Neredukovatelné zastoupení - Irreducible representation

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika, konkrétně v teorie reprezentace z skupiny a algebry, an neredukovatelné zastoupení ${ displaystyle ( rho, V)}$ nebo irrep algebraické struktury ${ displaystyle A}$ je nenulová reprezentace, která nemá žádné správné subreprezentace ${ displaystyle ( rho | _ {W}, W), W podmnožina V}$ uzavřen v rámci akce ${ displaystyle { rho (a): a v A }}$.

Každý konečný rozměr jednotkové zastoupení na Hilbertův prostor ${ displaystyle V}$ je přímý součet neredukovatelných reprezentací. Neredukovatelné reprezentace jsou vždy nerozložitelný (tj. nelze je dále rozložit na přímý součet reprezentací), tyto pojmy jsou často zaměňovány; obecně však existuje mnoho redukovatelných, ale nerozložitelných reprezentací, jako je například dvourozměrná reprezentace reálných čísel působících horními trojúhelníkovými unipotentní matice.

Dějiny

Teorii skupinové reprezentace zobecnil Richard Brauer od 40. let 20. století dát teorie modulární reprezentace, ve kterém operátory matice působí na vektorový prostor nad a pole ${ displaystyle K}$ libovolné charakteristický, spíše než vektorový prostor nad polem reálná čísla nebo nad polem komplexní čísla. Struktura analogická neredukovatelnému zastoupení ve výsledné teorii je a jednoduchý modul.^{[Citace je zapotřebí ]}

Přehled

Nechat ${ displaystyle rho}$ být reprezentací, tj homomorfismus ${ displaystyle rho: G to GL (V)}$ skupiny ${ displaystyle G}$ kde ${ displaystyle V}$ je vektorový prostor přes pole ${ displaystyle F}$. Vybereme-li základ ${ displaystyle B}$ pro ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle rho}$ lze považovat za funkci (homomorfismus) ze skupiny do množiny invertibilních matic a v této souvislosti se jí říká maticová reprezentace. Pokud však uvažujeme o prostoru, věci to značně zjednodušuje ${ displaystyle V}$ bez základu.

A lineární podprostor ${ displaystyle W podmnožina V}$ je nazýván ${ displaystyle G}$-invariantní -li ${ displaystyle rho (g) w ve W}$ pro všechny ${ displaystyle g v G}$ a všechno ${ displaystyle w in W}$. The omezení z ${ displaystyle rho}$ do a ${ displaystyle G}$-invariantní podprostor ${ displaystyle W podmnožina V}$ je známý jako subreprezentace. Reprezentace ${ displaystyle rho: G to GL (V)}$ se říká, že je neredukovatelné pokud má jen triviální subreprezentace (všechna reprezentace mohou tvořit subreprezentaci s triviálními ${ displaystyle G}$-invariantní podprostory, např. celý vektorový prostor ${ displaystyle V}$, a {0} ). Pokud existuje správný netriviální invariantní podprostor, ${ displaystyle rho}$ se říká, že je redukovatelný.

Zápis a terminologie skupinových reprezentací

Skupinové prvky mohou být reprezentovány matice, ačkoli výraz „zastoupen“ má v této souvislosti konkrétní a přesný význam. Reprezentace skupiny je mapování z prvků skupiny na obecná lineární skupina matic. Jako notaci nechte A, b, C... označují prvky skupiny G se skupinovým produktem označeným bez jakéhokoli symbolu, tak ab je produkt skupiny A a b a je také prvkem G, a nechat reprezentace být označeny D. The zastoupení A je psáno

${ displaystyle D (a) = { begin {pmatrix} D (a) _ {11} & D (a) _ {12} & cdots & D (a) _ {1n} D (a) _ {21 } & D (a) _ {22} & cdots & D (a) _ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots D (a) _ {n1} & D (a) _ {n2 } & cdots & D (a) _ {nn} end {pmatrix}}}$

Podle definice skupinových reprezentací je reprezentace skupinového produktu přeložena do násobení matic zastoupení:

${ displaystyle D (ab) = D (a) D (b)}$

Li E je prvek identity skupiny (aby ae = ea = Aatd.) D(E) je matice identity nebo shodně blokovou matici matic identity, protože musíme mít

${ displaystyle D (ea) = D (ae) = D (a) D (e) = D (e) D (a) = D (a)}$

a podobně pro všechny ostatní prvky skupiny. Požadavku odpovídají poslední dvě překážky D je skupinový homomorfismus.

