Christopher Deninger - Christopher Deninger

Christopher Deninger
Christopher Deninger.jpg
narozený (1958-04-08) 8. dubna 1958 (věk 62)
Alma materUniverzita v Kolíně nad Rýnem
Vědecká kariéra
PoleMatematika
InstituceUniversity of Münster
Doktorský poradceCurt Meyer
DoktorandiAnnette Huber-Klawitter
Annette Werner[1]

Christopher Deninger (narozen 8. dubna 1958) je a Němec matematik na University of Münster. Deningerův výzkum se zaměřuje na aritmetická geometrie, včetně aplikací do L-funkce.

Kariéra

Deninger získal svůj doktorát z Univerzita v Kolíně nad Rýnem v roce 1982 pod dohledem Curt Meyer. V roce 1992 sdílel a Cena Gottfrieda Wilhelma Leibnize s Michael Rapoport, Peter Schneider a Thomas Zink. V roce 1998 byl plenární řečník na Mezinárodním kongresu matematiků v roce 1998 v Berlíně.[2] V roce 2012 se stal členem Americká matematická společnost.[3]

Matematická práce

Artin – Verdierova dualita

V sérii prací v letech 1984 až 1987 studoval Deninger rozšíření Artin – Verdierova dualita. Obecně řečeno, Artin – Verdierova dualita, důsledek teorie pole, je aritmetický analog Poincaré dualita, a dualita pro svazek kohomologie na kompaktním potrubí. V této paralele (spektrum kruhu) celých čísel v a pole s číslem odpovídá a 3-potrubí. Následující práce Mazur, Deninger (1984) rozšířil dualitu Artin – Verdier na funkční pole. Deninger poté tyto výsledky rozšířil do různých směrů, například do netočivých kotoučů (1986 ), aritmetické povrchy (1987 ), stejně jako vyšší dimenze místní pole (s Wingbergem, 1986 ). Vzhled Bloch je motivické komplexy považované v posledních příspěvcích ovlivnily práce několika autorů včetně Geisser (2010), kteří identifikovali Blochovy komplexy jako dualizační komplexy nad schématy vyšších dimenzí.

Zvláštní hodnoty L-funkce

Další skupina Deningerových studií L-funkce a jejich speciální hodnoty. Klasický příklad L-funkce je Funkce Riemann zeta ζ (s), pro které vzorce jako

ζ (2) = π2 / 6

jsou známé již od Eulera. V orientačním článku Beilinson (1984) navrhl soubor dalekosáhlých dohadů popisujících speciální hodnoty L-funkce, tj. hodnoty L-funkce na celá čísla. Stručně řečeno, Beilinsonovy dohady tvrdit, že pro hladký projektivní algebraická rozmanitost X přes Q, motivická kohomologie z X by měl úzce souviset s Deligneova kohomologie z X. Kromě toho by vztah mezi těmito dvěma teoriemi cohomologie měl podle Beilinsonovy domněnky vysvětlit pólové řády a hodnoty

L(hn(X), s)
Jakékoli dva ze tří Borromejské prsteny lze oddělit, přesto jsou tři kroužky spojeny. K algebraickému zachycení tohoto jevu lze použít produkt Massey ze tří tříd kohomologie daných vinutím kolem každého kruhu.

na celá čísla s. Bloch a Beilinson prokázali podstatnou část této domněnky h1(X) v případě, že X je eliptická křivka s komplexní násobení a s= 2. v 1988, Deninger & Wingberg uvedli výklad tohoto výsledku. v 1989 a 1990, Deninger rozšířil tento výsledek na určité eliptické křivky, které Shimura vůbec zvažoval s≥2. Deninger & Nart (1995 ) vyjádřil výškové párování, klíčová složka Beilinsonova domněnky, jako přirozené spárování Ext-skupiny v určité kategorii motivů. v 1995, Studoval Deninger Produkty Massey v Deligne kohomologii a z toho se domníval vzorec pro speciální hodnotu pro L-funkce eliptická křivka na s= 3, což následně potvrdilo Goncharov (1996). Od roku 2018 je Beilinsonova domněnka stále široce otevřená a Deningerovy příspěvky zůstávají jedním z mála případů, kdy byla Beilinsonova domněnka úspěšně napadena (průzkumy týkající se tohoto tématu zahrnují Deninger & Scholl (1991), Nekovář (1994) ).

