Kleinianova skupina - Kleinian group

v matematika, a Kleinianova skupina je diskrétní podskupina z PSL (2,C). The skupina PSL (2,C) ze 2 o 2 komplex matice z určující 1 modulo své centrum má několik přirozených reprezentací: as konformní transformace z Riemannova koule, a jako zachování orientace izometrie trojrozměrného hyperbolický prostor H³a jako orientační konformní mapy otevřeného prostoru jednotková koule B³ v R³ pro sebe. Kleinianskou skupinu lze proto považovat za diskrétní podskupinu herectví na jednom z těchto prostorů.

Dějiny

Teorii obecných Kleinianových skupin založil Felix Klein (1883 ) a Henri Poincaré (1883 ), který je pojmenoval Felix Klein. Zvláštní případ Schottkyho skupiny byl studován o několik let dříve, v roce 1877, Schottky.

Definice

Uvažováním o míči^{[který? ]} Kleinianovu skupinu lze také definovat jako podskupinu Γ PGL (2,C), komplex projektivní lineární skupina, který jedná Möbiovy transformace na Riemannova koule. Klasicky se od Kleinianovy skupiny vyžadovalo správné diskontinuální jednání na neprázdnou otevřenou podmnožinu Riemannovy sféry, ale moderní využití umožňuje jakoukoli diskrétní podskupinu.

Když Γ je izomorfní s základní skupina ${ displaystyle pi _ {1}}$ a hyperbolický 3-potrubí, pak kvocientový prostor H³/ Γ se stává a Kleinianův model potrubí. Mnoho autorů používá tyto výrazy Kleinianův model a Kleinianova skupina zaměnitelně a nechat jednoho stát za druhým.

Diskrétnost znamená body v B³^{[je zapotřebí objasnění ]} mít konečné stabilizátory a diskrétní oběžné dráhy ve skupině Γ. Ale oběžná dráha Γstr bodu str bude obvykle akumulovat na hranici uzavřená koule ${ displaystyle { bar {B}} ^ {3}}$ .

An Apollonian těsnění je příklad limitní sady Kleinianovy skupiny

Hranice uzavřené koule se nazývá koule v nekonečnua je označen ${ displaystyle S _ { infty} ^ {2}}$ . Sada akumulační body z Γstr v ${ displaystyle S _ { infty} ^ {2}}$ se nazývá nastaven limit z Γ a obvykle se označuje ${ displaystyle Lambda ( Gamma)}$ . Doplněk ${ displaystyle Omega ( Gamma) = S _ { infty} ^ {2} - Lambda ( Gamma)}$ se nazývá doména diskontinuity nebo obyčejná sada nebo běžná sada. Ahlforsova věta o konečnosti znamená, že pokud je skupina definitivně generována, pak ${ displaystyle Omega ( Gamma) / Gamma}$ je Riemannova povrchová orbifold konečného typu.

Jednotková koule B³ s jeho konformní strukturou je Poincarého model z hyperbolický 3-prostor. Když o tom uvažujeme metricky, metricky

{ displaystyle ds ^ {2} = { frac {4 , doleva | dx doprava | ^ {2}} { doleva (1- | x | ^ {2} doprava) ^ {2}}} }

je to model trojrozměrného hyperbolického prostoru H³. Sada konformních vlastních map B³ se stává množinou izometrie (tj. mapy zachovávající vzdálenost) H³ pod touto identifikací. Takové mapy se omezují na konformní vlastní mapy ${ displaystyle S _ { infty} ^ {2}}$ , což jsou Möbiovy transformace. Existují izomorfismy

{ displaystyle operatorname {Mob} (S _ { infty} ^ {2}) cong operatorname {Conf} (B ^ {3}) cong operatorname {Isom} ( mathbf {H} ^ {3} ).}

The podskupiny z těchto skupin se skládá z zachování orientace transformace jsou všechny izomorfní se skupinou projektivní matice: PSL (2,C) prostřednictvím obvyklé identifikace jednotková koule s komplexní projektivní linie P¹(C).

Variace

Existují určité variace definice Kleinianovy skupiny: někdy je Kleinianovým skupinám povoleno být podskupinami PSL (2, C) .2 (PSL (2, C) rozšířené o komplexní konjugace), jinými slovy, aby měly prvky obracející orientaci, a někdy se předpokládá, že jsou definitivně generováno, a někdy se vyžaduje, aby řádně diskontinuálně působili na neprázdnou otevřenou podmnožinu Riemannovy sféry.

