Automorfismus - Automorphism
v matematika, an automorfismus je izomorfismus od a matematický objekt pro sebe. Je to v jistém smyslu a symetrie objektu a způsob mapování objekt k sobě při zachování celé své struktury. The soubor všech automorfismů předmětu tvoří a skupina, nazvaný skupina automorfismu. Je to, volně řečeno, skupina symetrie objektu.
Definice
V kontextu abstraktní algebra, matematický objekt je algebraická struktura jako a skupina, prsten nebo vektorový prostor. An automorfismus je prostě a bijektivní homomorfismus objektu sám se sebou. (Definice homomorfismu závisí na typu algebraické struktury; viz například skupinový homomorfismus, kruhový homomorfismus, a lineární operátor ).
The morfismus identity (mapování identity ) se nazývá banální automorfismus v některých kontextech. Respektive se nazývají jiné (neidentitní) automorfismy netriviální automorfismy.
Přesná definice automorfismu závisí na typu dotyčného „matematického objektu“ a na tom, co přesně představuje „izomorfismus“ tohoto objektu. Nejobecnějším prostředím, ve kterém mají tato slova význam, je abstraktní obor matematiky teorie kategorií. Teorie kategorií se zabývá abstraktními objekty a morfismy mezi těmito objekty.
V teorii kategorií, an automorfismus je endomorfismus (tj. a morfismus z objektu k sobě), což je také izomorfismus (v kategorickém smyslu slova).
Toto je velmi abstraktní definice, protože v teorii kategorií nemusí být morfismy nutně funkce a objekty nemusí být nutně sady. Ve většině konkrétních nastavení však budou objekty sady s nějakou další strukturou a morfismy budou funkce zachovávající tuto strukturu.
Automorfická skupina
Pokud jsou automorfizmy objektu X tvoří množinu (místo řádného třída ), pak tvoří a skupina pod složení z morfismy. Tato skupina se nazývá automorfická skupina z X.
- Uzavření
- Složení dvou automorfismů je dalším automorfismem.
- Asociativita
- Je to součást definice a kategorie že složení morfismů je asociativní.
- Identita
- Identita je morfismus identity od objektu k sobě samému, což je automorfismus.
- Inverses
- Podle definice má každý izomorfismus inverzi, která je také izomorfismem, a protože inverze je také endomorfismem stejného objektu, je to automorfismus.
Skupina automorfismu objektu X v kategorii C je označen AutC(X), nebo jednoduše Aut (X) pokud je kategorie jasná z kontextu.
Příklady
- v teorie množin, svévolné permutace prvků sady X je automorfismus. Skupina automorfismu X se také nazývá symetrická skupina na X.
- v základní aritmetika, soubor celá čísla, Z, který je považován za přidanou skupinu, má jedinečný netriviální automorfismus: negaci. Považuje se za prsten, ale má pouze banální automorfismus. Obecně řečeno, negace je automorfismem každého abelianská skupina, ale ne kruhu nebo pole.
- Skupinový automorfismus je a skupinový izomorfismus ze skupiny k sobě. Neformálně jde o permutaci prvků skupiny, takže struktura zůstane nezměněna. Pro každou skupinu G existuje přirozený skupinový homomorfismus G → Aut (G) jehož obraz je skupina Inn (G) z vnitřní automorfismy a jehož jádro je centrum z G. Pokud tedy G má triviální centrum to může být vloženo do jeho vlastní skupiny automorphism.[1]
- v lineární algebra, endomorfismus a vektorový prostor PROTI je lineární operátor PROTI → PROTI. Automorfismus je invertibilní lineární operátor PROTI. Když je vektorový prostor konečně-dimenzionální, skupina automorfismu PROTI je stejný jako obecná lineární skupina, GL (PROTI). (Algebraická struktura všechny endomorfismy PROTI je sama algebra nad stejným základním polem jako PROTI, jehož invertibilní prvky přesně se skládají z GL (PROTI).)
- Polní automorfismus je bijektivní kruhový homomorfismus od a pole pro sebe. V případech racionální čísla (Q) a reálná čísla (R) neexistují žádné netriviální polní automorfismy. Některá podpole z R mají netriviální polní automatorfismy, které se však nevztahují na všechny R (protože nemohou zachovat vlastnost čísla, které má druhou odmocninu v R). V případě komplexní čísla, C, existuje jedinečný netriviální automorfismus, který vysílá R do R: komplexní konjugace, ale existuje nekonečně (nespočetně ) mnoho "divokých" automorfismů (za předpokladu axiom volby ).[2][3] Polní automorfismy jsou pro teorii důležité rozšíření pole, zejména Galois rozšíření. V případě rozšíření Galois L/K. the podskupina všech automorfismů L upevnění K. bodově se nazývá Galoisova skupina rozšíření.