L-funkce prostřednictvím regularizovaných determinantů

Riemannova ζ funkce je definována pomocí a součin Eulerových faktorů

pro každé prvočíslo str. Abychom získali funkční rovnici pro ζ (s) je třeba je znásobit dalším výrazem zahrnujícím Funkce gama:

Obecnější L-funkce jsou také definovány produkty Euler, zahrnující na každém konečném místě determinant Frobeniova endomorfismus jednající na l-adická kohomologie některých odrůda X / Q, zatímco Eulerův faktor pro nekonečné místo je podle Serre, produkty Gamma funkcí v závislosti na Hodgeovy struktury připojený k X / Q. Deninger (1991) vyjádřil tyto Γ faktory z hlediska regularizované determinanty a přesunul se dál 1992 a ve větší obecnosti v 1994, sjednotit Eulerovy faktory L- funkce na konečných i nekonečných místech pomocí regularizovaných determinantů. Například pro Eulerovy faktory Riemannovy zeta-funkce zní tento jednotný popis

Tady str je buď prvočíslo nebo nekonečno, což odpovídá non-Archimédovým Eulerovým faktorům a Archimédovu Eulerovu faktoru a Rstr je prostor konečné Fourierovy řady se skutečnou hodnotou R/ log (str)Z pro prvočíslo str, a R∞ = R[exp (−2y)]. Nakonec Θ je derivace R-akce daná posunutím těchto funkcí.Deninger (1994) také vykazovaly podobný sjednocující přístup pro ε-faktory (které vyjadřují poměr mezi dokončenými L-funkce na s a na 1−s).

Aritmetický web

Tyto výsledky vedly Deningera k návrhu programu týkajícího se existence „aritmetické stránky“ Y spojené s zhutnění z Spec Z. Mimo jiné by tato stránka byla vybavena akce z Ra každé prvočíslo str odpovídá uzavřené oběžné dráze R-akce záznamu délky (str). Kromě toho jsou analogie mezi vzorci v teorii analytických čísel a dynamice foliované prostory vedl Deningera k domněnce o existenci foliace na tomto webu. Navíc má být tato stránka obdařena nekonečně dimenzionální teorií cohomologie, že L- funkce motivu M je dána

Tady M je motiv, například motivy hn(X) vyskytující se v Beilinsonově domněnce a F(M) je koncipován jako snop Y připojeno k motivu M. Provozovatel Θ je nekonečně malý generátor z tok dané R-akce. The Riemannova hypotéza by byl podle tohoto programu důsledkem vlastností paralelních s pozitivitou párování křižovatek v Hodgeova teorie. Verze Lefschetzův sledovací vzorec na tomto webu, který by byl součástí tohoto domnělého uspořádání, bylo prokázáno jinými prostředky pomocí Deninger (1993). v 2010 Deninger dokázal, že klasické dohady Beilinsona a Blocha týkající se teorie průniku z algebraické cykly by byly další důsledky jeho programu.

Tento program zkoumal Deninger při svých jednáních na konferenci Evropský kongres matematiků v 1992, na Mezinárodní kongres matematiků v 1998, a také Leichtnam (2005). v 2002, Deninger zkonstruoval foliovaný prostor, který odpovídá eliptická křivka přes konečné pole, a Hesselholt (2016) ukázaly, že Hasse-Weilova zeta-funkce hladké správné odrůdy skončila Fstr lze vyjádřit pomocí regularizovaných determinantů zahrnujících topologická Hochschildova homologie. Kromě toho byla plodně studována analogie mezi uzly a prvočísly aritmetická topologie. Jak 2018, výstavba foliovaného prostoru odpovídající Spec Z zůstává nepolapitelný.

