Teorie lži - Lie theory - Wikipedia

v matematika, výzkumný pracovník Sophus Lie (/ˈliː/ ZÁVĚTŘÍ ) zahájené linie studia zahrnující integraci diferenciální rovnice, transformační skupiny, a Kontakt z koule kteří začali být voláni Teorie lži.^[1] Například druhý předmět je Geometrie sféry lži. Tento článek se věnuje jeho přístupu k transformačním skupinám, který je jedním z oblasti matematiky, a byl vypracován uživatelem Wilhelm Killing a Élie Cartan.

Základem teorie Lie je exponenciální mapa týkající Lež algebry na Lež skupiny který se nazývá Ležová skupina - korespondence Lieovy algebry. Předmět je součástí diferenciální geometrie protože Lieovy skupiny jsou diferencovatelné potrubí. Ležové skupiny se vyvíjejí z identity (1) a tečné vektory na jednoparametrické podskupiny generovat Lieovu algebru. Struktura Lieovy skupiny je implicitní v její algebře a struktura Lieovy algebry je vyjádřena kořenové systémy a kořenová data.

Teorie lži byla obzvláště užitečná v matematická fyzika protože popisuje standardní transformační skupiny: Galileova skupina, Skupina Lorentz, Poincaré skupina a konformní skupina časoprostoru.

Základní teorie lži

The jednoparametrické skupiny jsou první instance teorie Lie. The kompaktní případ vyvstává Eulerův vzorec v složité letadlo. V souboru se vyskytují další skupiny s jedním parametrem rozdělené komplexní číslo letadlo jako jednotka hyperbola

${ Displaystyle lbrace exp (it) = cosh (t) + i sinh (t): t v R rbrace,}$

a v dvojí číslo letadlo jako přímka ${ displaystyle lbrace exp ( varepsilon t) = 1 + varepsilon t: t v R rbrace.}$V těchto případech mají parametry Lie algebry názvy: úhel, hyperbolický úhel, a sklon. Pomocí příslušného „úhlu“ a radiálního vektoru lze kterékoli z těchto rovin získat a polární rozklad. Jakýkoli z těchto rozkladů nebo vykreslení Lieovy algebry může být nezbytný pro vykreslení Lieovy subalgebry 2 × 2 skutečná matice.

Existuje klasická 3parametrická Lieova skupina a pár algebry: the čtverce jednotkové délky které lze identifikovat pomocí 3 koule. Jeho Lieova algebra je podprostorem čtveřice vektory. Protože komutátor ij - ji = 2k, Lieova závorka v této algebře je dvakrát větší než křížový produkt obyčejný vektorová analýza.

Další základní příklad 3 parametrů je uveden v Skupina Heisenberg a jeho Lieova algebra. Standardní léčba Lieovy teorie často začíná s klasické skupiny.

Historie a rozsah

Rané výrazy Lieovy teorie lze nalézt v knihách od autora Sophus Lie s Friedrich Engel a Georg Scheffers od roku 1888 do roku 1896.

V Lieově rané práci šlo o konstrukci teorie spojité skupiny, k doplnění teorie diskrétní skupiny který se vyvinul v teorii modulární formy, v rukou Felix Klein a Henri Poincaré. Počáteční aplikace, kterou měl Lie na mysli, byla teorie diferenciální rovnice. Na modelu Galoisova teorie a polynomiální rovnice, hnací koncepce byla teorie schopné sjednotit studiem symetrie, celá oblast obyčejné diferenciální rovnice.

Podle historika Thomase W. Hawkinse to bylo Élie Cartan díky čemuž teorie lži byla:

Zatímco Lie měl mnoho plodných nápadů, Cartan byl primárně zodpovědný za rozšíření a aplikace své teorie, díky nimž se stala základní součástí moderní matematiky. Byl to on, kdo s pomocí od Weyl, vyvinul klíčové, v podstatě algebraické myšlenky Zabíjení do teorie struktury a reprezentace napůl jednoduché Lie algebry který hraje tak zásadní roli v dnešní lži. A ačkoli si Lie představoval aplikace své teorie na geometrii, byl to vlastně Cartan, kdo je vlastně vytvořil, například prostřednictvím svých teorií symetrických a zobecněných prostorů, včetně veškerého doprovodného aparátu (pohyblivé rámečky, exteriér diferenciální formy, atd.)^[2]

Lieovy tři věty

Ve své práci na transformačních skupinách Sophus Lie dokázal tři věty týkající se skupin a algeber, které nesou jeho jméno. První věta vykazovala základ algebry skrz nekonečně malé transformace.^[3]:96 Vystavená druhá věta strukturní konstanty algebry jako výsledek komutátorové výrobky v algebře.^[3]:100 The třetí věta ukázaly, že tyto konstanty jsou anti-symetrické a splňují Jacobi identita.^[3]:106 Jak napsal Robert Gilmore:

Lieovy tři věty poskytují mechanismus pro konstrukci Lieovy algebry spojené s jakoukoli Lieovou skupinou. Také charakterizují vlastnosti Lieovy algebry. ¶ Konverze Lieových tří vět dělají opak: poskytují mechanismus pro asociaci Lieovy skupiny s jakoukoli konečnou dimenzionální Lieovou algebrou ... Taylorova věta umožňuje konstrukci kanonické funkce analytické struktury φ (β, α) z Lieovy algebry. ¶ Těchto sedm vět - tři věty o Lži a jejich konverzích a Taylorova věta - poskytují základní ekvivalenci mezi Lieovými grupami a algebrami.^[3]

Aspekty teorie Lie

Teorie lži je často postavena na studiu klasiky lineární algebraické skupiny. Mezi speciální větve patří Weylovy skupiny, Skupiny coxeterů, a budovy. Klasický předmět byl rozšířen na Skupiny typu Lie.

V roce 1900 David Hilbert vyzval teoretiky lži svými Pátý problém prezentovány na Mezinárodní kongres matematiků v Paříži.

Viz také

• Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec
• Seznam témat Lieových skupin
• Integrátor skupiny lži

Poznámky a odkazy

• John A. Coleman (1989) "Největší matematický papír všech dob", Matematický zpravodaj 11(3): 29–38.

Další čtení

• M.A. Akivis & B.A. Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869–1951), přeložil z ruského originálu V.V. Goldberg, kapitola 2: Lie skupiny a Lie algebry, Americká matematická společnost ISBN  0-8218-4587-X .
• P. M. Cohn (1957) Ležové skupiny, Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
  • Nijenhuis, Albert (1959). "Posouzení: Lež skupiny, autor: P. M. Cohn ". Bulletin of the American Mathematical Society. 65 (6): 338–341. doi:10.1090 / s0002-9904-1959-10358-x.
• J. L. Coolidge (1940) Historie geometrických metod, str. 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
• Robert Gilmore (2008) Ležové skupiny, fyzika a geometrie: úvod pro fyziky, inženýry a chemiky, Cambridge University Press ISBN  9780521884006 .
• F. Reese Harvey (1990) Spinory a kalibraceAkademický tisk, ISBN  0-12-329650-1 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3319134666.
• Hawkins, Thomas (2000). Vznik teorie skupin lži: esej z dějin matematiky, 1869–1926. Springer. ISBN  0-387-98963-3.
• Sattinger, David H .; Weaver, O. L. (1986). Lež skupiny a algebry s aplikacemi ve fyzice, geometrii a mechanice. Springer-Verlag. ISBN  3-540-96240-9.
• Stillwell, Johne (2008). Naivní teorie lži. Springer. ISBN  978-0-387-98289-2.
• Heldermann Verlag Journal of Lie Theory

externí odkazy