Eilenberg – MacLaneův prostor - Eilenberg–MacLane space

v matematika, a algebraická topologie zejména an Eilenberg – MacLaneův prostor^{[poznámka 1]} je topologický prostor s jedinou netriviální homotopická skupina. Jako takový je prostor Eilenberg – MacLane zvláštním druhem topologický prostor které lze považovat za stavební kámen pro teorie homotopy; z nich lze konstruovat obecné topologické prostory pomocí Postnikovův systém. Tyto prostory jsou důležité v mnoha kontextech v algebraická topologie, včetně konstrukcí prostorů, výpočtů homotopické skupiny sfér a definice cohomologické operace. Název je pro Samuel Eilenberg a Saunders Mac Lane, který takové prostory představil koncem 40. let.

Nechat G být skupinou a n kladné celé číslo. Propojený topologický prostor X se nazývá Eilenberg – MacLaneův prostor typu ${ displaystyle K (G, n)}$, pokud ano n-th homotopická skupina ${ displaystyle pi _ {n} (X)}$ izomorfní s G a všechny ostatní homotopické skupiny triviální. Li ${ displaystyle n> 1}$ pak G musí být abelian. Takový prostor existuje, je a CW-komplex, a je jedinečný až do slabá homotopická ekvivalence. Zneužíváním jazyka se každý takový prostor často nazývá spravedlivý ${ displaystyle K (G, n)}$.

Zobecněný prostor Eilenberg – Maclane je prostor, který má homotopický typ produktu prostorů Eilenberg – Maclane${ displaystyle prod _ {n} K (G_ {n}, n)}$.

Příklady

• The jednotkový kruh ${ displaystyle S ^ {1}}$ je ${ displaystyle K ( mathbb {Z}, 1)}$.
• Nekonečno-dimenzionální složitý projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {CP} ^ { infty}}$ je model ${ displaystyle K ( mathbb {Z}, 2)}$. Své cohomologický prsten je ${ displaystyle mathbb {Z} [x]}$, jmenovitě volný polynomiální kruh na jediném 2-dimenzionálním generátoru ${ displaystyle x}$ ve stupni 2. Generátor může být zastoupen v de Rhamova kohomologie podle Fubini - studium 2-forma. Aplikace ${ displaystyle K ( mathbb {Z}, 2)}$ je popsán jako abstraktní nesmysl.
• Nekonečno-dimenzionální skutečný projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {RP} ^ { infty}}$ je ${ displaystyle K ( mathbb {Z} / 2,1)}$.
• The klínový součet z k jednotkové kruhy ${ displaystyle textstyle bigvee _ {i = 1} ^ {k} S ^ {1}}$ je ${ displaystyle K (F_ {k}, 1)}$ pro ${ displaystyle F_ {k}}$ the volná skupina na k generátory.
• Doplněk k jakémukoli uzlu v trojrozměrné sféře ${ displaystyle S ^ {3}}$ je typu ${ displaystyle K (G, 1)}$; tomu se říká „asférickost uzlů "a je to věta z roku 1957 Christos Papakyriakopoulos.^[1]
• Jakékoli kompaktní, připojené, není pozitivně zakřivený potrubí M je ${ displaystyle K ( Gamma, 1)}$, kde ${ displaystyle Gamma = pi _ {1} (M)}$ je základní skupina M.
• Nekonečný prostor pro čočky dané kvocientem ${ displaystyle S ^ { infty} / ( mathbb {Z} / q) = L ( infty, q)}$ je ${ displaystyle K ( mathbb {Z} / q, 1)}$. To lze ukázat pomocí dlouhé přesné sekvence na homotopických skupinách pro fibraci ${ displaystyle mathbb {Z} / q až S ^ { infty} do L ( infty, q)}$ od té doby ${ displaystyle pi _ {1} (S ^ { infty}) = 0}$ protože nekonečná sféra je smluvní.^[2] Všimněte si, že to zahrnuje ${ displaystyle mathbb {RP} ^ { infty}}$ jako ${ displaystyle K ( mathbb {Z} / 2,1)}$.

Některé další základní příklady mohou být vytvořeny z nich pomocí skutečnosti, že produkt ${ displaystyle K (G, n) krát K (H, n)}$ je ${ displaystyle K (G krát H, n)}$.

A ${ displaystyle K (G, n)}$ lze postavit po etapách, jako a CW komplex, počínaje a klín z n-koule, jeden pro každý generátor skupiny Ga přidání buněk do (možná nekonečného počtu) vyšších dimenzí, aby se zabila veškerá další homotopie. Odpovídající řetězový komplex je dán vztahem Dold – Kan korespondence.