Vektorové svazky na str-adické křivky

Série společných prací s Annette Wernerovou zkoumá vektorové svazky na str-adické křivky. Klasickým výsledkem motivujícím tuto studii je Věta Narasimhan – Seshadri, základní kámen Simpsonova korespondence. Tvrdí, že vektorový svazek na kompaktu Riemannův povrch X je stabilní pokud vyplývá z a jednotkové zastoupení z základní skupina π1(X).

v Deninger & Werner (2005) založil a str-adic jeho analog: pro hladký projektiv algebraická křivka přes Cstr, získané změnou základny z , zkonstruovali akci etální základní skupina π1(X) na vláknech na určitých vektorových svazcích, včetně svazků stupně 0 a majících potenciálně silně semistabilní redukci. V jiném příspěvku z 2005, vztahovali výsledné reprezentace základní skupiny křivky X se zastoupením Tate modul z Jacobian odrůda z X. v 2007 a 2010 pokračovali v této práci tím, že ukázali, že takové vektorové svazky tvoří a Tannakianská kategorie což znamená identifikaci této třídy vektorových svazků jako kategorie reprezentací určité skupiny.

Foliations a skupina Heisenberg

V několika společných dokumentech studovali Deninger a Wilhelm Singhof kvocienty n-dimenzionální Skupina Heisenberg H podle standardu mříž skládající se z celočíselných matic,

X = H / Γ,

z různých úhlů pohledu. v 1984, vypočítali e-invariant z X ve smyslu ζ (-n), což vede ke konstrukci prvků v stabilní homotopické skupiny koulí libovolně velké objednávky. v 1988, použili metody analytická teorie čísel poskytnout odhady o rozměru kohomologie z nilpotentní Lie algebry.

Klasický fakt z Hodgeova teorie že kterákoli třída kohomologie na Kählerově potrubí připouští jedinečnost harmonický byl zobecněn uživatelem Álvarez López a Kordyukov (2001) Riemannovi foliace. Deninger & Singhof (2001) ukazují, že foliace na výše uvedeném prostoru X, které splňují jen o něco slabší podmínky, nepřijímají takové Hodgeovy teoretické vlastnosti. V jiném společném příspěvku od 2001, založili dynamický Lefschetzův vzorec trasování: souvisí se stopou operátora na harmonických formách s lokálními stopami objevujícími se na uzavřených drahách (na určitých foliovaných prostorech R-akce). Tento výsledek slouží jako potvrzení výše uvedeného Deningerova programu v tom smyslu, že ověřuje předpověď tohoto programu na analytické straně, tj. Předpověď týkající se dynamiky ve foliovaných prostorech.

Entropy a Mahlerovy míry

Vesmírem se točí další skupina Deningerových novin

kde Γ je diskrétní skupina, F je jeho součástí skupinové vyzvánění ZΓ a klobouk označuje Pontryagin dual. Pro Γ = Zn a , Lind, Schmidt & Ward (1990) ukázal, že entropie Γ-akce na XF je dán Mahlerovo opatření

Kromě toho bylo známo, že o Mahlerových mírách určitých polynomů bylo známo, že jsou vyjádřitelné, pokud jde o speciální hodnoty určitých L-funkcí. v 1997, Deninger poznamenal, že integrand v definici Mahlerovy míry má přirozené vysvětlení, pokud jde o delignovskou kohomologii. Na základě známých případů Beilinsonova domněnky to odvodil m(F) je obraz symbolu {F, t1, ..., tn} pod Beilinsonovým regulátorem, kde je odrůda doplňkem v n-dimenzionální torus nulové sady F. To vedlo ke koncepčnímu vysvětlení výše uvedených vzorců pro Mahlerova opatření. Besser & Deninger (1999) a Deninger později v 2009 přenesl tyto myšlenky do str-adický svět, nahrazením Beilinsonovy regulační mapy za Deligneovu kohomologii regulační mapou do syntomická kohomologie a logaritmus objevující se v definici entropie pomocí a str-adický logaritmus.

