − 1 ) E + C {displaystyle sum _ {x} Gamma (x) = (- 1) ^ {x + 1} Gamma (x) {frac {Gamma (1-x, -1)} {e}} + C} kde Γ ( s , X ) {displaystyle Gamma (s, x)} neúplná funkce gama . ∑ X ( X ) A = ( X ) A + 1 A + 1 + C {displaystyle sum _ {x} (x) _ {a} = {frac {(x) _ {a + 1}} {a + 1}} + C} kde ( X ) A {displaystyle (x) _ {a}} klesající faktoriál . ∑ X sexp A ( X ) = ln A ( sexp A ( X ) ) ′ ( ln A ) X + C {displaystyle sum _ {x} operatorname {sexp} _ {a} (x) = ln _ {a} {frac {(operatorname {sexp} _ {a} (x)) '} {(ln a) ^ {x }}} + C} (vidět superexponenciální funkce ) Viz také Reference ^ Neurčitý součet na PlanetMath.org . ^ O výpočtu uzavřených formulářů pro neurčité součty. Yiu-Kwong Man. J. Symbolic Computation (1993), 16, 355-376 [trvalý mrtvý odkaz ^ "Li Y je funkce, jejíž první rozdíl je funkce y , pak Y se nazývá neurčitý součet y a označeno Δ−1 y " Úvod do diferenciálních rovnic ^ „Příručka diskrétní a kombinatorické matematiky“, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 ^ Bernoulliho čísla druhého druhu na Mathworldu ^ Markus Müller. Jak přidat jiný než celočíselný počet výrazů a jak vytvořit neobvyklé nekonečné shrnutí Archivováno 17. 06. 2011 na Wayback Machine (všimněte si, že ve své práci používá mírně alternativní definici zlomkového součtu, tj. inverzní vůči zpětnému rozdílu, tedy 1 jako dolní limit ve svém vzorci)^ Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks Archivováno 2006-10-12 na Wayback Machine , Ramanujan's Theory of Divergent Series , Kapitola 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), str. 133–149. ^ Éric Delabaere, Ramanujanův součet , Seminář o algoritmech 2001–2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), s. 83–88. ^ Algoritmy pro nelineární diferenciální rovnice vyšších řádů , Manuel KauersDalší čtení „Difference Equations: An Introduction with Applications“, Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X Markus Müller. Jak přidat jiný než celočíselný počet výrazů a jak vytvořit neobvyklé nekonečné shrnutí Markus Mueller, Dierk Schleicher. Frakční částky a identity podobné Eulerovi S.P. Polyakov. Neurčitý součet racionálních funkcí s další minimalizací součetné části. Programmirovanie, 2008, roč. 34, č. 2. „Rovnice a simulace konečných rozdílů“, Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968 
![{displaystyle sum _ {x} f (x) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {jin {x} {k}} Delta ^ {k-1} [f] left (0ight) + C = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {Delta ^ {k-1} [f] (0)} {k!}} (x) _ {k} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6758a97991a0410ddfb47366eb53c4d7597ba5b5)
