Existence Yang – Mills a hromadná propast - Yang–Mills existence and mass gap

v matematická fyzika, Existence Yang – Mills a problém hromadné propasti je nevyřešený problém a jeden ze sedmi Problémy s cenou tisíciletí definováno Hliněný matematický institut, která za své řešení nabídla cenu 1 000 000 USD.

Problém je formulován takto:^[1]

Yang – Mills Existence and Mass Gap. Dokažte, že pro každou kompaktní jednoduchou měřicí skupinu G existuje netriviální kvantová teorie Yang – Mills ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ a má hmotnostní mezeru Δ> 0. Existence zahrnuje stanovení axiomatických vlastností alespoň tak silných, jako jsou citované v Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) a Osterwalder & Schrader (1975).

V tomto prohlášení a Teorie Yang – Mills je neabelský kvantová teorie pole podobný tomu, který je základem Standardní model z částicová fyzika; ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ je Euklidovský 4prostor; the hromadná propast Δ je hmotnost nejméně hmotné částice předpovězená teorií.

Vítěz proto musí prokázat, že:

• Teorie Yang – Mills existuje a splňuje standard přísnosti, který charakterizuje současnost matematická fyzika, zejména konstruktivní kvantová teorie pole,^[2][3] a
• Teorie předpovězená hmotou nejméně hmotné částice silového pole je přísně pozitivní.

Například v případě G = SU (3) - silná jaderná interakce - to musí vítěz dokázat lepicí koule mají nižší vázanou hmotnost, a proto nemohou být libovolně lehké.

Ukázalo se, že problém teoretického stanovení přítomnosti nebo nepřítomnosti mezery ve spektru je obecně algoritmicky neřešitelný.^[4]

Pozadí

[...] ještě nemáme matematicky úplný příklad a teorie kvantového měřidla ve čtyřrozměrném vesmírný čas, ani přesná definice teorie kvantového měřidla ve čtyřech rozměrech. Změní se to v 21. století? V to doufáme!

— Z oficiálního popisu problému Clay Institute od Arthur Jaffe a Edward Witten.

Problém vyžaduje konstrukci QFT splňující Wightmanovy axiomy a ukazující existenci hromadné mezery. Obě tato témata jsou popsána v následujících částech.

Wightmanovy axiomy

Problém tisíciletí vyžaduje, aby navrhovaná teorie Yang-Mills uspokojila Wightmanovy axiomy nebo podobně přísné axiomy.^[1] Existují čtyři axiomy:

W0 (předpoklady relativistické kvantové mechaniky)

Kvantová mechanika je popsán podle von Neumann; zejména čisté stavy jsou dány paprsky, tj. jednorozměrnými podprostory, některých oddělitelný komplex Hilbertův prostor.

Wightmanovy axiomy vyžadují, aby Poincaré skupina činy jednotně v Hilbertově prostoru. Jinými slovy, mají volané operátory závislé na poloze kvantová pole které tvoří kovariant reprezentace skupiny Poincaré.

Skupina časoprostorových překladů je komutativní a operátoři tak mohou být současně diagonalizováni. