Skupinová teorie - Group theory

Populární puzzle Rubikova kostka vynalezl v roce 1974 Ernő Rubik byl použit jako ilustrace permutační skupiny. Vidět Rubikova kostka.

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika a abstraktní algebra, teorie skupin studuje algebraické struktury známý jako skupiny. Koncept skupiny je ústřední pro abstraktní algebru: další známé algebraické struktury, jako např prsteny, pole, a vektorové prostory, lze všechny považovat za skupiny obdařené dalšími operace a axiomy. Skupiny se v matematice opakují a metody teorie skupin ovlivnily mnoho částí algebry. Lineární algebraické skupiny a Lež skupiny jsou dvě větve teorie skupin, které zažily pokroky a samy se staly předmětovými oblastmi.

Různé fyzické systémy, jako např krystaly a atom vodíku, mohou být modelovány uživatelem skupiny symetrie. Tedy teorie skupin a úzce související teorie reprezentace mít mnoho důležitých aplikací v fyzika, chemie, a věda o materiálech. Teorie grup je také ústředním bodem kryptografie veřejného klíče.

Raný historie teorie grup pochází z 19. století. Jeden z nejdůležitějších matematických úspěchů 20. století^[1] byla snaha o spolupráci, která zabírala více než 10 000 stránek časopisů a byla většinou publikována v letech 1960 až 1980, která vyvrcholila úplným dokončením klasifikace konečných jednoduchých skupin.

Hlavní třídy skupin

Rozsah zvažovaných skupin se od roku postupně rozšiřoval konečný permutační skupiny a speciální příklady maticové skupiny do abstraktních skupin, které lze specifikovat pomocí a prezentace podle generátory a vztahy.

Permutační skupiny

První třída skupin podstoupit systematické studium bylo permutační skupiny. Vzhledem k jakékoli sadě X a sbírka G z bijekce z X do sebe (známé jako obměny) který je uzavřen pod kompozicemi a inverzemi, G je skupina herectví na X. Li X skládá se z n prvky a G skládá se z Všechno obměny, G je symetrická skupina S_n; obecně jakákoli permutační skupina G je podskupina symetrické skupiny X. Včasná stavba kvůli Cayley vystavil jakoukoli skupinu jako permutační skupinu, která na sebe působí (X = G) pomocí levé strany pravidelné zastoupení.

V mnoha případech lze strukturu permutační skupiny studovat pomocí vlastností jejího působení na odpovídající množině. Například tímto způsobem lze dokázat, že pro n ≥ 5, střídavá skupina A_n je jednoduchý, tj. nepřipouští žádné řádné normální podskupiny. Tato skutečnost hraje klíčovou roli v nemožnost řešení obecné algebraické rovnice stupně n ≥ 5 v radikálech.

Maticové skupiny

Další důležitá třída skupin je dána maticové skupinynebo lineární skupiny. Tady G je sada skládající se z invertible matice dané objednávky n přes pole K. která je uzavřena pod produkty a inverzí. Taková skupina působí na n-dimenzionální vektorový prostor K.ⁿ podle lineární transformace. Tato akce činí skupiny matic koncepčně podobné permutačním skupinám a geometrii akce lze užitečně využít ke stanovení vlastností skupiny G.

Transformační skupiny

Permutační skupiny a maticové skupiny jsou speciální případy transformační skupiny: skupiny, které působí na určitý prostor X zachování jeho vlastní struktury. V případě permutačních skupin X je sada; pro maticové skupiny, X je vektorový prostor. Koncept transformační skupiny úzce souvisí s konceptem a skupina symetrie: transformační skupiny často sestávají z Všechno transformace, které zachovávají určitou strukturu.

Teorie transformačních skupin tvoří most spojující teorii skupin s diferenciální geometrie. Dlouhá řada výzkumu pocházející z Lhát a Klein, považuje skupinové akce za rozdělovače podle homeomorfismy nebo difeomorfismy. Skupiny samy o sobě mohou být oddělený nebo kontinuální.

