Ekvivariantní algebraická K-teorie - Equivariant algebraic K-theory

Pro topologickou ekvivariantní K-teorii viz topologická K-teorie.

V matematice je ekvivariantní algebraická K-teorie je algebraická K-teorie přidružené ke kategorii ${ displaystyle operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$ z ekvivariantní koherentní snopy na algebraickém schématu X s akce lineární algebraické skupiny Gprostřednictvím Quillen's Q-konstrukce; tedy podle definice

{ displaystyle K_ {i} ^ {G} (X) = pi _ {i} (B ^ {+} operatorname {Coh} ^ {G} (X)).}

Zejména, ${ displaystyle K_ {0} ^ {G} (C)}$ je Grothendieckova skupina z ${ displaystyle operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$ . Teorie byla vyvinuta R. W. Thomasonem v 80. letech.^[1] Konkrétně prokázal ekvivariantní analogie základních vět, jako je věta o lokalizaci.

Ekvivalentně ${ displaystyle K_ {i} ^ {G} (X)}$ lze definovat jako ${ displaystyle K_ {i}}$ kategorie koherentních snopů na kvocient zásobníku ${ displaystyle [X / G]}$ .^[2]^[3] (Proto je ekvivariantní K-teorie specifickým případem K-teorie zásobníku.)

Verze Lefschetzova věta o pevném bodě platí v nastavení ekvivariantní (algebraické) K-teorie.^[4]

Základní věty

Nechat X být ekvivariantní algebraické schéma.

Věta o lokalizaci — Vzhledem k uzavřenému ponoření ${ displaystyle Z hookrightarrow X}$ ekvivariačních algebraických schémat a otevřeného ponoření ${ displaystyle Z-U hookrightarrow X}$ , existuje dlouhá přesná sekvence skupin

{ displaystyle cdots do K_ {i} ^ {G} (Z) do K_ {i} ^ {G} (X) do K_ {i} ^ {G} (U) do K_ {i- 1} ^ {G} (Z) do cdots}

Příklady

Jedním ze základních příkladů ekvivariačních K-teoretických skupin jsou ekvivariantní K-skupiny ${ displaystyle G}$ -ekvivariantní koherentní snopy na bodech, tak ${ displaystyle K_ {i} ^ {G} (*)}$ . Od té doby ${ displaystyle { text {Coh}} ^ {G} (*)}$ odpovídá kategorii ${ displaystyle { text {Rep}} (G)}$ konečně-dimenzionálních reprezentací ${ displaystyle G}$ . Poté skupina Grothendieck ${ displaystyle { text {Rep}} (G)}$ , označeno ${ displaystyle R (G)}$ je ${ displaystyle K_ {0} ^ {G} (*)}$ .^[5]

Torusový prsten

Vzhledem k algebraickému torusu ${ displaystyle mathbb {T} cong mathbb {G} _ {m} ^ {k}}$ konečně-dimenzionální reprezentace ${ displaystyle V}$ je dán přímým součtem ${ displaystyle 1}$ -dimenzionální ${ displaystyle mathbb {T}}$ - moduly zvané závaží z ${ displaystyle V}$ .^[6] Mezi nimi je výslovný izomorfismus ${ displaystyle K _ { mathbb {T}}}$ a ${ displaystyle mathbb {Z} [t_ {1}, ldots, t_ {k}]}$ dáno zasláním ${ displaystyle [V]}$ k jeho přidruženému charakteru.^[7]

Reference

^ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995).
^ Adem, Alejandro; Ruan, Yongbin (červen 2003). „Twisted Orbifold K-Theory“. Komunikace v matematické fyzice. 237 (3): 533–556. arXiv:matematika / 0107168. Bibcode:2003CMaPh.237..533A. doi:10.1007 / s00220-003-0849-x. ISSN 0010-3616.
^ Krišna, Amalendu; Ravi, Charanya (02.08.2017). "Algebraická K-teorie kvocientů zásob". arXiv:1509.05147 [math.AG ].
^ BFQ 1979
^ Chriss, Neil; Ginzburg, Neil. Teorie reprezentace a komplexní geometrie. 243–244.
^ Pro ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ tam je mapa ${ displaystyle f: mathbb {G} _ {m} to mathbb {G} _ {m}}$ odesílání ${ displaystyle t mapsto t ^ {k}}$ . Od té doby ${ displaystyle mathbb {G} _ {m} podmnožina mathbb {A} ^ {1}}$ existuje indukované vyjádření ${ displaystyle { hat {f}}: mathbb {G} _ {m} to GL ( mathbb {A} ^ {1})}$ hmotnosti ${ displaystyle k}$ . Vidět Algebraický torus pro více informací.
^ Okounkov, Andrej (01.01.2017). "Přednášky o K-teoretických výpočtech v enumerativní geometrii". str. 13. arXiv:1512.07363 [math.AG ].

N. Chris a V. Ginzburg, teorie reprezentace a komplexní geometrie, Birkhäuser, 1997.
Baum, P., Fulton, W., Quart, G .: Lefschetz Riemann Roch pro singulární odrůdy. Acta. Matematika. 143, 193–211 (1979)
Thomason, R.W.: Algebraická K-teorie akcí skupinových schémat. In: Browder, W. (ed.) Algebraická topologie a algebraická K-teorie. (Ann. Math. Stud., Sv. 113, str. 539 563) Princeton: Princeton University Press 1987
Thomason, R.W .: Lefschetz – Riemann – Rochova věta a koherentní stopový vzorec. Vymyslet. Matematika. 85, 515–543 (1986)
Thomason, R.W., Trobaugh, T .: Vyšší algebraická K-teorie schémat a odvozených kategorií. In: Cartier, P., Illusie, L., Katz, N.M., Laumon, G., Manin, Y., Ribet, K.A. (eds.) The Grothendieck Festschrift, sv. III. (Prog. Math. Sv. 88, s. 247 435) Boston Basel Berlin: Birkhfiuser 1990
Thomason, R.W., Une formule de Lefschetz en K-théorie équivariante algébrique, Duke Math. J. 68 (1992), 447–462.

Další čtení

Dan Edidin, Riemann – Roch pro stacky Deligne – Mumford, 2012

[1] Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995).

[2] Adem, Alejandro; Ruan, Yongbin (červen 2003). „Twisted Orbifold K-Theory“. Komunikace v matematické fyzice. 237 (3): 533–556. arXiv:matematika / 0107168. Bibcode:2003CMaPh.237..533A. doi:10.1007 / s00220-003-0849-x. ISSN 0010-3616.

[3] Krišna, Amalendu; Ravi, Charanya (02.08.2017). "Algebraická K-teorie kvocientů zásob". arXiv:1509.05147 [math.AG ].

[4] BFQ 1979

[5] Chriss, Neil; Ginzburg, Neil. Teorie reprezentace a komplexní geometrie. 243–244.

[6] Pro ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ tam je mapa ${ displaystyle f: mathbb {G} _ {m} to mathbb {G} _ {m}}$ odesílání ${ displaystyle t mapsto t ^ {k}}$ . Od té doby ${ displaystyle mathbb {G} _ {m} podmnožina mathbb {A} ^ {1}}$ existuje indukované vyjádření ${ displaystyle { hat {f}}: mathbb {G} _ {m} to GL ( mathbb {A} ^ {1})}$ hmotnosti ${ displaystyle k}$ . Vidět Algebraický torus pro více informací.

[7] Okounkov, Andrej (01.01.2017). "Přednášky o K-teoretických výpočtech v enumerativní geometrii". str. 13. arXiv:1512.07363 [math.AG ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]