v 2006 a 2007, Deninger a Klaus Schmidt posunul paralelu mezi entropií a Mahlerovými opatřeními mimo abelianské skupiny, konkrétně zbytkově konečné, spočetné diskrétní přístupné skupiny Γ. Ukázali, že Γ-akce na XF je expanzivní kdyby a jen kdyby F je invertibilní v L1-konvoluční algebra z Γ. Logaritmus navíc Fuglede-Kadisonův determinant na von Neumannova algebra NΓ spojené s Γ (který nahrazuje Mahlerovu míru pro Zn) souhlasí s entropie výše uvedené akce.

Wittovy vektory

Joachim Cuntz a Deninger společně pracovali Wittovy vektory. Ve dvou dokumentech z roku 2014 zjednodušili teorii prezentací prstence Wittových vektorů, pokud jde o dokončení monoidní algebra ZR. Tento přístup se vyhýbá univerzálním polynomům používaným v klasické definici přidání Wittových vektorů.

Vybraná bibliografie

Artin – Verdierova dualita

  • Deninger, Christopher (1984), „O Artin-Verdierově dualitě pro funkční pole“, Mathematische Zeitschrift, 188 (1): 91–100, doi:10.1007 / BF01163876, PAN  0767366
  • - (1986), „Rozšíření duality Artin – Verdier na snopy“ J. Reine Angew. Matematika., 1986 (366): 18–31, doi:10.1515 / crll.1986.366.18, PAN  0833011CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • -; Wingberg, Kay (1986), „Artin – Verdier dualita pro n-dimenzionální místní pole zahrnující vyšší algebraiku K.-sheaves ", Journal of Pure and Applied Algebra, 43 (3): 243–255, doi:10.1016/0022-4049(86)90066-6, PAN  0868985CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1987), „Dualita v etalistické kohomologii jednorozměrných správných schémat a zobecnění“, Mathematische Annalen, 277 (3): 529–541, doi:10.1007 / BF01458330, PAN  0891590CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)