Abstraktní skupiny

Většina skupin uvažovaných v první fázi vývoje teorie skupin byla „konkrétní“, která byla realizována pomocí čísel, permutací nebo matic. Teprve na konci devatenáctého století se začala prosazovat myšlenka abstraktní skupiny jako souboru s operacemi uspokojujícími určitý systém axiomů. Typický způsob určení abstraktní skupiny je pomocí a prezentace podle generátory a vztahy,

${ displaystyle G = langle S | R rangle.}$

Významný zdroj abstraktních skupin je dán konstrukcí a skupina faktorůnebo kvocientová skupina, G/Hskupiny G podle a normální podskupina H. Skupiny tříd z algebraické číselné pole patřily k nejranějším příkladům skupin faktorů, o které byl velký zájem teorie čísel. Pokud skupina G je permutační skupina na množině X, skupina faktorů G/H již nepůsobí X; ale myšlenka abstraktní skupiny umožňuje člověku, aby si z tohoto rozporu nedělal starosti.

Díky změně pohledu z konkrétních na abstraktní skupiny je přirozené uvažovat o vlastnostech skupin, které jsou nezávislé na konkrétní realizaci nebo v moderním jazyce invariantní pod izomorfismus, stejně jako třídy skupiny s danou takovou vlastností: konečné skupiny, periodické skupiny, jednoduché skupiny, řešitelné skupiny, a tak dále. Spíše než zkoumat vlastnosti jednotlivé skupiny se člověk snaží získat výsledky, které se vztahují na celou třídu skupin. Nové paradigma mělo pro vývoj matematiky zásadní význam: předznamenalo vytvoření abstraktní algebra v pracích Hilbert, Emil Artin, Emmy Noetherová a matematici jejich školy.^{[Citace je zapotřebí ]}

Skupiny s další strukturou

K důležitému rozpracování konceptu skupiny dochází, pokud G je vybaven další strukturou, zejména a topologický prostor, diferencovatelné potrubí nebo algebraická rozmanitost. Pokud skupina funguje m (násobení) a i (inverze),

${ displaystyle m: G krát G až G, (g, h) mapsto gh, quad i: G až G, g mapsto g ^ {- 1},}$

jsou kompatibilní s touto strukturou, to znamená, že jsou kontinuální, hladký nebo pravidelný (ve smyslu algebraické geometrie) mapy G je topologická skupina, a Lež skupina, nebo algebraická skupina.^[2]

Přítomnost zvláštní struktury spojuje tyto typy skupin s jinými matematickými disciplínami a znamená, že v jejich studiu je k dispozici více nástrojů. Topologické skupiny tvoří přirozenou doménu pro abstraktní harmonická analýza, zatímco Lež skupiny (často realizované jako transformační skupiny) jsou základními pilíři diferenciální geometrie a unitární teorie reprezentace. Určité klasifikační otázky, které nelze obecně vyřešit, lze získat a vyřešit pro speciální podtřídy skupin. Tím pádem, kompaktní spojené Lieovy skupiny byly zcela klasifikovány. Mezi nekonečnými abstraktními skupinami a topologickými skupinami existuje plodný vztah: kdykoli skupina Γ lze realizovat jako mříž v topologické skupině G, geometrie a analýza týkající se G přinést důležité výsledky o Γ. Poměrně nedávný trend v teorii konečných skupin využívá jejich spojení s kompaktními topologickými skupinami (profinitní skupiny ): například jeden str-adická analytická skupina G má rodinu kvocientů, které jsou konečné str-skupiny různých objednávek a vlastností G přeložit do vlastností jeho konečných kvocientů.

Větve teorie grup

Teorie konečných grup

Během dvacátého století matematici zkoumali některé aspekty teorie konečných grup do hloubky, zejména místní teorie konečných grup a teorie řešitelný a nilpotentní skupiny.^{[Citace je zapotřebí ]} V důsledku toho kompletní klasifikace konečných jednoduchých skupin bylo dosaženo, což znamená, že všichni ti jednoduché skupiny ze kterých lze sestavit všechny konečné skupiny, jsou nyní známy.