Rozložitelné a nerozložitelné reprezentace

Reprezentace je rozložitelná, pokud jsou všechny matice ${ displaystyle D (a)}$ může být vložen do blokově diagonální formy stejnou invertibilní maticí ${ displaystyle P}$. Jinými slovy, pokud existuje transformace podobnosti:^[1]

${ displaystyle D '(a) equiv P ^ {- 1} D (a) P,}$

který diagonalizuje každá matice v reprezentaci do stejného vzoru úhlopříčka bloky. Každý takový blok je potom skupinovou reprezentací nezávislou na ostatních. Reprezentace D(A) a D ′(A) se říká, že jsou ekvivalentní reprezentace.^[2] Reprezentaci lze rozložit na a přímý součet k > 1 matice:

${ displaystyle D '(a) = P ^ {- 1} D (a) P = { begin {pmatrix} D ^ {(1)} (a) & 0 & cdots & 0 0 & D ^ {(2)} (a) & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & D ^ {(k)} (a) end {pmatrix}} = D ^ {(1) } (a) oplus D ^ {(2)} (a) oplus cdots oplus D ^ {(k)} (a),}$

tak D(A) je rozložitelnýa je obvyklé označovat rozložené matice horním indexem v závorkách, jako v D⁽ⁿ⁾(A) pro n = 1, 2, ..., k, i když někteří autoři pouze píší číselný štítek bez závorek.

Rozměr D(A) je součet rozměrů bloků:

${ displaystyle dim [D (a)] = dim [D ^ {(1)} (a)] + dim [D ^ {(2)} (a)] + cdots + dim [D ^ {(k)} (a)].}$

Pokud to není možné, tj. k = 1, pak je reprezentace nerozložitelná.^[1][3]

Příklady neredukovatelných reprezentací

Triviální zastoupení

Všechny skupiny ${ displaystyle G}$ mít jednorozměrné, neredukovatelné triviální zastoupení. Obecněji řečeno, jakákoli jednorozměrná reprezentace je neredukovatelná, protože nemá žádné správné netriviální podprostory.

Neredukovatelné komplexní reprezentace

Neredukovatelné komplexní reprezentace konečné skupiny G lze charakterizovat pomocí výsledků z teorie znaků. Zejména se všechny takové reprezentace rozkládají jako přímý součet irreps a počet irreps of ${ displaystyle G}$ se rovná počtu tříd konjugace ${ displaystyle G}$.^[4]

• Neredukovatelné komplexní reprezentace ${ displaystyle mathbb {Z} / n mathbb {Z}}$ jsou přesně dány mapami ${ displaystyle 1 mapsto gamma}$, kde ${ displaystyle gamma}$ je ${ displaystyle n}$th kořen jednoty.

• Nechat ${ displaystyle V}$ být ${ displaystyle n}$-rozměrná komplexní reprezentace ${ displaystyle S_ {n}}$ se základem ${ displaystyle {v_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$. Pak ${ displaystyle V}$ rozkládá se jako přímý součet irreps

${ displaystyle V _ { text {triv}} = mathbb {C} left ( sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} right)}$

a ortogonální podprostor daný

${ displaystyle V _ { text {std}} = left { sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} v_ {i}: a_ {i} in mathbb {C}, součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = 0 doprava }.}$

Bývalý irrep je jednorozměrný a izomorfní s triviální reprezentací ${ displaystyle S_ {n}}$. To druhé je ${ displaystyle n-1}$ a je znám jako standardní reprezentace ${ displaystyle S_ {n}}$.^[4]

• Nechat ${ displaystyle G}$ být skupina. The pravidelné zastoupení z ${ displaystyle G}$ je na základě volného komplexního vektorového prostoru ${ displaystyle {e_ {g} } _ {g v G}}$ se skupinovou akcí ${ displaystyle g cdot e_ {g '} = e_ {gg'}}$, označeno ${ displaystyle mathbb {C} G.}$ Všechny neredukovatelné reprezentace ${ displaystyle G}$ se objeví v rozkladu ${ displaystyle mathbb {C} G}$ jako přímý součet irreps.

Příklad neredukovatelné reprezentace ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$

• Nechat ${ displaystyle G}$ být ${ displaystyle p}$ skupina a ${ displaystyle V = mathbb {F} _ {p} ^ {n}}$ být konečnou dimenzionální neredukovatelnou reprezentací G nad ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$. Podle teorie skupinové akce, sada pevných bodů ${ displaystyle G}$ není prázdné, to znamená, že nějaké existují ${ displaystyle v ve V}$ takhle ${ displaystyle gv = v}$ pro všechny ${ displaystyle g v G}$. To nutí každou neredukovatelnou reprezentaci a ${ displaystyle p}$ seskupit ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ být jednorozměrný.