Typy

Kleinianská skupina je považována za konečný typ pokud má jeho oblast diskontinuity konečný počet oběžných drah komponent pod skupinovou akcí a kvocient každé komponenty pomocí jejího stabilizátoru je kompaktní Riemannova plocha s odstraněním konečně mnoha bodů a krytí je rozvětveno v konečně mnoha bodech.
Nazývá se skupina Kleinian definitivně generováno pokud má konečný počet generátorů. The Ahlforsova věta o konečnosti říká, že taková skupina je konečného typu.
Kleinská skupina Γ má konečný objem -li H³/ Γ má konečný objem. Jakákoli Kleinianova skupina konečného covolumu je definitivně generována.
Nazývá se skupina Kleinian geometricky konečný pokud má základní mnohostěn (v hyperbolickém 3-prostoru) s konečně mnoha stranami. Ahlfors ukázal, že pokud nastavený limit není celá Riemannova koule, pak má míru 0.
Říká se Kleinian skupina Γ aritmetický je-li to srovnatelné s prvky skupiny norem 1 řádu kvaternionové algebry A rozvětvené na všech skutečných místech nad číselným polem k s přesně jedním komplexním místem. Aritmetické Kleinianovy skupiny mají konečný objem.
Říká se Kleinian skupina Γ cocompact -li H³/ Γ je kompaktní nebo ekvivalentně SL (2, C) / Γ je kompaktní. Skupiny cocompact Kleinian mají konečný objem.
Nazývá se skupina Kleinian topologicky zkrotit pokud je definitivně generován a jeho hyperbolické potrubí je homeomorfní s vnitřkem kompaktního potrubí s hranicí.
Nazývá se skupina Kleinian geometricky krotký pokud jsou jeho konce buď geometricky konečné, nebo jednoduše zdegenerované (Thurston 1980 ).
Kleinianská skupina je považována za typ 1 je-li nastavený limit celá Riemannova sféra, a typ 2 v opačném případě.

Příklady

Bianchi skupiny

A Bianchi skupina je Kleinian skupina ve formě PSL (2, Ó_d), kde ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {d}}$ je kruh celých čísel imaginární kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-d}}}}$ pro d pozitivní celé číslo bez čtverců.

Základní a redukovatelné Kleinianovy skupiny

Kleinianova skupina se nazývá elementární, pokud je její sada limitů konečná, v takovém případě má sada limitů 0, 1 nebo 2 body. Příklady elementárních Kleinianových skupin zahrnují konečné Kleinianovy skupiny (s prázdným nastaveným limitem) a nekonečné cyklické Kleinianovy skupiny.

Kleinianova skupina se nazývá redukovatelná, pokud mají všechny prvky společný pevný bod na Riemannově sféře. Redukovatelné Kleinianovy skupiny jsou základní, ale některé základní konečné Kleinianovy skupiny nejsou redukovatelné.

Fuchsijské skupiny

Žádný Fuchsijská skupina (diskrétní podskupina SL (2, R)) je skupina Kleinian, a naopak jakákoli skupina Kleinian zachovávající skutečnou linii (ve svém působení na Riemannovu sféru) je skupina Fuchsian. Obecněji řečeno, každá Kleinianova skupina zachovávající kruh nebo přímku v Riemannově sféře je konjugována s fuchsijskou skupinou.

Koebe skupiny

A faktor Kleinianské skupiny G je podskupina H maximální s výhradou následujících vlastností:
- H má jednoduše připojenou invariantní komponentu D
- Konjugát prvku h z H konformní bijekcí je parabolický nebo eliptický právě tehdy h je.
- Libovolný parabolický prvek G kterým se stanoví hraniční bod D je v H.
Kleinianská skupina se nazývá a Koebe skupina pokud jsou všechny jeho faktory elementární nebo fuchsijské.

Kvazi-fuchsijské skupiny

Limitní množina kvazifuchsijské skupiny

Kleinská skupina, která zachovává a Jordanova křivka se nazývá a kvazi-fuchsiová skupina. Když je Jordanova křivka kruh nebo přímka, jsou konjugovány s fuchsiánskými skupinami pod konformními transformacemi. Konečně generované kvazi-fuchsijské skupiny jsou konjugovány na fuchsijské skupiny pod kvazi-konformními transformacemi. Sada limitů je obsažena v invariantní Jordanově křivce a rovná se Jordanově křivce, o které se říká, že je ve skupině zadejte jeden, a jinak se říká, že je z typ 2.

Schottkyho skupiny

Nechat C_i být hraničními kruhy konečné sady disjunktních uzavřených disků. Skupina generovaná uživatelem inverze v každém kruhu je nastaven limit a Cantor set a kvocient H³/G je zrcadlo orbifold s podkladovým prostorem koule. to je dvojitě zakryté podle a řídítka; korespondence index 2 podskupina je Kleinian skupina s názvem a Schottkyho skupina.

Krystalografické skupiny

Nechat T být periodicky mozaikování hyperbolického 3 prostoru. Skupina symetrií mozaiky je Kleinianova skupina.