V průběhu druhé poloviny dvacátého století matematici jako např Chevalley a Steinberg také zvýšilo naše chápání konečných analogů klasické skupiny a další související skupiny. Jednou z takových skupin skupin je rodina obecné lineární skupiny přes konečná pole. Při uvažování se často vyskytují konečné skupiny symetrie matematických nebo fyzických objektů, když tyto objekty připouštějí jen konečný počet transformací zachovávajících strukturu. Teorie Lež skupiny, které lze považovat za řešení „spojitá symetrie ", je silně ovlivněna přidruženými Weylovy skupiny. Jedná se o konečné skupiny generované odrazy, které působí na konečně-dimenzionální Euklidovský prostor. Vlastnosti konečných skupin tak mohou hrát roli u předmětů, jako jsou teoretická fyzika a chemie.

Zastoupení skupin

Říkám, že skupina G činy na setu X znamená, že každý prvek G definuje bijektivní mapu na scéně X způsobem slučitelným se strukturou skupiny. Když X má více struktury, je užitečné tento pojem dále omezit: reprezentaci G na vektorový prostor PROTI je skupinový homomorfismus:

${ displaystyle rho: G k operatorname {GL} (V),}$

kde GL (PROTI) se skládá z invertible lineární transformace z PROTI. Jinými slovy, ke každému prvku skupiny G je přiděleno automorfismus ρ(G) takové, že ρ(G) ∘ ρ(h) = ρ(gh) pro všechny h v G.

Tuto definici lze chápat ve dvou směrech, z nichž oba vedou ke vzniku zcela nových oblastí matematiky.^[3] Na jedné straně to může přinést nové informace o skupině G: často skupinová operace v G je abstraktně uveden, ale prostřednictvím ρ, odpovídá násobení matic, což je velmi explicitní.^[4] Na druhou stranu, vzhledem k dobře pochopené skupině působící na komplikovaný objekt, to zjednodušuje studium daného objektu. Například pokud G je konečný, to je známý že PROTI výše se rozkládá na neredukovatelné části. Tyto části jsou zase mnohem snáze zvládnutelné než celek PROTI (přes Schurovo lemma ).

Vzhledem ke skupině G, teorie reprezentace pak se zeptá, jaké reprezentace G existovat. Existuje několik nastavení a použité metody a získané výsledky jsou v každém případě poněkud odlišné: teorie reprezentace konečných grup a reprezentace Lež skupiny jsou dvě hlavní subdomény teorie. Celkem reprezentací se řídí skupiny postavy. Například, Fourierovy polynomy lze interpretovat jako znaky U (1), skupina komplexní čísla z absolutní hodnota 1jednající na L² -prostor periodických funkcí.

Teorie lži

A Lež skupina je skupina to je také a diferencovatelné potrubí, s vlastností, že operace skupiny jsou kompatibilní s hladká struktura. Ložní skupiny jsou pojmenovány Sophus Lie, který položil základy teorie spojitosti transformační skupiny. Termín groupes de Lie se poprvé objevil ve francouzštině v roce 1893 v práci Lieova studenta Arthur Tresse, strana 3.^[5]

Lieovy skupiny představují nejrozvinutější teorii spojitá symetrie z matematické objekty a struktur, což z nich dělá nepostradatelné nástroje pro mnoho částí současné matematiky i pro moderní teoretická fyzika. Poskytují přirozený rámec pro analýzu spojitých symetrií diferenciální rovnice (diferenciální Galoisova teorie ), v podstatě stejným způsobem jako permutační skupiny jsou používány v Galoisova teorie pro analýzu diskrétních symetrií algebraické rovnice. Jednou z hlavních Lieových motivací bylo rozšíření Galoisovy teorie na případy skupin spojité symetrie.

