Hodgeova domněnka - Hodge conjecture

v matematika, Hodgeova domněnka je hlavním nevyřešeným problémem v systému Windows algebraická geometrie , který se týká algebraická topologie a ne singulární komplex algebraická rozmanitost na jeho poddruhy. Přesněji řečeno, domněnka uvádí, že jisté de Rhamova kohomologie třídy jsou algebraické; to znamená, že jsou součty Poincaré duals z hodiny homologie poddruhů. Byl formulován skotským matematikem William Vallance Douglas Hodge v důsledku práce v letech 1930 až 1940 obohatit popis de Rhamovy kohomologie o další strukturu, která je přítomna v případě komplexních algebraických odrůd. To dostalo malou pozornost, než Hodge ji přednesl na adresu v průběhu roku 1950 Mezinárodní kongres matematiků, držel v Cambridge, Massachusetts. Hodgeova domněnka je jednou z Hliněný matematický institut je Problémy s cenou tisíciletí, s cenou 1 000 000 $ pro kohokoli, kdo dokáže nebo vyvrátí Hodgeovu domněnku.

Motivace

Nechat X být kompaktní komplexní potrubí komplexní dimenze n. Pak X je orientovatelný hladké potrubí skutečné dimenze ${ displaystyle 2n}$, Takže to je kohomologie skupiny leží ve stupních od nuly do konce ${ displaystyle 2n}$. Převzít X je Kähler potrubí, takže na jeho kohomologii s komplexem dochází k rozkladu koeficienty

${ displaystyle H ^ {k} (X, mathbb {C}) = bigoplus _ {p + q = k} H ^ {p, q} (X),}$

kde ${ displaystyle H ^ {p, q} (X)}$ je podskupina tříd kohomologie, které jsou reprezentovány harmonické tvary typu ${ displaystyle (p, q)}$. To znamená, že se jedná o třídy cohomologie představované diferenciální formy které, při nějaké volbě lokálních souřadnic ${ displaystyle z_ {1}, ldots, z_ {n}}$, lze psát jako harmonická funkce krát

${ displaystyle dz_ {i_ {1}} klín cdots klín dz_ {i_ {p}} klín d { bar {z}} _ {j_ {1}} klín cdots klín d { bar {z}} _ {j_ {q}}.}$

(Vidět Hodgeova teorie pro více informací.) Užívání klínových produktů těchto harmonických zástupců odpovídá pohárový produkt v cohomologii, takže kalíškový produkt je kompatibilní s Hodgeovým rozkladem:

${ displaystyle cup colon H ^ {p, q} (X) krát H ^ {p ', q'} (X) rightarrow H ^ {p + p ', q + q'} (X). }$

Od té doby X je kompaktní orientované potrubí, X má základní třída.

Nechat Z být složitým podmanifoldem X dimenze ka nechte ${ displaystyle i dvojtečka Z až X}$ být mapou začlenění. Vyberte si diferenciální formu ${ displaystyle alpha}$ typu ${ displaystyle (p, q)}$. Můžeme se integrovat ${ displaystyle alpha}$ přes Z:

${ displaystyle int _ {Z} i ^ {*} alfa.}$

Chcete-li vyhodnotit tento integrál, vyberte bod Z a nazvěme to 0. Kolem 0 můžeme zvolit lokální souřadnice ${ displaystyle z_ {1}, ldots, z_ {k}}$ na X takhle Z je jen ${ displaystyle z_ {k + 1} = cdots = z_ {n} = 0}$. Li ${ displaystyle p> k}$, pak ${ displaystyle alpha}$ musí nějaké obsahovat ${ displaystyle dz_ {i}}$ kde ${ displaystyle z_ {i}}$ táhne zpět na nulu Z. Totéž platí, pokud ${ displaystyle q> k}$. V důsledku toho je tento integrál nulový, pokud ${ displaystyle (p, q) neq (k, k)}$.