Základní skupiny hyperbolických 3-variet

Základní skupinou jakéhokoli orientovaného hyperbolického 3-potrubí je Kleinianova skupina. Existuje mnoho příkladů z nich, například doplněk uzlu obrázku 8 nebo Seifert – Weberův prostor. Naopak pokud Kleinianova skupina nemá žádné netriviální torzní prvky, pak je to základní skupina hyperbolického 3-potrubí.

Degenerujte Kleinianské skupiny

Kleinianova skupina se nazývá degenerovaná, pokud není elementární a její limitní sada je jednoduše spojena. Takové skupiny mohou být vytvořeny tak, že se vezme vhodný limit kvazi-fuchsiánských skupin tak, že jedna ze dvou složek pravidelných bodů se sníží na prázdnou množinu; tyto skupiny se nazývají jednotlivě zdegenerovat. Pokud se obě složky kontraktu pravidelné množiny sníží na prázdnou množinu, pak se sada limitů stane křivkou vyplňování prostoru a skupina se nazývá dvojnásobně zdegenerovaný. Existenci zdegenerovaných kleinských skupin poprvé prokázal nepřímo Bers (1970) a první explicitní příklad našel Jørgensen. Cannon & Thurston (2007) uvedl příklady dvojnásobně zdegenerovaných skupin a křivek vyplňování prostoru spojených s pseudo-anosovské mapy.

Viz také

Reference

Bers, Lipmane (1970), "Na hranicích Teichmüllerových prostorů a na Kleinianových skupinách. I", Annals of Mathematics, Druhá série, 91 (3): 570–600, doi:10.2307/1970638, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970638, PAN 0297992
Bers, Lipmane; Kra, Irwin, eds. (1974), Rychlokurz Kleinianských skupin (PDF)Přednášky z matematiky, 400, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0065671, hdl:10077/4140, ISBN 978-3-540-06840-2, PAN 0346152
Cannon, James W .; Thurston, William P. (2007) [1982], „Group invariant Peano curves“, Geometrie a topologie, 11 (3): 1315–1355, doi:10.2140 / gt.2007.11.1315, ISSN 1465-3060, PAN 2326947
Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen (v němčině), Lipsko: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01
Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (v němčině), Lipsko: B. G. Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM 32.0430.01
Harvey, William James (1978), „Kleinian groups (an survey).“, Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77), Exp. Č. 491, Poznámky k přednášce v matematice., 677, Springer, Berlín, str. 30–45, doi:10.1007 / BFb0070752, ISBN 978-3-540-08937-7, PAN 0521758
Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolická potrubí a diskrétní skupiny, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, PAN 1792613
Klein, Felix (1883), „Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie“, Mathematische Annalen, 21 (2): 141–218, doi:10.1007 / BF01442920, ISSN 0025-5831, JFM 15.0351.01, S2CID 120465625
Kra, Irwin (1972), Automorfní formy a Kleinianovy skupiny, Series Mathematics Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., Reading, Mass., PAN 0357775
Krushkal, S.L. (2001) [1994], „Kleinianova skupina“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), Aritmetika hyperbolických 3-variet, Postgraduální texty z matematiky, 219, Berlín, New York: Springer-Verlag, CiteSeerX 10.1.1.169.1318, doi:10.1007/978-1-4757-6720-9, ISBN 978-0-387-98386-8, PAN 1937957
Maskit, Bernard (1988), Kleinianské skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 287, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-17746-3, PAN 0959135
Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko (1998), Hyperbolická potrubí a Kleinianovy skupiny Oxfordské matematické monografie, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850062-9, PAN 1638795
Mumford, David; Série, Caroline; Wright, David (2002), Indrovy perly, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9781107050051.024, ISBN 978-0-521-35253-6, PAN 1913879
Poincaré, Henri (1883), „Mémoire sur Les groupes kleinéens“, Acta Mathematica, 3: 49–92, doi:10.1007 / BF02422441, ISSN 0001-5962, JFM 15.0348.02
Série, Caroline (2005), „Rychlokurz Kleinianových skupin“, Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste, 37 (1): 1–38, ISSN 0049-4704, PAN 2227047, archivovány z originál dne 22.07.2011
- Thurston, William (1980), Geometrie a topologie tří potrubí, Princeton skripta
Thurston, William P. (1982), „Trojrozměrná potrubí, Kleinianovy skupiny a hyperbolická geometrie“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 6 (3): 357–381, doi:10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0, ISSN 0002-9904, PAN 0648524

externí odkazy

Obrázek limitní množiny kvazi-fuchsijské skupiny z (Fricke & Klein 1897, str. 418).
Obrázek sady limitů skupiny Kleinian z (Fricke & Klein 1897, str. 440). Toto byl jeden z prvních obrázků sady limitů. Počítačový výkres se stejnou sadou limitů
Animace sad limitů Kleinianovy skupiny
Obrázky související se skupinami Kleinian od McMullen
Weisstein, Eric W. „Kleinian Group“. MathWorld.