Kombinatorická a geometrická teorie grup

Skupiny lze popsat různými způsoby. Konečné skupiny lze popsat zapsáním skupinový stůl skládající se ze všech možných násobení G • h. Kompaktnějším způsobem definování skupiny je generátory a vztahy, také nazývaný prezentace skupiny. Vzhledem k jakékoli sadě F generátorů ${ displaystyle {g_ {i} } _ {i v I}}$, volná skupina generováno uživatelem F surjects into the group G. Jádro této mapy se nazývá podskupina relací, generovaná nějakou podmnožinou D. Prezentace je obvykle označena ${ displaystyle langle F mid D rangle.}$ Například skupinová prezentace ${ displaystyle langle a, b mid aba ^ {- 1} b ^ {- 1} rangle}$ popisuje skupinu, která je isomorfní s ${ displaystyle mathbb {Z} krát mathbb {Z}.}$ Řetězec skládající se ze symbolů generátoru a jejich inverzí se nazývá a slovo.

Teorie kombinatorické grupy studuje skupiny z pohledu generátorů a vztahů.^[6] Je obzvláště užitečné, když jsou splněny předpoklady konečnosti, například konečně generované skupiny nebo konečně prezentované skupiny (tj. Navíc jsou vztahy konečné). Tato oblast využívá připojení grafy prostřednictvím jejich základní skupiny. Například lze ukázat, že každá podskupina volné skupiny je zdarma.

Existuje několik přirozených otázek vyplývajících z toho, že dáte skupině její prezentaci. The slovní úloha zeptá se, zda jsou dvě slova ve skutečnosti stejný prvek skupiny. Vztahováním problému k Turingovy stroje, lze ukázat, že obecně neexistuje algoritmus řešení tohoto úkolu. Dalším, obecně těžším, algoritmicky neřešitelným problémem je problém skupinového izomorfismu, který se ptá, zda jsou dvě skupiny dané různými prezentacemi ve skutečnosti izomorfní. Například skupina s prezentací ${ displaystyle langle x, y mid xyxyx = e rangle,}$ je isomorfní se skupinou aditiv Z celých čísel, i když to nemusí být hned zřejmé.^[7]

Cayleyův graf ⟨x, y ∣⟩, volná skupina 2. úrovně.

Teorie geometrických grup napadá tyto problémy z geometrického hlediska, a to buď prohlížením skupin jako geometrických objektů, nebo hledáním vhodných geometrických objektů, na které skupina působí.^[8] První myšlenka je upřesněna pomocí Cayleyův graf, jehož vrcholy odpovídají skupinovým prvkům a hrany odpovídají správnému násobení ve skupině. Vzhledem k tomu, dva prvky, jeden konstruuje slovo metrické dáno délkou minimální cesty mezi prvky. Věta o Milnor a Svarc pak říká, že vzhledem ke skupině G rozumným způsobem jedná o metrický prostor X, například a kompaktní potrubí, pak G je kvazi-izometrický (tj. z dálky vypadá podobně) jako prostor X.

Spojení skupin a symetrie

Vzhledem ke strukturovanému objektu X jakéhokoli druhu, a symetrie je mapování objektu na sebe, které zachovává strukturu. K tomu dochází například v mnoha případech

1. Li X je množina bez další struktury, symetrie je a bijektivní mapa ze sady na sebe, což vede k permutační skupiny.
2. Pokud objekt X je sada bodů v rovině s jeho metrický struktura nebo jakýkoli jiný metrický prostor, symetrie je a bijekce soupravy k sobě, která zachovává vzdálenost mezi každou dvojicí bodů (an izometrie ). Volá se odpovídající skupina izometrická skupina z X.
3. Pokud místo úhly jsou zachovány, o čem se mluví konformní mapy. Vznikají konformní mapy Kleinianské skupiny, například.
4. Symetrie nejsou omezeny na geometrické objekty, ale zahrnují také algebraické objekty. Například rovnice ${ displaystyle x ^ {2} -3 = 0}$ má dvě řešení ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ a ${ displaystyle - { sqrt {3}}}$. V tomto případě je skupina, která si vyměňuje dva kořeny, Galoisova skupina patřící do rovnice. Každá polynomiální rovnice v jedné proměnné má skupinu Galois, což je určitá permutační skupina na svých kořenech.