Více abstraktně lze integrál psát jako čepičkový produkt třídy homologie Z a třída kohomologie představovaná ${ displaystyle alpha}$. Autor: Poincaré dualita, třída homologie Z je duální vůči třídě kohomologie, kterou budeme nazývat [Z] a produkt víčka lze vypočítat tak, že vezmeme produkt hrnku z [Z] a α a omezení se základní třídou X. Protože [Z] je třída kohomologie, má Hodgeův rozklad. Výpočtem, který jsme provedli výše, pokud spojíme tuto třídu s jakoukoli třídou typu ${ displaystyle (p, q) neq (k, k)}$, pak dostaneme nulu. Protože ${ displaystyle H ^ {2n} (X, mathbb {C}) = H ^ {n, n} (X)}$, dospěli jsme k závěru, že [Z] musí ležet ${ displaystyle H ^ {n-k, n-k} (X)}$. Volně řečeno, Hodgeova domněnka se ptá:

Které kurzy kohomologie ${ displaystyle H ^ {k, k} (X)}$ pocházejí ze složitých poddruhů Z?

Prohlášení o Hodgeově domněnce

Nechat:

${ displaystyle operatorname {Hdg} ^ {k} (X) = H ^ {2k} (X, mathbb {Q}) cap H ^ {k, k} (X).}$

Říkáme tomu skupina Hodge třídy stupně 2k na X.

Moderní prohlášení o Hodgeově domněnce je:

Hodgeova domněnka. Nechat X být ne-singulární komplexní projektivní potrubí. Pak každá hodge hodina X je lineární kombinace s racionálními koeficienty tříd kohomologie komplexních poddruhů X.

Projektivní komplexní potrubí je komplexní potrubí, do kterého lze vložit složitý projektivní prostor. Protože projektivní prostor nese Kählerovu metriku, Fubini – metrika studia, takové potrubí je vždy potrubí Kähler. Podle Chowova věta, projektivní komplexní potrubí je také plynulá projektivní algebraická odrůda, to znamená, že se jedná o nulovou množinu kolekce homogenních polynomů.

Reformulace z hlediska algebraických cyklů

Další způsob frázování Hodgeovy domněnky zahrnuje myšlenku algebraického cyklu. An algebraický cyklus na X je formální kombinace poddruhů X; to znamená, že je to něco ve formě:

${ displaystyle sum _ {i} c_ {i} Z_ {i}.}$

Koeficient se obvykle považuje za integrální nebo racionální. Třídu kohomologie algebraického cyklu definujeme jako součet tříd kohomologie jejích složek. Toto je příklad mapy cyklické třídy de Rhamovy kohomologie, viz Weilova kohomologie. Například třída cohomologie výše uvedeného cyklu by byla:

${ displaystyle sum _ {i} c_ {i} [Z_ {i}].}$

Taková třída kohomologie se nazývá algebraický. S touto notací se Hodgeova domněnka stává:

Nechat X být projektivní komplexní potrubí. Pak každá hodge hodina X je algebraické.

Předpoklad v Hodgeově domněnce, že X být algebraický (projektivní komplexní potrubí) nelze oslabit. V roce 1977 Steven Zucker ukázal, že je možné postavit protiklad k Hodgeově domněnce jako komplexní tori s analytickou racionální cohomologií typu ${ displaystyle (p, p)}$, což není projektivní algebraické. (viz příloha B bodu Zucker (1977) )

Známé případy Hodgeova domněnky

Nízký rozměr a codimension

První výsledek v Hodgeově domněnce je způsoben Lefschetz (1924). Ve skutečnosti předchází domněnku a poskytuje určitou Hodgeovu motivaci.

Teorém (Lefschetzova věta o (1,1) třídách ) Libovolný prvek ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z}) čepice H ^ {1,1} (X)}$ je cohomology třída a dělitel na ${ displaystyle X}$. Zejména platí Hodgeova domněnka ${ displaystyle H ^ {2}}$.

Velmi rychlý důkaz lze podat pomocí svazek kohomologie a exponenciální přesná sekvence. (Ukázalo se, že třída cohomologie dělitele se rovná její první Třída Chern.) Lefschetzův původní důkaz pokračoval normální funkce, které byly zavedeny Henri Poincaré. Nicméně Griffithova věta o transversalitě ukazuje, že tento přístup nemůže dokázat Hodgeovu domněnku pro vyšší codimenzionální poddruhy.