Aplikace v teoretické fyzice a chemii

v kvantová fyzika a kvantová chemie, každá sada zdegenerované vlastní stavy z Hamiltonovský operátor obsahuje vektorový prostor PROTI pro reprezentaci skupiny symetrie Hamiltonianů, „multipletů“, nejlépe studovaných redukcí na její neredukovatelné části. Identifikace neredukovatelných reprezentací proto umožňuje označit státy a předpovědět, jak budou rozdělit pod poruchami; nebo přechod do jiných států v PROTI. V kvantové mechanice tedy neredukovatelné reprezentace skupiny symetrie systému částečně nebo úplně označují energetické úrovně systému, což umožňuje pravidla výběru být odhodlán.^[5]

Lež skupiny

Skupina Lorentz

Irreps of D(K.) a D(J), kde J je generátor rotací a K. generátor zesílení, lze použít k sestavení rotačních reprezentací skupiny Lorentz, protože souvisí s rotačními maticemi kvantové mechaniky. To jim umožňuje odvodit relativistické vlnové rovnice.^[6]

Viz také

Asociativní algebry

• Jednoduchý modul
• Rozložitelný modul
• Reprezentace asociativní algebry

Lež skupiny

• Teorie reprezentace Lieových algeber
• Teorie reprezentace SU (2)
• Teorie reprezentace SL2 (R)
• Teorie reprezentace galilejské skupiny
• Teorie reprezentace skupin diffeomorfismu
• Teorie reprezentace skupiny Poincaré
• Věta o nejvyšší hmotnosti

Reference

Knihy

• H. Weyl (1950). Teorie grup a kvantová mechanika. Publikace Courier Dover. str.203. ISBN  978-0-486-60269-1. magnetické momenty v relativistické kvantové mechanice.
• P. R. Bunker; Per Jensen (2004). Základy molekulární symetrie. CRC Press. ISBN  0-7503-0941-5.[1]
• A. D. Boardman; D. E. O'Conner; P. A. Young (1973). Symetrie a její aplikace ve vědě. McGraw Hill. ISBN  978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). Skupinová teorie v kvantové mechanice: úvod do jejího současného použití. Doveru. ISBN  978-0-07-084011-9.
• V. Heine (1993). Skupinová teorie v kvantové mechanice: Úvod do jejího současného využití. Publikace Courier Dover. ISBN  978-048-6675-855.

• E. Abers (2004). Kvantová mechanika. Addison Wesley. str. 425. ISBN  978-0-13-146100-0.
• B. R. Martin, G.Shaw. Fyzika částic (3. vyd.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. str. 3. ISBN  978-0-470-03294-7.
• Weinberg, S. (1995), Kvantová teorie polí, 1, Cambridge University Press, str.230–231, ISBN  978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (1996), Kvantová teorie polí, 2, Cambridge univerzitní tisk, ISBN  978-0-521-55002-4
• Weinberg, S. (2000), Kvantová teorie polí, 3, Cambridge univerzitní tisk, ISBN  978-0-521-66000-6
• R. Penrose (2007). Cesta do reality. Vintage knihy. ISBN  978-0-679-77631-4.
• P. W. Atkins (1970). Molekulární kvantová mechanika (části 1 a 2): Úvod do kvantové chemie. 1. Oxford University Press. str. 125–126. ISBN  978-0-19-855129-4.

Články

• Bargmann, V .; Wigner, E. P. (1948). „Skupinová teoretická diskuse o relativistických vlnových rovnicích“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 34 (5): 211–23. Bibcode:1948PNAS ... 34..211B. doi:10.1073 / pnas.34.5.211. PMC  1079095. PMID  16578292.
• E. Wigner (1937). „O jednotných zastoupeních nehomogenní skupiny Lorentz“ (PDF). Annals of Mathematics. 40 (1): 149–204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. doi:10.2307/1968551. JSTOR  1968551. PAN  1503456.

Další čtení

• Artin, Michael (1999). „Nekomutativní prsteny“ (PDF). Kapitola V.

externí odkazy

• „Komise pro matematickou a teoretickou krystalografii, letní školy pro matematickou krystalografii“ (PDF). 2010.
• van Beveren, Eef (2012). „Několik poznámek k teorii skupin“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2011-05-20. Citováno 2013-07-07.
• Teleman, Constantin (2005). „Teorie reprezentace“ (PDF).
• Finley. „Některé poznámky k Young Tableaux jako užitečné pro irreps su (n)“ (PDF).^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Hunt (2008). „Štítky symetrie neredukovatelné reprezentace (IR)“ (PDF).
• Dermisek, Radovan (2008). „Zastoupení skupiny Lorentz“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 23. 11. 2018. Citováno 2013-07-07.
• Maciejko, Joseph (2007). „Zastoupení skupin Lorentz a Poincaré“ (PDF).
• Woit, Peter (2015). „Kvantová mechanika pro matematiky: zastoupení skupiny Lorentz“ (PDF)., viz kapitola 40
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Guild, David; Turetsky, Emma (2009). „Zastoupení skupiny Symmetry of Spacetime“ (PDF).
• Finley. „Lie Algebra pro Poincaré a Lorentz, skupiny“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 17.06.2012.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "Jednotné reprezentace skupiny Poincaré v jakékoli dimenzi časoprostoru". arXiv:hep-th / 0611263.
• "McGraw-Hill slovník vědeckých a technických termínů".