- Automorfická skupina skupiny čtveřice (H) jako prsten jsou vnitřní automorfismy, tím Věta Skolem – Noether: mapy formuláře A ↦ bab−1.[4] Tato skupina je izomorfní na SO (3), skupina rotací v trojrozměrném prostoru.
- Automorfická skupina skupiny octonions (Ó) je výjimečný Lež skupina G2.
- v teorie grafů an automorfismus grafu je permutace uzlů, která zachovává hrany a jiné hrany. Zejména pokud jsou dva uzly spojeny hranou, jsou také jejich obrazy pod permutací.
- v geometrie, automorfismus lze nazvat a pohyb prostoru. Používá se také odborná terminologie:
- v metrická geometrie automorfismus je sebe samaizometrie. Automorfické skupině se také říká izometrická skupina.
- V kategorii Riemannovy povrchy, automorfismus je biholomorfní mapa (nazývaná také a konformní mapa ), z povrchu na sebe. Například automatorfismy Riemannova koule jsou Möbiovy transformace.
- Automorfismus rozlišitelnosti potrubí M je difeomorfismus z M pro sebe. Automorfická skupina je někdy označována jako Diff (M).
- v topologie se nazývají morfismy mezi topologickými prostory průběžné mapy, a automorfismus topologického prostoru je a homeomorfismus prostoru pro sebe, nebo self-homeomorphism (viz homeomorfismus skupina ). V tomto příkladu je nedostatečný aby morfismus byl bijektivní, aby byl izomorfismem.
Dějiny
Jeden z prvních skupinových automorfismů (automorfismus skupiny, nikoli pouze skupina automorfismů bodů) byl dán irským matematikem William Rowan Hamilton v roce 1856, v jeho ikosiánský počet, kde objevil řád dva automorfismus,[5] psaní:
aby je nový pátý kořen jednoty, spojený s bývalým pátým kořenem vztahy dokonalé vzájemnosti.
Vnitřní a vnější automorfismy
V některých kategoriích - zejména skupiny, prsteny, a Lež algebry —Je možné oddělit automorfismy do dvou typů, nazývaných „vnitřní“ a „vnější“ automorfismy.
V případě skupin: vnitřní automorfismy jsou konjugace prvky samotné skupiny. Pro každý prvek A skupiny G, konjugace A je operace φA : G → G dána φA(G) = aga−1 (nebo A−1ga; použití se liší). Tuto konjugaci lze snadno zkontrolovat pomocí A je skupinový automorfismus. Vnitřní automorfismy tvoří a normální podskupina aut (G), označený Inn (G); tomu se říká Goursatovo lemma.
Ostatní automorfismy se nazývají vnější automorfismy. The kvocientová skupina Aut (G) / Hospoda(G) je obvykle označeno Out (G); netriviální prvky jsou kosety které obsahují vnější automorfismy.
Stejná definice platí pro všechny unital prsten nebo algebra kde A je jakýkoli invertibilní prvek. Pro Lež algebry definice je mírně odlišná.
Viz také
- Antiautomorfismus
- Automorfismus (v sudoku)
- Charakteristická podskupina
- Endomorfismus prsten
- Frobenius automorfismus
- Morfismus
- Objednejte automorfismus (v teorie objednávek ).
- Vztah zachovávající automorfismus
- Frakční Fourierova transformace
Reference
- ^ PJ Pahl, R Damrath (2001). „§7.5.5 Automorfismy“. Matematické základy výpočetního inženýrství (Překlad Felix Pahl ed.). Springer. p. 376. ISBN 3-540-67995-2.
- ^ Yale, Paul B. (květen 1966). „Automorfismy komplexních čísel“ (PDF). Matematický časopis. 39 (3): 135–141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
- ^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras a Spinors (2. vyd.), Cambridge University Press, s. 22–23, ISBN 0-521-00551-5
- ^ Příručka algebry, 3, Elsevier, 2003, s. 453
- ^ Sir William Rowan Hamilton (1856). „Memorandum respektující nový systém kořenů jednoty“ (PDF). Filozofický časopis. 12: 446.