Podle Tvrdá Lefschetzova věta, lze prokázat:

Teorém. Pokud Hodgeova domněnka platí pro Hodgeovy stupně studia ${ displaystyle p}$, pro všechny ${ displaystyle p$, pak platí Hodgeova domněnka pro Hodgeovy stupně studia ${ displaystyle 2n-p}$.

Kombinace výše uvedených dvou vět znamená, že Hodgeova domněnka platí pro Hodgeovy třídy ${ displaystyle 2n-p}$. To dokazuje Hodgeovu domněnku, když ${ displaystyle X}$ má rozměr nejvýše tři.

Lefschetzova věta o (1,1) třídách také naznačuje, že pokud jsou všechny Hodgeovy třídy generovány Hodgeovými třídami dělitelů, pak je Hodgeova domněnka pravdivá:

Důsledek. Pokud algebra ${ displaystyle operatorname {Hdg} ^ {*} (X) = bigoplus nolimits _ {k} operatorname {Hdg} ^ {k} (X)}$ generuje ${ displaystyle operatorname {Hdg} ^ {1} (X)}$, pak platí Hodgeova domněnka ${ displaystyle X}$.

Hyperplochy

Silnými a slabými Lefschetzova věta, jediná netriviální část Hodgeova domněnky pro hyperplochy je stupeň m část (tj. střední kohomologie) 2m-dimenzionální hyperplocha ${ displaystyle X podmnožina mathbf {P} ^ {2m + 1}}$. Pokud stupeň d je 2, tj. X je kvadrický, Hodgeova domněnka platí pro všechny m. Pro ${ displaystyle m = 2}$, tj., čtyřnásobně, Hodgeova domněnka je známá ${ displaystyle d leq 5}$.^[1]

Abelianské odrůdy

Pro většinu abelianské odrůdy, algebra Hdg * (X) je generován v prvním stupni, takže Hodgeova domněnka platí. Hodgeova domněnka platí zejména pro dostatečně obecné abelianské odrůdy, pro produkty eliptických křivek a pro jednoduché abelianské odrůdy primární dimenze.^[2][3][4] Nicméně, Mumford (1969) zkonstruoval příklad abelianské odrůdy, kde Hdg²(X) není generován produkty tříd dělitelů. Weil (1977) zobecnil tento příklad tím, že ukázal, že kdykoli má odrůda komplexní násobení podle imaginární kvadratické pole, pak Hdg²(X) není generován produkty tříd dělitelů. Moonen & Zarhin (1999) dokázal, že v dimenzi menší než 5 buď Hdg * (X) je generován v prvním stupni, nebo má odrůda komplexní násobení imaginárním kvadratickým polem. V druhém případě je Hodgeova domněnka známa pouze ve zvláštních případech.

Zobecnění

Integrální Hodgeova domněnka

Hodgeova původní domněnka byla:

Integrální Hodgeova domněnka. Nechat X být projektivní komplexní potrubí. Pak každá třída cohomologie ${ displaystyle H ^ {2k} (X, mathbb {Z}) cap H ^ {k, k} (X)}$ je třída cohomologie algebraického cyklu se zapnutými integrálními koeficienty X.

O tomto je nyní známo, že je nepravdivé. První protipříklad byl vytvořen uživatelem Atiyah & Hirzebruch (1961). Použitím K-teorie, zkonstruovali příklad třídy torzní kohomologie - tedy třídy kohomologie α takhle nα = 0 pro nějaké kladné celé číslo n—Která není třídou algebraického cyklu. Taková třída je nutně Hodgeova třída. Totaro (1997) reinterpretovali svůj výsledek v rámci cobordism a našel mnoho příkladů takových tříd.

Nejjednodušší úprava integrálního Hodgeova domněnky je:

Integrovaná Hodgeova domněnka modulo torze. Nechat X být projektivní komplexní potrubí. Pak každá třída cohomologie ${ displaystyle H ^ {2k} (X, mathbb {Z}) cap H ^ {k, k} (X)}$ je součet třídy torze a třídy cohomologie algebraického cyklu s integrálními koeficienty na X.

