Sophomores sen - Sophomores dream - Wikipedia

V matematice je sen druháka je dvojice identity (zejména první)

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {1} x ^ {- x} , dx & = sum _ {n = 1} ^ { infty} n ^ {- n} int _ {0} ^ {1} x ^ {x} , dx & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} n ^ {- n} = - sum _ {n = 1} ^ { infty} (- n) ^ {- n} end {zarovnáno}}}$

objeven v roce 1697 Johann Bernoulli.

Numerické hodnoty těchto konstant jsou přibližně 1,291285997 ... a 0,7834305107 ....

Jméno „sen druháka“, které se objevuje v (Borwein, Bailey & Girgensohn 2004 ), je na rozdíl od názvu „sen nováčků "který je dán nesprávnému^{[poznámka 1]} identita (X + y)ⁿ = Xⁿ + yⁿ. The druhák sen má podobný pocit, který je příliš dobrý na to, aby byl pravdivý, ale je to pravda.

Důkaz

Graf funkcí y = X^X (červená, spodní) a y = X^−X (šedá, horní) na intervalu X ∈ (0, 1].

Důkazy dvou identit jsou zcela analogické, takže je zde uveden pouze důkaz druhé. Klíčové složky důkazu jsou:

• psát X^X = exp (X logX) (pomocí zápisu exp (t) pro exponenciální funkce E^t na základnu E );
• rozšířit exp (X logX) za použití výkonová řada pro exp; a
• integrovat termwise pomocí integrace substitucí.

V detailech se jeden rozšiřuje X^X tak jako

${ displaystyle x ^ {x} = exp (x log x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n} ( log x) ^ {n}} {n!}}.}$

Proto, ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {x} , dx = int _ {0} ^ {1} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n} ( log x) ^ {n}} {n!}} , dx.}$

Podle jednotná konvergence z výkonové řady lze vyměnit součet a integraci za výtěžek

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {x} , dx = součet _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {1} { frac {x ^ {n} ( log x) ^ {n}} {n!}} , dx.}$

K vyhodnocení výše uvedených integrálů lze změnit proměnnou v integrálu pomocí substituce ${ displaystyle x = exp left (- { frac {u} {n + 1}} right).}$ S touto substitucí se hranice integrace transformují na ${ displaystyle 0$ dávat identitu

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {n} ( log x) ^ {n} , dx = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- (n + 1)} int _ {0} ^ { infty} u ^ {n} e ^ {- u} , du.}$

Podle Eulerova integrální identita pro Funkce gama, jeden má

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} u ^ {n} e ^ {- u} , du = n !,}$

aby

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {x ^ {n} ( log x) ^ {n}} {n!}} , dx = (- 1) ^ {n} ( n + 1) ^ {- (n + 1)}.}$

Jejich shrnutí (a změna indexování tak, aby to začalo na n = 1 místo n = 0) získá vzorec.

Historický důkaz

Původní doklad uvedený v Bernoulli (1697) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFBernoulli1697 (Pomoc), a prezentovány v modernizované podobě v roce 2006 Dunham (2005), se liší od výše uvedeného v tom, jak termwise integrál ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {n} ( log x) ^ {n} , dx}$ je vypočítán, ale jinak je stejný, vynecháním technických podrobností k ospravedlnění kroků (například integrace termwise). Spíše než integraci substitucí, čímž se získá funkce gama (která dosud nebyla známa), použil Bernoulli integrace po částech iterativně vypočítat tyto podmínky.

Integrace podle částí probíhá následovně, přičemž se dva exponenty mění nezávisle, aby se získala rekurze. Nejprve se vypočítá neurčitý integrál, přičemž se vynechá konstanta integrace ${ displaystyle + C}$ jednak proto, že k tomu došlo historicky, jednak proto, že při výpočtu určitého integrálu odpadá. Jeden se může integrovat ${ displaystyle int x ^ {m} ( log x) ^ {n} , dx}$ tím, že u = (log X)ⁿ a dv = X^m dx, který poskytuje:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int x ^ {m} ( log x) ^ {n} , dx & = { frac {x ^ {m + 1} ( log x) ^ {n}} {m + 1}} - { frac {n} {m + 1}} int x ^ {m + 1} { frac {( log x) ^ {n-1}} {x}} , dx qquad { text {(pro}} m neq -1 { text {)}} & = { frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} ( log x) ^ {n} - { frac {n} {m + 1}} int x ^ {m} ( log x) ^ {n-1} , dx qquad { text {(pro}} m neq -1 { text {)}} end {zarovnáno}}}$

(také v seznam integrálů logaritmických funkcí ). Tím se sníží síla logaritmu v integrandu o 1 (od ${ displaystyle n}$ na ${ displaystyle n-1}$) a tak lze vypočítat integrál indukčně, tak jako

${ displaystyle int x ^ {m} ( log x) ^ {n} , dx = { frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} cdot sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} { frac {(n) _ {i}} {(m + 1) ^ {i}}} ( log x) ^ {ni}}$

kde (n) _i označuje klesající faktoriál; existuje konečný součet, protože indukce se zastaví na 0, protože n je celé číslo.

V tomto případě m = n, a jsou to celá čísla, takže

${ displaystyle int x ^ {n} ( log x) ^ {n} , dx = { frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} cdot sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} { frac {(n) _ {i}} {(n + 1) ^ {i}}} ( log x) ^ {ni}.}$

Integrací od 0 do 1 všechny pojmy zmizí kromě posledního členu v 1,^{[poznámka 2]} který dává:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {x ^ {n} ( log x) ^ {n}} {n!}} , dx = { frac {1} {n! }} { frac {1 ^ {n + 1}} {n + 1}} (- 1) ^ {n} { frac {(n) _ {n}} {(n + 1) ^ {n} }} = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- (n + 1)}.}$

Z moderního hlediska je to (až do měřítkový faktor) ekvivalentní výpočtu Eulerovy integrální identity ${ displaystyle Gamma (n + 1) = n!}$ pro funkci gama na jiné doméně (což odpovídá změně proměnných substitucí), protože samotnou Eulerovu identitu lze také vypočítat analogickou integrací po částech.

Viz také

• Seriál (matematika)

Poznámky

Reference

Vzorec

Funkce