Axiomy skupiny formalizují základní aspekty symetrie. Symetrie tvoří skupinu: jsou Zavřeno protože pokud vezmete symetrii objektu a poté použijete jinou symetrii, výsledkem bude stále symetrie. Identita udržující objekt fixovaný je vždy symetrie objektu. Existence inverzí je zaručena zrušením symetrie a asociativita vychází ze skutečnosti, že symetrie jsou funkce v prostoru a složení funkcí je asociativní.

Fruchtova věta říká, že každá skupina je skupinou symetrie některých graf. Takže každá abstraktní skupina je ve skutečnosti symetrií nějakého explicitního objektu.

Výrok „zachování struktury“ objektu lze zpřesnit prací v a kategorie. Mapy zachovávající strukturu jsou pak morfismy a skupina symetrie je automorfická skupina předmětného objektu.

Aplikace teorie grup

Aplikace teorie skupin je nepřeberné množství. Téměř všechny struktury v abstraktní algebra jsou speciální případy skupin. Prsteny lze například zobrazit jako abelianské skupiny (odpovídající sčítání) spolu s druhou operací (odpovídající násobení). Skupinové teoretické argumenty jsou tedy základem velké části teorie těchto entit.

Galoisova teorie

Galoisova teorie používá skupiny k popisu symetrií kořenů polynomu (nebo přesněji automorfismů algeber generovaných těmito kořeny). The základní věta o Galoisově teorii poskytuje spojení mezi algebraická rozšíření pole a teorie grup. Poskytuje efektivní kritérium pro řešitelnost polynomiálních rovnic, pokud jde o řešitelnost odpovídajících Galoisova skupina. Například, S₅, symetrická skupina v 5 prvcích, není řešitelný, což znamená, že obecný kvintická rovnice nelze vyřešit radikály tak, jak to mohou rovnice nižšího stupně. Tato teorie, která je jedním z historických kořenů skupinové teorie, je stále plodně aplikována, aby přinesla nové výsledky v oblastech, jako je teorie pole.

Algebraická topologie

Algebraická topologie je další doména, která prominentně spolupracovníci skupiny k objektům, o které se teorie zajímá. Tam se skupiny používají k popisu určitých invarianty topologické prostory. Nazývají se „invarianty“, protože jsou definovány tak, že se nemění, pokud je prostor podroben nějakým deformace. Například základní skupina „spočítá“, kolik cest v prostoru se podstatně liší. The Poincarého domněnka, v letech 2002/2003 prokázáno Grigori Perelman, je prominentní aplikace této myšlenky. Vliv však není jednosměrný. Například algebraická topologie využívá Eilenberg – MacLaneovy mezery což jsou prostory s předepsanými homotopické skupiny. Podobně algebraická K-teorie spoléhá svým způsobem na klasifikace mezer skupin. Nakonec název torzní podskupina nekonečné skupiny ukazuje dědictví topologie v teorii skupin.

Torus. Jeho struktura abelianské skupiny je indukována z mapy C → C/(Z + τZ), kde τ je parametr žijící v horní polovina roviny.

Algebraická geometrie

Algebraická geometrie podobně používá teorii skupin mnoha způsoby. Abelianské odrůdy byly zavedeny výše. Přítomnost skupinové operace přináší další informace, díky nimž jsou tyto odrůdy obzvláště přístupné. Často také slouží jako test nových dohadů.^[9] Jednorozměrný případ, a to eliptické křivky je podrobně studována. Jsou teoreticky i prakticky zajímavé.^[10] V jiném směru, torické odrůdy jsou algebraické odrůdy jednal podle a torus. Toroidní vložení nedávno vedlo k pokroku v algebraická geometrie, zejména rozlišení singularit.^[11]

Algebraická teorie čísel

Algebraická teorie čísel využívá skupiny pro některé důležité aplikace. Například, Eulerův produktový vzorec,

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n geq 1} { frac {1} {n ^ {s}}} & = prod _ {p { text {prime}}} { frac {1} {1-p ^ {- s}}}, end {zarovnáno}} !}$

zachycuje skutečnost na které se celé číslo jedinečným způsobem rozloží připraví. Selhání tohoto tvrzení pro obecnější prsteny dává vzniknout třídní skupiny a pravidelné prvočísla, které jsou součástí Kummer léčba Fermatova poslední věta.