L-funkce a Beilinsonova domněnka

  • -; Wingberg, Kay (1988), „O Beilinsonových domněnkách pro eliptické křivky se složitým násobením“, Beilinsonovy domněnky o zvláštních hodnotách L-funkce, Perspect. Matematika., 4, Boston, MA: Academic Press, PAN  0944996CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1989), „Vyšší regulační orgány a Hecke L- série imaginárních kvadratických polí. Já ", Inventiones Mathematicae, 96 (1): 1–69, Bibcode:1989InMat..96 .... 1D, doi:10.1007 / BF01393970, PAN  0981737CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1990), „Vyšší regulační orgány a Hecke L- série imaginárních kvadratických polí. II ", Annals of Mathematics, Druhá série, 132 (1): 131–158, doi:10.2307/1971502, JSTOR  1971502, PAN  1059937CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • -; Scholl, Anthony J. (1991), „Beĭlinsonovy domněnky“, L-funkce a aritmetika (Durham, 1989), London Math. Soc. Přednáška Ser., 153, Cambridge Univ. Press, str. 173–209, doi:10.1017 / CBO9780511526053.007, ISBN  9780521386197, PAN  1110393CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1991), „O factors-faktorech spojených s motivy“, Inventiones Mathematicae, 104 (2): 245–261, doi:10.1007 / BF01245075, PAN  1098609CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1992), „Místní L-faktory motivů a legalizovaných determinantů ", Inventiones Mathematicae, 107 (1): 135–150, Bibcode:1992InMat.107..135D, doi:10.1007 / BF01231885, PAN  1135468CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • — (1993), „Lefschetzovy stopové vzorce a explicitní vzorce v teorii analytických čísel“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1993 (441): 1–15, doi:10.1515 / crll.1993.441.1, Zbl  0782.11034CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1994a), „Motivační faktory ε v nekonečnu a regularizovaných dimenzích“, Indag. Matematika. (N.S.), 5 (4): 403–409, doi:10.1016/0019-3577(94)90015-9, PAN  1307961CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1994b), „Motivic L-funkce a legalizované determinanty ", Motivy (Seattle, WA, 1991), Proc. Symposy. Čistá matematika., 55„Providence, RI: Amer. Matematika. Soc., PAN  1265547CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1994c), „Důkazy pro kohomologický přístup k teorii analytických čísel“, První evropský kongres matematiky, sv. I (Paříž, 1992), Progr. Matematika., 119, Birkhäuser, Basilej, str. 491–510, PAN  1341834CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • -; Nart, Enric (1995), „On Ext2 motivů nad aritmetickými křivkami ", Amer. J. Math., 117 (3): 601–625, doi:10.2307/2375082, JSTOR  2375082, PAN  1333938CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1995), "Operace vyšších řádů v delignecké kohomologii", Vymyslet. Matematika., 120 (2): 289–315, Bibcode:1995InMat.120..289D, doi:10.1007 / BF01241130, PAN  1329043CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (1998), „Některé analogie mezi teorií čísel a dynamickými systémy ve foliovaných prostorech“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlín, 1998)„Documenta Mathematica (Extra sv. I), s. 163–186, PAN  1648030CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (2002), „O povaze„ explicitních vzorců “v analytické teorii čísel - jednoduchý příklad“, Metody číselné teorie (Iizuka, 2001), Dev. Matematika., 8, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., S. 97–118, arXiv:matematika / 0204194, doi:10.1007/978-1-4757-3675-5_7, ISBN  978-1-4419-5239-4, PAN  1974137CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • - (2010), „The Hilbert-Polya strategy and height pairings“, Casimirova síla, Casimirovy operátory a Riemannova hypotéza, Walter de Gruyter, Berlín, str. 275–283, PAN  2777722CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)

str-adické vektorové svazky

Heisenbergova skupina, Lieovy algebry a foliace

  • -; Singhof, Wilhelm (1984), „The E-invariant a spektrum Laplacian pro kompaktní nilmanifolds pokryté Heisenbergovými skupinami ", Inventiones Mathematicae, 78 (1): 101–112, Bibcode:1984InMat..78..101D, doi:10.1007 / BF01388716, PAN  0762355CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • -; Singhof, Wilhelm (1988), „O kohomologii nilpotentních Lieových algeber“, Býk. Soc. Matematika. Francie, 116 (1): 3–14, doi:10,24033 / bsmf.2087, PAN  0946276CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • -; Singhof, Wilhelm (2001), „Protiklad k vyhlazení Hodgeova rozkladu po listech pro obecné foliace a pro typ dynamických stopových vzorců“, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 51 (1): 209–219, doi:10,5802 / aif.1821, PAN  1821074CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
  • -; Singhof, Wilhelm (2001b), „Poznámka k dynamickým stopovým vzorcům“, Dynamické, spektrální a aritmetické funkce zeta (San Antonio, TX, 1999), Contemp. Matematika., 290, AMS, s. 41–55, doi:10.1090 / conm / 290/04572, PAN  1868467CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)

Entropie

  • -; Schmidt, Klaus (2007), „Expanzivní algebraické akce diskrétních reziduálně konečných přístupných skupin a jejich entropie“, Ergodická teorie a dynamické systémy, 27 (3): 769–786, arXiv:matematika / 0605723, doi:10.1017 / S0143385706000939, PAN  2322178CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)

Wittovy vektory

Reference

  1. ^ Christopher Deninger na Matematický genealogický projekt
  2. ^ Deninger, Christopher (1998). „Některé analogie mezi teorií čísel a dynamickými systémy ve foliovaných prostorech“. Doc. Matematika. (Bielefeld) Extra sv. ICM Berlin, 1998, roč. Já. str. 163–186.
  3. ^ Seznam členů Americké matematické společnosti, vyvoláno 2012-11-10.

externí odkazy