Kvazi-izometrie - Quasi-isometry - Wikipedia

v matematika, a kvazi-izometrie je funkce mezi dvěma metrické prostory který respektuje geometrii těchto prostorů ve velkém měřítku a ignoruje jejich detaily v malém měřítku. Dva metrické prostory jsou kvazi-izometrický pokud mezi nimi existuje kvazi-izometrie. Vlastnost být kvazi-izometrický se chová jako vztah ekvivalence na třída metrických prostorů.

Koncept kvazi-izometrie je zvláště důležitý v teorie geometrických skupin, v návaznosti na práci Gromov.^[1]

Tento mříž je kvazi-izometrický k rovině.

Definice

Předpokládejme to ${ displaystyle f}$ je (ne nutně spojitá) funkce z jednoho metrického prostoru ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ do druhého metrického prostoru ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ . Pak ${ displaystyle f}$ se nazývá a kvazi-izometrie z ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ na ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ pokud existují konstanty ${ displaystyle A geq 1}$ , ${ displaystyle B geq 0}$ , a ${ displaystyle C geq 0}$ tak, aby obě tyto dvě vlastnosti držely:^[2]

Za každé dva body ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle M_ {1}}$ , vzdálenost mezi jejich obrázky je až do aditivní konstanty ${ displaystyle B}$ v rámci faktoru ${ displaystyle A}$ jejich původní vzdálenosti. Více formálně:
${ displaystyle forall x, y in M_ {1}: { frac {1} {A}} ; d_ {1} (x, y) -B leq d_ {2} (f (x), f (y)) leq A ; d_ {1} (x, y) + B.}$
Každý bod ${ displaystyle M_ {2}}$ je v konstantní vzdálenosti ${ displaystyle C}$ obrazového bodu. Více formálně:
${ displaystyle forall z v M_ {2}: existuje x v M_ {1}: d_ {2} (z, f (x)) leq C.}$

Dva metrické prostory ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ a ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ jsou nazývány kvazi-izometrický pokud existuje kvazi-izometrie ${ displaystyle f}$ z ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ na ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ .

Mapa se nazývá a kvazi-izometrické vkládání pokud splňuje první podmínku, ale ne nutně druhou (tj. je hrubě Lipschitz ale nemusí být hrubě surjektivní). Jinými slovy, pokud přes mapu ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ je kvazi-izometrický vůči podprostoru ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ .

Dva metrické prostory M₁ a M₂ se říká, že jsou kvazi-izometrický, označeno ${ displaystyle M_ {1} { underset {q.i.} { sim}} M_ {2}}$ , pokud existuje kvazi-izometrie ${ displaystyle f: M_ {1} až M_ {2}}$ .

Příklady

Mapa mezi Euklidovské letadlo a letadlo s Vzdálenost na Manhattanu který posílá každý bod k sobě, je kvazi-izometrie: v ní jsou vzdálenosti vynásobeny nanejvýš faktorem ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ . Všimněte si, že nemůže existovat žádná izometrie, protože například body ${ displaystyle (1,0), (- 1,0), (0,1), (0, -1)}$ jsou ve stejné vzdálenosti od sebe na manhattanské vzdálenosti, ale v rovině Euclidea neexistují žádné 4 body, které jsou ve stejné vzdálenosti od sebe.

Mapa ${ displaystyle f: mathbb {Z} ^ {n} mapsto mathbb {R} ^ {n}}$ (oba s Euklidovská metrika ), který posílá všechny ${ displaystyle n}$ -tuple celých čísel pro sebe je kvazi-izometrie: vzdálenosti jsou zachovány přesně a každá skutečná n-tice je ve vzdálenosti ${ displaystyle { sqrt {n / 4}}}$ celočíselné n-tice. V opačném směru diskontinuální funkce kola každá n-tice reálných čísel k nejbližší celočíselné n-tici je také kvazi-izometrií: každý bod je touto mapou přenesen do bodu ve vzdálenosti ${ displaystyle { sqrt {n / 4}}}$ toho zaokrouhlení změní vzdálenost mezi dvojicemi bodů tak, že se sčítají nebo odečítají nanejvýš ${ displaystyle 2 { sqrt {n / 4}}}$ .