Harmonická analýza

Nazývá se analýza Lieových skupin a některých dalších skupin harmonická analýza. Haarova opatření, to znamená, že integrály invariantní pod překladem ve Lieově skupině se používají pro rozpoznávání vzorů a další zpracování obrazu techniky.^[12]

Kombinatorika

v kombinatorika, pojem permutace skupina a koncept skupinové akce se často používají ke zjednodušení počítání sady objektů; viz zejména Burnsideovo lemma.

Kruh pětin může být vybaven cyklickou strukturou skupiny

Hudba

Přítomnost 12-periodicita v kruh pětin poskytuje aplikace teorie základních grup v teorie hudebních množin. Transformační teorie modeluje hudební transformace jako prvky matematické skupiny.

Fyzika

v fyzika Skupiny jsou důležité, protože popisují symetrie, které se podle všeho řídí zákony fyziky. Podle Noetherova věta, každá spojitá symetrie fyzického systému odpovídá a zákon o ochraně přírody systému. Fyzici velmi zajímají reprezentace skupin, zejména Lieových skupin, protože tato reprezentace často ukazují cestu k „možným“ fyzikálním teoriím. Mezi příklady použití skupin ve fyzice patří Standardní model, teorie měřidel, Skupina Lorentz a Poincaré skupina.

Chemie a věda o materiálech

v chemie a věda o materiálech, bodové skupiny se používají ke klasifikaci pravidelných mnohostěnů a symetrie molekul, a vesmírné skupiny třídit krystalové struktury. Přiřazené skupiny lze poté použít k určení fyzikálních vlastností (například chemická polarita a chirality ), spektroskopické vlastnosti (zvláště užitečné pro Ramanova spektroskopie, infračervená spektroskopie, cirkulární dichroistická spektroskopie, magnetická cirkulární dichroistická spektroskopie, UV / Vis spektroskopie a fluorescenční spektroskopie) a konstruovat molekulární orbitaly.

Molekulární symetrie je zodpovědná za mnoho fyzikálních a spektroskopických vlastností sloučenin a poskytuje relevantní informace o tom, jak dochází k chemickým reakcím. Aby bylo možné přiřadit bodové skupině pro kteroukoli danou molekulu, je nutné najít sadu operací symetrie na ní přítomných. Operace symetrie je akce, jako je rotace kolem osy nebo odraz zrcadlovou rovinou. Jinými slovy, jedná se o operaci, která přesune molekulu tak, že je nerozeznatelná od původní konfigurace. V teorii skupin se rotační osy a zrcadlové roviny nazývají „prvky symetrie“. Těmito prvky mohou být bod, přímka nebo rovina, ve vztahu k nimž se provádí operace symetrie. Symetrické operace molekuly určují specifickou bodovou skupinu pro tuto molekulu.

Molekula vody s osou symetrie

v chemie, existuje pět důležitých operací symetrie. Jsou to operace identity (E), rotace nebo správné otáčení (C_n), reflexní operace (σ), inverze (i) a rotační odraz nebo nesprávná rotace (S_n). Operace identity (E) spočívá v ponechání molekuly tak, jak je. To je ekvivalentní jakémukoli počtu plných otáček kolem libovolné osy. Toto je symetrie všech molekul, zatímco skupina symetrie a chirální molekula se skládá pouze z operace identity. Operace identity je charakteristikou každé molekuly, i když nemá symetrii. Rotace kolem osy (C_n) spočívá v otáčení molekuly kolem určité osy o určitý úhel. Je to rotace o úhel 360 ° /n, kde n je celé číslo kolem osy otáčení. Například pokud a voda molekula se otáčí o 180 ° kolem osy, která prochází skrz kyslík atom a mezi vodík atomů, je ve stejné konfiguraci, jako to začalo. V tomto případě, n = 2, protože jeho použití dvakrát způsobí operaci identity. V molekulách s více než jednou osou otáčení je osa Cn mající největší hodnotu n osa otáčení nejvyššího řádu nebo hlavní osa. Například Borane (BH3), nejvyšší řád osy otáčení je C₃, takže hlavní osa otáčení osy je C₃.