Poznámka ke konstrukci vyšších Eilenberg-Maclaneových prostorů

Existuje několik technik pro konstrukci vyšších Eilenberg-Maclaneových prostorů. Jedním z nich je konstrukce a Mooreův prostor ${ displaystyle M (A, n)}$ pro skupinu abelianů ${ displaystyle A}$ a iterativně zabíjet vyšší homotopické skupiny ${ displaystyle M (A, n)}$ protože nižší homotopické skupiny ${ displaystyle pi _ {i$ jsou triviální. To vyplývá z Hurewiczova věta.

Další užitečnou technikou je nejprve sestrojit ${ displaystyle K (G, 1)}$ pro každou skupinu ${ displaystyle G}$ pomocí jednoduchých technik,^[3] a poté zkonstruujte vyšší Eilenberg-Maclaneovy prostory pomocí homotopická vlákna. Všimněte si, že pro neabelian ${ displaystyle G}$,

${ displaystyle K (G, 2) simeq K (G / [G, G], 2)}$

protože všechny vyšší homotopy skupiny jsou abelian. Vyšší skupiny lze sestavit pomocí ${ displaystyle K (G, 1)}$ protože můžeme rekurzivně použít homotopy cofiber z fibrace

${ displaystyle K (G, n) do *}$

konstruovat ${ displaystyle K (G, n + 1)}$, poskytující fibrační sekvenci

${ displaystyle K (G, n) až * až K (G, n + 1)}$

který lze použít ke studiu kohomologie ${ displaystyle K (G, n + 1)}$ z ${ displaystyle K (G, n)}$ za použití Lerayova spektrální sekvence. To využil Jean-Pierre Serre zatímco studoval homotopické skupiny koulí pomocí Postnikovův systém a spektrální sekvence.

Jednou další technikou je použití geometrické realizace zjednodušené abelianské skupiny.^[4] To poskytuje explicitní prezentace zjednodušených abelianských skupin, které představují Eilenberg-Maclaneovy prostory. Další zjednodušená konstrukce, pokud jde o klasifikace mezer a univerzální svazky, je uveden v J. Peter May kniha.^[5]

Vlastnosti prostorů Eilenberg – MacLane

Rozpětí mezi třídami homotopy map a kohomologií

Důležitá vlastnost ${ displaystyle K (G, n)}$ je to pro každou abelianskou skupinu Ga jakýkoli komplex CW X, sada

${ displaystyle [X, K (G, n)]}$

tříd homotopy map z X na ${ displaystyle K (G, n)}$ je v přirozené bijekci s n-th singulární kohomologie skupina

${ displaystyle H ^ {n} (X; G)}$

prostoru X. Jeden tedy říká, že ${ displaystyle [X, K (G, n)]}$ jsou představující mezery pro kohomologii s koeficienty v G. Od té doby

${ displaystyle H ^ {n} (K (G, n); G) = operatorname {Hom} (H_ {n} (K (G, n); mathbb {Z}), G) = operatorname { Hom} ( pi _ {n} (K (G, n)), G) = operatorname {Hom} (G, G),}$

existuje rozlišovací prvek ${ displaystyle u v H ^ {n} (K (G, n); G)}$ odpovídající totožnosti. Výše uvedená bijekce je dána pullbackem tohoto prvku - ${ displaystyle f mapsto f ^ {*} u}$. To je podobné jako Yoneda lemma z teorie kategorií.

Další verze tohoto výsledku, způsobená Peterem J. Huberem, zakládá bijekci s n-th Čechova kohomologická skupina když X je Hausdorff a paracompact a G je spočítatelné, nebo kdy X je Hausdorff, paracompact a kompaktně generované a G je libovolný. Dalším výsledkem Kiiti Morita zavádí bijekce s n-th číslovatelná cohomologická skupina Čech pro libovolný topologický prostor X a G libovolná abelianská skupina.

Smyčkové prostory

The prostor smyčky prostoru Eilenberg – MacLane je také prostorem Eilenberg – MacLane: ${ displaystyle Omega K (G, n) = K (G, n-1)}$. Tato vlastnost naznačuje, že Eilenberg – MacLane mezery s různými n pro muže omega-spektrum, nazývané Eilenberg – MacLaneovo spektrum. Toto spektrum odpovídá standardní teorii homologie a kohomologie.

Funkčnost

Vyplývá to z věta o univerzálním koeficientu pro cohomologii, že Eilenberg MacLane prostor je kvazi-funktor skupiny; to znamená pro každé kladné celé číslo ${ displaystyle n}$ -li ${ displaystyle a dvojtečka G až G '}$ je jakýkoli homomorfismus abelianských skupin, pak existuje neprázdná množina

${ displaystyle K (a, n) = {[f]: f dvojtečka K (G, n) až K (G ', n), H_ {n} (f) = a },}$

uspokojující ${ displaystyle K (a circ b, n) supset K (a, n) circ K (b, n) { text {a}} 1 v K (1, n),}$kde ${ displaystyle [f]}$ označuje třídu homotopy spojité mapy ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle S circ T: = {s circ t: s v S, t v T }.}$

Vztah s Postnikovovou věží

Každý CW komplex má a Postnikovova věž, to znamená, že je homotopy ekvivalentní iterované fibraci, jejíž vlákna jsou Eilenberg – MacLaneovy prostory.