Každá dvojice konečných nebo ohraničených metrických prostorů je kvazi-izometrická. V tomto případě je každá funkce z jednoho prostoru do druhého kvazi-izometrií.

Vztah ekvivalence

Li ${ displaystyle f: M_ {1} mapsto M_ {2}}$ je kvazi-izometrie, pak existuje kvazi-izometrie ${ displaystyle g: M_ {2} mapsto M_ {1}}$ . Vskutku, ${ displaystyle g (x)}$ lze definovat jako ${ displaystyle y}$ být jakýmkoli bodem na obrázku ${ displaystyle f}$ to je na dálku ${ displaystyle C}$ z ${ displaystyle x}$ a nechat ${ displaystyle g (x)}$ být v jakémkoli bodě ${ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ .

Protože mapa identity je kvazi-izometrie a složení dvou kvazi-izometrií je kvazi-izometrie, z toho vyplývá, že vlastnost bytí kvazi-izometrie se chová jako vztah ekvivalence ve třídě metrických prostorů.

Použití v teorii geometrických skupin

Vzhledem k konečnému generující sada S konečně vygenerovaných skupina G, můžeme vytvořit odpovídající Cayleyův graf z S a G. Tento graf se stává metrickým prostorem, pokud deklarujeme délku každé hrany jako 1. Vezmeme jinou konečnou generující množinu T má za následek jiný graf a jiný metrický prostor, avšak tyto dva prostory jsou kvazi-izometrické.^[3] Tato kvazi-izometrická třída je tedy neměnný skupiny G. Jakákoli vlastnost metrických prostorů, která závisí pouze na třídě kvazi-izometrie prostoru, okamžitě poskytuje další invariant skupin, čímž otevírá pole teorie skupin geometrickým metodám.

Obecněji, Švarc – Milnorovo lemma uvádí, že pokud skupina G činy správně diskontinuálně s kompaktním kvocientem na správném geodetickém prostoru X pak G je kvazi-izometrický X (což znamená, že jakýkoli Cayleyův graf pro G je). To dává nové příklady skupin kvazi-izometrických navzájem:

Li G' je podskupina konečných index v G pak G' je kvazi-izometrický G;
Li G a H jsou základní skupiny dvou kompaktních hyperbolické rozdělovače stejné dimenze d pak jsou oba kvazi-izometrické vůči hyperbolickému prostoru H^d a tedy navzájem; na druhou stranu existuje nekonečně mnoho kvazi-izometrických tříd základních skupin konečného objemu.^[4]

Quasigeodesics a Morseovo lemma

A kvazi-geodetický v metrickém prostoru ${ displaystyle (X, d)}$ je kvazi-izometrické vložení ${ displaystyle mathbb {R}}$ do ${ displaystyle X}$ . Přesněji mapa ${ displaystyle phi: mathbb {R} až X}$ takové, že existuje ${ displaystyle C, K> 0}$ aby

{ displaystyle forall s, t in mathbb {R}: C ^ {- 1} | st | -K leq d ( phi (t), phi (s)) leq C | st | + K}

se nazývá a ${ displaystyle (C, K)}$ -kvazigeodetický. Je zřejmé, že geodetika (parametrizovaná arclength) je kvazigeodika. Skutečnost, že v některých prostorech platí obráceně, tj. Že každá kvazigeodika zůstává v ohraničené vzdálenosti skutečné geodézie, se nazývá Morse Lemma (nesmí být zaměňována s snad více známou Morseovo lemma v diferenciální topologii). Formálně je prohlášení:

Nechat ${ displaystyle delta, C, K> 0}$ a ${ displaystyle X}$ řádný δ-hyperbolický prostor. Tady existuje ${ displaystyle M}$ takový, že pro každého ${ displaystyle (C, K)}$ -kvazi-geodetika existuje geodetika ${ displaystyle L}$ v ${ displaystyle X}$ takhle ${ displaystyle d ( phi (t), L) leq M}$ pro všechny ${ displaystyle t in mathbb {R}}$ .

Je to důležitý nástroj v teorii geometrických skupin. Okamžitá aplikace spočívá v tom, že jakákoli kvazi-izometrie mezi správnými hyperbolickými prostory indukuje homeomorfismus mezi jejich hranicemi. Tento výsledek je prvním krokem k prokázání Věta věty o rigiditě.