Při operaci odrazu (σ) mnoho molekul má zrcadlové roviny, i když nemusí být zřejmé. Operace odrazu se mění doleva a doprava, jako by se každý bod pohyboval kolmo rovinou do polohy přesně tak daleko od roviny, jako když začínal. Když je rovina kolmá na hlavní osu otáčení, je volána σ_h (horizontální). Ostatní roviny, které obsahují hlavní osu otáčení, jsou označeny svisle (σ_proti) nebo vzepětí (σ_d).

Inverze (i) je složitější operace. Každý bod se pohybuje středem molekuly do polohy naproti původní poloze a tak daleko od středového bodu, kde začal. Mnoho molekul, které na první pohled vypadají, že mají inverzní centrum, nikoli; například, metan a další čtyřboká molekulám chybí inverzní symetrie. Chcete-li to vidět, držte metanový model se dvěma atomy vodíku ve svislé rovině vpravo a dvěma atomy vodíku ve vodorovné rovině vlevo. Výsledkem inverze jsou dva atomy vodíku v horizontální rovině vpravo a dva atomy vodíku ve vertikální rovině vlevo. Inverze tedy není operací symetrie metanu, protože orientace molekuly následující po operaci inverze se liší od původní orientace. A poslední operací je nesprávná rotace nebo rotační reflexní operace (S_n) vyžaduje rotaci o 360 ° /n, následovaný odrazem rovinou kolmou k ose otáčení.

Statistická mechanika

Skupinovou teorii lze použít k vyřešení neúplnosti statistických interpretací mechaniky vyvinutých Willard Gibbs, vztahující se k součtu nekonečného počtu pravděpodobností k získání smysluplného řešení.^[13]

Kryptografie

Velmi velké skupiny nejvyššího řádu postavené v kryptografie eliptické křivky sloužit pro kryptografie veřejného klíče. Kryptografické metody tohoto druhu těží z pružnosti geometrických objektů, tedy jejich skupinových struktur, společně s komplikovanou strukturou těchto skupin, které tvoří diskrétní logaritmus velmi těžké vypočítat. Jeden z prvních šifrovacích protokolů, Caesarova šifra, lze také interpretovat jako (velmi snadnou) skupinovou operaci. Většina kryptografických schémat nějakým způsobem používá skupiny. Zejména výměna klíčů Diffie – Hellman používá konečné cyklické skupiny. Pojem kryptografie založená na skupinách se tedy týká hlavně kryptografických protokolů, které používají nekonečné neabelianské skupiny, jako je skupina cop.

The cyklická skupina Z₂₆ podkladové materiály Caesarova šifra.

Dějiny

Teorie grup má tři hlavní historické zdroje: teorie čísel, teorie algebraické rovnice, a geometrie. Prvek s teoretickými čísly začal Leonhard Euler a vyvinutý společností Gaussova pracovat na modulární aritmetika a aditivní a multiplikativní skupiny související s kvadratická pole. První výsledky o permutační skupiny byly získány Lagrange, Ruffini, a Abel při hledání obecných řešení polynomiálních rovnic vysokého stupně. Évariste Galois vytvořil termín "skupina" a navázal spojení, nyní známé jako Galoisova teorie, mezi rodící se teorií skupin a teorie pole. V geometrii se nejprve staly důležité skupiny projektivní geometrie a později, neeuklidovská geometrie. Felix Klein je Program Erlangen prohlásil teorii grup za organizační princip geometrie.

Galois ve třicátých letech 19. století jako první použil skupiny k určení řešitelnosti polynomiální rovnice. Arthur Cayley a Augustin Louis Cauchy posunula tato vyšetřování dále vytvořením teorie permutační skupiny. Druhý historický zdroj pro skupiny pochází z geometrický situacích. Ve snaze vyrovnat se s možnými geometriemi (např euklidovský, hyperbolický nebo projektivní geometrie ) pomocí teorie grup, Felix Klein zahájil Program Erlangen. Sophus Lie, v roce 1884, začal používat skupiny (nyní nazývané Lež skupiny ) připojený k analytický problémy. Za třetí, skupiny byly zpočátku implicitně a později explicitně použity v algebraická teorie čísel.