Kohomologické operace

Skupiny kohomologie prostorů Eilenberg – MacLane lze použít ke klasifikaci všech cohomologické operace.

Aplikace

Konstrukce smyčkového prostoru popsaná výše se používá v teorie strun získat například skupina řetězců, skupina pěti jeřábů a tak dále, jako Whitehead tower vyplývající z krátké přesné posloupnosti

${ displaystyle 0 rightarrow K ( mathbb {Z}, 2) rightarrow operatorname {String} (n) rightarrow operatorname {Spin} (n) rightarrow 0}$

s ${ displaystyle { text {String}} (n)}$ the skupina řetězců, a ${ displaystyle { text {Spin}} (n)}$ the spinová skupina. Relevance ${ displaystyle K ( mathbb {Z}, 2)}$ spočívá ve skutečnosti, že existují homotopické ekvivalence

${ displaystyle K ( mathbb {Z}, 1) simeq U (1) simeq B mathbb {Z}}$

pro třídicí prostor ${ displaystyle B mathbb {Z}}$a skutečnost ${ displaystyle K ( mathbb {Z}, 2) simeq BU (1)}$. Všimněte si, že protože komplexní skupina otáčení je příponou skupiny

${ displaystyle 0 to K ( mathbb {Z}, 1) to { text {Spin}} ^ { mathbb {C}} (n) to { text {Spin}} (n) to 0}$

skupinu String lze považovat za "vyšší" rozšíření skupiny spinů ve smyslu teorie vyšších skupin od prostoru ${ displaystyle K ( mathbb {Z}, 2)}$ je příkladem vyšší skupiny. Lze si představit topologickou realizaci grupoid ${ displaystyle mathbf {B} U (1)}$ jehož objekt je jediný bod a jehož morfismy jsou skupina ${ displaystyle U (1)}$. Kvůli těmto homotopickým vlastnostem konstrukce zobecňuje: jakýkoli daný prostor ${ displaystyle K ( mathbb {Z}, n)}$ lze použít ke spuštění krátké přesné sekvence, která zabije skupinu homotopy ${ displaystyle pi _ {n + 1}}$ v topologická skupina.

Viz také

• Věta o hnědé reprezentativnosti, týkající se reprezentačních prostorů
• Mooreův prostor, analog homologie.
• Homologická sféra

Poznámky

Reference

Základní články

• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945), „Vztahy mezi homologií a homotopy skupin prostorů“, Annals of Mathematics, (Druhá série), 46 (3): 480–509, doi:10.2307/1969165, PAN  0013312
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1950). "Vztahy mezi homologií a homotopy skupin prostorů. II". Annals of Mathematics. (Druhá série). 51 (3): 514–533. doi:10.2307/1969365. PAN  0035435.
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1954). „Na skupinách ${ displaystyle H ( Pi, n)}$. III. Provoz a překážky ". Annals of Mathematics. 60 (3): 513–557. doi:10.2307/1969849. PAN  0065163.

Cartan seminář a aplikace

Cartanský seminář obsahuje mnoho základních výsledků o Eilenberg-Maclaneových prostorech včetně jejich homologie a kohomologie a aplikace pro výpočet homotopy skupin koulí.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

Aplikace

• Huber, Peter J. (1961). „Homotopická kohomologie a Čechova kohomologie“. Mathematische Annalen. 144 (1): 73–76. doi:10.1007 / BF01396544. PAN  0133821.
• Morita, Kiiti (1975). „Čechova kohomologie a krycí rozměr topologických prostorů“. Fundamenta Mathematicae. 87: 31–52. doi:10,4064 / fm-87-1-31-52.
• Papakyriakopoulos, Christos D. (1957). „O Dehnově lemu a asférickosti uzlů“. Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických. 43 (1): 169–172. doi:10.1073 / pnas.43.1.169. PMC  528404. PMID  16589993.
• Papakyriakopoulos, Christos D. (1957). „O Dehnově lemu a asférickosti uzlů“. Annals of Mathematics. 66 (1): 1–26. doi:10.2307/1970113. JSTOR  1970113. PMC  528404.

Další encyklopedické odkazy

• Rudyak, Yu.B. (2001) [1994], „Eilenberg - MacLaneův prostor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Prostor Eilenberg-Mac Lane v nLab