Příklady kvazi-izometrie invarianty skupin

Následuje několik příkladů vlastností skupinových Cayleyových grafů, které jsou neměnné pod kvazi-izometrií:^[2]

Hyperbolicita

Je volána skupina hyperbolický jestliže jeden z jeho Cayleyových grafů je δ-hyperbolický prostor pro nějaké δ. Při překladu mezi různými definicemi hyperbolicity se konkrétní hodnota δ může změnit, ale výsledné představy o hyperbolické skupině se ukáží jako ekvivalentní.

Hyperbolické skupiny jsou řešitelné slovní úloha. Oni jsou biautomatic a automatický.:^[5] skutečně jsou silně geodeticky automatické, to znamená, že ve skupině existuje automatická struktura, kde jazyk přijímaný akceptorem slov je množina všech geodetických slov.

Růst

The tempo růstu a skupina s ohledem na symetrický generující sada popisuje velikost koulí ve skupině. Každý prvek ve skupině lze zapsat jako produkt generátorů a rychlost růstu počítá počet prvků, které lze zapsat jako produkt délky n.

Podle Gromovova věta, skupina polynomiálního růstu je prakticky nilpotentní, tj. má a nilpotentní podskupina konečný index. Zejména pořadí polynomiálního růstu ${ displaystyle k_ {0}}$ musí být přirozené číslo a ve skutečnosti ${ displaystyle # (n) sim n ^ {k_ {0}}}$ .

Li ${ displaystyle # (n)}$ roste pomaleji než jakákoli exponenciální funkce, G má subexponenciální tempo růstu. Každá taková skupina je přístupný.

Končí

The končí a topologický prostor jsou zhruba řečeno připojené komponenty „ideální hranice“ prostoru. To znamená, že každý konec představuje topologicky odlišný způsob, jak se přesunout nekonečno v prostoru. Přidáním bodu na každém konci se získá a zhutnění původního prostoru, známého jako konec zhutnění.

Konce a konečně generovaná skupina jsou definovány jako konce odpovídajících Cayleyův graf; tato definice je nezávislá na volbě konečné generující množiny. Každá konečně vygenerovaná nekonečná skupina má buď 0,1, 2, nebo nekonečně mnoho konců, a Věta o zastavení o koncích skupin poskytuje rozklad pro skupiny s více než jedním koncem.

Pokud jsou dva spojené lokálně konečné grafy kvazi-izometrické, pak mají stejný počet konců.^[6] Zejména dvě kvazi-izometrické konečně generované skupiny mají stejný počet konců.

Přístupnost

An přístupná skupina je místně kompaktní topologická skupina G provedení jakési průměrovací operace na omezených funkcích, která je neměnný pod překladem pomocí skupinových prvků. Původní definice, pokud jde o konečně aditivní invariantní míru (nebo průměr) u podmnožin G, byl představen John von Neumann v roce 1929 pod Němec název "messbar" (v angličtině "měřitelný") v reakci na Banach – Tarski paradox. V roce 1949 Mahlon M. Day představil anglický překlad „vhodný“, zjevně jako hříčka.^[7]

v teorie diskrétních skupin, kde G má diskrétní topologie, používá se jednodušší definice. V tomto nastavení je skupina přístupná, pokud lze říci, v jakém poměru G kterákoli podskupina zabírá.

Pokud má skupina a Følnerova sekvence pak je to automaticky přístupné.

Asymptotický kužel

An ultralimit je geometrická konstrukce, která se přiřadí k posloupnosti metrické prostory X_n omezující metrický prostor. Důležitou třídou ultralimitů jsou tzv asymptotické kužele metrických prostorů. Nechť (X,d) být metrický prostor, nechť ω být hlavním ultrafiltrem na ${ displaystyle mathbb {N}}$ a nechte p_n ∈ X být posloupností základních bodů. Pak ω–Ultimimit posloupnosti ${ displaystyle (X, { frac {d} {n}}, p_ {n})}$ se nazývá asymptotický kužel X s ohledem na ω a ${ displaystyle (p_ {n}) _ {n} ,}$ a je označen ${ displaystyle kužel _ { omega} (X, d, (p_ {n}) _ {n}) ,}$ . Jeden často považuje sekvenci základního bodu za konstantní, p_n = p pro některé p ∈ X; v tomto případě asymptotický kužel nezávisí na výběru p ∈ X a je označen ${ displaystyle kužel _ { omega} (X, d) ,}$ nebo prostě ${ displaystyle Cone _ { omega} (X) ,}$ .