Různý rozsah těchto raných zdrojů vedl k různým představám o skupinách. Teorie skupin byla sjednocena počínaje rokem 1880. Od té doby dopad teorie skupin stále roste, což vede k zrodu abstraktní algebra na počátku 20. století, teorie reprezentace a mnoho dalších vlivných vedlejších domén. The klasifikace konečných jednoduchých skupin je obrovské dílo z poloviny 20. století, které klasifikuje vše konečný jednoduché skupiny.

Viz také

• Seznam témat teorie skupin
• Příklady skupin

Poznámky

Reference

• Borel, Armand (1991), Lineární algebraické skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 126 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN  978-0-387-97370-8, PAN  1102012
• Carter, Nathan C. (2009), Teorie vizuální skupiny Série materiálů pro výuku ve třídě, Mathematical Association of America, ISBN  978-0-88385-757-1, PAN  2504193
• Cannon, John J. (1969), „Počítače v teorii grup: Průzkum“, Komunikace ACM, 12: 3–12, doi:10.1145/362835.362837, PAN  0290613
• Frucht, R. (1939), „Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe“, Compositio Mathematica, 6: 239–50, ISSN  0010-437X, archivovány z originál dne 01.12.2008
• Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2006), „Nelineární dynamika sítí: groupoidní formalismus“, Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.), 43 (03): 305–364, doi:10.1090 / S0273-0979-06-01108-6, PAN  2223010 Ukazuje výhodu generalizace ze skupiny na grupoid.
• Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications Úvodní vysokoškolský text v duchu textů Galliana nebo Hersteina, který zahrnuje skupiny, prsteny, integrální domény, pole a Galoisovu teorii. Zdarma ke stažení PDF s otevřeným zdrojovým kódem GFDL licence.
• Kleiner, Izrael (1986), „Evoluce teorie skupin: krátký průzkum“, Matematický časopis, 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312, ISSN  0025-570X, JSTOR  2690312, PAN  0863090
• La Harpe, Pierre de (2000), Témata v teorii geometrických grup, University of Chicago Press, ISBN  978-0-226-31721-2
• Livio, M. (2005), Rovnice, kterou nelze vyřešit: Jak matematický génius objevil jazyk symetrieSimon & Schuster, ISBN  0-7432-5820-7 Sděluje praktickou hodnotu teorie skupin vysvětlením, na co ukazuje symetrie v fyzika a další vědy.
• Mumford, David (1970), Abelianské odrůdy, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-560528-0, OCLC  138290
• Ronan M., 2006. Symetrie a monstrum. Oxford University Press. ISBN  0-19-280722-6. Pro laické čtenáře. Popisuje úkol najít základní stavební kameny pro konečné skupiny.
• Rotman, Joseph (1994), Úvod do teorie grup, New York: Springer-Verlag, ISBN  0-387-94285-8 Standardní současný odkaz.
• Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001), Teorie kombinatorické grupy, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-41158-1
• Scott, W. R. (1987) [1964], Skupinová teorie, New York: Dover, ISBN  0-486-65377-3 Levný a poměrně čitelný, ale trochu datovaný důrazem, stylem a notací.
• Shatz, Stephen S. (1972), Nekonečné skupiny, aritmetika a geometrie, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08017-8, PAN  0347778
• Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55987-4. PAN  1269324. OCLC  36131259.

externí odkazy

• Historie konceptu abstraktní skupiny
• Teorie vyšších dimenzionálních grup To představuje pohled na teorii skupin jako na první úroveň teorie, která se rozprostírá ve všech dimenzích a má uplatnění v teorii homotopy a ve vícerozměrných neabelských metodách pro lokální-globální problémy.
• Plus balíček pro učitele a studenty: Teorie skupiny Tento balíček spojuje všechny články o teorii skupin z Plus, online matematický časopis produkovaný Millennium Mathematics Project na University of Cambridge, který zkoumá aplikace a nedávné objevy a uvádí explicitní definice a příklady skupin.