Ekvivalentně, po rozdělení ${ displaystyle H ^ {2k} (X, mathbb {Z}) cap H ^ {k, k} (X)}$ podle torzních tříd je každá třída obrazem kohomologické třídy integrálního algebraického cyklu. To je také nepravdivé. Kollár (1992) našel příklad třídy Hodge α který není algebraický, ale který má integrální násobek, který je algebraický.

Rosenschon & Srinivas (2016) prokázali, že k získání správného integrálního Hodgeova domněnky je třeba nahradit Chowovy skupiny, které lze také vyjádřit jako motivická kohomologie skupiny, variantou známou jako étale (nebo Lichtenbaum) motivická kohomologie. Ukazují, že racionální Hodgeova domněnka je ekvivalentní integrální Hodgeově domněnce pro tuto modifikovanou motivickou kohomologii.

Hodgeova domněnka pro odrůdy Kähler

Přirozené zobecnění Hodgeova domněnky by si vyžádalo:

Hodgeova domněnka pro odrůdy Kähler, naivní verze. Nechat X být složitým potrubím Kähler. Pak každá hodge hodina X je lineární kombinace s racionálními koeficienty tříd kohomologie komplexních poddruhů X.

To je příliš optimistické, protože k tomu, aby to fungovalo, není dostatek poddruhů. Možnou náhradou je položit jednu ze dvou následujících otázek:

Hodgeova domněnka pro odrůdy Kähler, verze vektorového svazku. Nechat X být složitým potrubím Kähler. Pak každá hodge hodina X je lineární kombinace s racionálními koeficienty Chernových tříd vektorových svazků X.

Hodgeova domněnka pro odrůdy Kähler, verze s koherentním svazkem. Nechat X být složitým potrubím Kähler. Pak každá hodge hodina X je lineární kombinace s racionálními koeficienty Chernových tříd koherentních snopů X.

Voisin (2002) dokázal, že Chernovy třídy koherentních snopů dávají přísně více Hodgeových tříd než Chernovy třídy vektorových svazků a že Chernovy třídy koherentních snopů nejsou dostatečné pro generování všech Hodgeových tříd. Jediné známé formulace Hodgeova domněnky pro odrůdy Kähler jsou tedy falešné.

Zobecněná Hodgeova domněnka

Hodge vytvořil další, silnější domněnku než integrální Hodgeova domněnka. Řekněme, že jde o hodinu cohomologie X je z co-level c (coniveau c), pokud se jedná o přínos třídy kohomologie na a C-codimensional subvariety of X. Třídy cohomologie alespoň na úrovni C filtrovat kohomologii X, a je snadno vidět, že CTřetí krok filtrace N^CH^k(X, Z) splňuje

${ displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X, mathbf {Z}) subseteq H ^ {k} (X, mathbf {Z}) cap (H ^ {kc, c} (X ) oplus cdots oplus H ^ {c, kc} (X)).}$

Hodgeovo původní prohlášení bylo:

Zobecněná Hodgeova domněnka, Hodgeova verze. ${ displaystyle N ^ {c} H ^ {k} (X, mathbf {Z}) = H ^ {k} (X, mathbf {Z}) cap (H ^ {kc, c} (X) oplus cdots oplus H ^ {c, kc} (X)).}$

Grothendieck (1969) poznamenal, že to nemůže být pravda, dokonce ani při racionálních koeficientech, protože pravá strana není vždy Hodgeovou strukturou. Jeho opravená forma Hodgeova domněnky je:

Zobecněná Hodgeova domněnka. N^CH^k(X, Q) je největší sub-Hodgeovou strukturou v H^k(X, Z) obsaženo v ${ displaystyle H ^ {k-c, c} (X) oplus cdots oplus H ^ {c, k-c} (X).}$

Tato verze je otevřená.

Algebraicita Hodge loci

Nejsilnějším důkazem ve prospěch Hodgeho domněnky je výsledek algebraicity Cattani, Deligne & Kaplan (1995). Předpokládejme, že měníme složitou strukturu X přes jednoduše připojenou základnu. Pak topologická kohomologie X se nemění, ale Hodgeův rozklad se mění. Je známo, že pokud je Hodgeova domněnka pravdivá, pak je lokus všech bodů na základně, kde je cohomologie vlákna Hodgeovou třídou, ve skutečnosti algebraickou podmnožinou, to znamená, že je vyříznut polynomiálními rovnicemi. Cattani, Deligne & Kaplan (1995) dokázali, že to je vždy pravda, aniž by předpokládali Hodgeovu domněnku.