Pojem asymptotický kužel hraje v teorie geometrických skupin protože asymptotické kužele (nebo přesněji jejich topologické typy a typy bi-Lipschitz ) poskytují kvazi-izometrické invarianty metrických prostorů obecně a zejména konečně generovaných skupin.^[8] Asymptotické kužely se také ukázaly být užitečným nástrojem při studiu relativně hyperbolické skupiny a jejich zobecnění.^[9]

Viz také

Reference

^ Bridson, Martin R. (2008), "Geometrická a kombinatorická teorie grup", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, červen; Vůdce, Imre (eds.), Princetonský společník matematiky, Princeton University Press, s. 431–448, ISBN 978-0-691-11880-2
^ ^A ^b P. de la Harpe, Témata v teorii geometrických grup. Chicago přednášky z matematiky. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6
^ R.B.Sher a R.J. Daverman (2002), Příručka geometrické topologie, Severní Holandsko. ISBN 0-444-82432-4.
^ Schwartz, Richard (1995). „Kvazi-izometrická klasifikace mřížek prvního stupně“. I.H.É.S. Publikace Mathématiques. 82: 133–168. doi:10.1007 / BF02698639.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
^ Charney, Ruth (1992), „Artinovy skupiny konečného typu jsou biautomatické“, Mathematische Annalen, 292: 671–683, doi:10.1007 / BF01444642
^ Stephen G. Brick (1993). "Kvazi-izometrie a konce skupin". Journal of Pure and Applied Algebra. 86 (1): 23–33. doi:10.1016 / 0022-4049 (93) 90150-R.
^ Dayovo první publikované použití tohoto slova je v jeho abstraktu pro letní setkání AMS v roce 1949, Znamená poloskupiny a skupinyBull. A.M.S. 55 (1949) 1054–1055. Mnoho učebnic o přístupnosti, například Volker Runde, naznačuje, že Day si vybral slovo jako hříčku.
^ John Roe. Přednášky o hrubé geometrii. Americká matematická společnost, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2
^ Cornelia Druţu a Mark Sapir (s dodatkem od Denis Osin a Mark Sapir ), Stromově odstupňované prostory a asymptotické kužele skupin. Topologie, Svazek 44 (2005), č. 5, str. 959–1058.

[1] Bridson, Martin R. (2008), "Geometrická a kombinatorická teorie grup", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, červen; Vůdce, Imre (eds.), Princetonský společník matematiky, Princeton University Press, s. 431–448, ISBN 978-0-691-11880-2

[Topics-2] A ^b P. de la Harpe, Témata v teorii geometrických grup. Chicago přednášky z matematiky. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6

[3] R.B.Sher a R.J. Daverman (2002), Příručka geometrické topologie, Severní Holandsko. ISBN 0-444-82432-4.

[4] Schwartz, Richard (1995). „Kvazi-izometrická klasifikace mřížek prvního stupně“. I.H.É.S. Publikace Mathématiques. 82: 133–168. doi:10.1007 / BF02698639.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[charney-5] Charney, Ruth (1992), „Artinovy skupiny konečného typu jsou biautomatické“, Mathematische Annalen, 292: 671–683, doi:10.1007 / BF01444642

[6] Stephen G. Brick (1993). "Kvazi-izometrie a konce skupin". Journal of Pure and Applied Algebra. 86 (1): 23–33. doi:10.1016 / 0022-4049 (93) 90150-R.

[7] Dayovo první publikované použití tohoto slova je v jeho abstraktu pro letní setkání AMS v roce 1949, Znamená poloskupiny a skupinyBull. A.M.S. 55 (1949) 1054–1055. Mnoho učebnic o přístupnosti, například Volker Runde, naznačuje, že Day si vybral slovo jako hříčku.

[Roe-8] John Roe. Přednášky o hrubé geometrii. Americká matematická společnost, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2

[9] Cornelia Druţu a Mark Sapir (s dodatkem od Denis Osin a Mark Sapir ), Stromově odstupňované prostory a asymptotické kužele skupin. Topologie, Svazek 44 (2005), č. 5, str. 959–1058.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]