Viz také

• Tate dohad
• Hodgeova teorie
• Hodgeova struktura
• Mapování období

Reference

• Atiyah, M. F.; Hirzebruch, F. (1961), „Analytic cycle on complex manifolds“, Topologie, 1: 25–45, doi:10.1016/0040-9383(62)90094-0 Dostupné z Sbírka Hirzebruch (pdf).
• Cattani, Eduardo; Deligne, Pierre; Kaplan, Aroldo (1995), „On the locus of Hodge classes“, Journal of the American Mathematical Society, 8 (2): 483–506, arXiv:alg-geom / 9402009, doi:10.2307/2152824, JSTOR  2152824, PAN  1273413.
• Grothendieck, A. (1969), „Hodgeova obecná domněnka je falešná z triviálních důvodů“, Topologie, 8 (3): 299–303, doi:10.1016/0040-9383(69)90016-0.
• Hodge, W. V. D. (1950), „Topologické invarianty algebraických odrůd“, Sborník příspěvků z mezinárodního kongresu matematiků, Cambridge, MA, 1: 181–192.
• Kollár, János (1992), "Trento examples", v Ballico, E .; Catanese, F .; Ciliberto, C. (eds.), Klasifikace nepravidelných odrůd, Poznámky k přednášce v matematice., 1515, Springer, str. 134, ISBN  978-3-540-55295-6.
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique„Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (ve francouzštině), Paříž: Gauthier-Villars Přetištěno Lefschetz, Solomon (1971), Vybrané příspěvky, New York: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0234-7, PAN  0299447.
• Moonen, Ben J. J.; Zarhin, Yuri G. (1999), „Hodge třídy o abelianských odrůdách nízké dimenze“, Mathematische Annalen, 315 (4): 711–733, arXiv:matematika / 9901113, doi:10,1007 / s002080050333, PAN  1731466.
• Mumford, David (1969), „A Note of Shimura's paper“ Nespojité skupiny a abelianské odrůdy"", Mathematische Annalen, 181 (4): 345–351, doi:10.1007 / BF01350672.
• Rosenschon, Andreas; Srinivas, V. (2016), „Étale motivická kohomologie a algebraické cykly“ (PDF), Věstník Matematického ústavu v Jussieu, 15 (3): 511–537, doi:10.1017 / S1474748014000401, PAN  3505657, Zbl  1346.19004
• Totaro, Burte (1997), „Torzní algebraické cykly a komplexní cobordismus“, Journal of the American Mathematical Society, 10 (2): 467–493, arXiv:alg-geom / 9609016, doi:10.1090 / S0894-0347-97-00232-4, JSTOR  2152859.
• Voisin, Claire (2002), „Protiklad k Hodgeově domněnce rozšířený na odrůdy Kähler“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 2002 (20): 1057–1075, doi:10.1155 / S1073792802111135, PAN  1902630.
• Weil, André (1977), „Abelianské odrůdy a Hodgeův prsten“, Shromážděné papíry, III, str. 421–429
• Zucker, Steven (1977), „Hodgeova domněnka pro kubické čtyřnásobky“, Compositio Mathematica, 34 (2): 199–209, PAN  0453741

externí odkazy

• Deligne, Pierre. „Hodgeova domněnka“ (PDF) (Oficiální popis problému Clay Math Institute).
• Populární přednáška o Hodge Conjecture od Dan Freed (University of Texas) (Real Video) (Snímky)
• Biswas, Indranil; Paranjape, Kapil Hari (2002), „Hodgeova domněnka pro obecné odrůdy Prym“, Journal of Algebraic Geometry, 11 (1): 33–39, arXiv:matematika / 0007192, doi:10.1090 / S1056-3911-01-00303-4, PAN  1865912
• Burt Totaro, Proč věřit Hodgeově domněnce?
• Claire Voisinová, Hodge loci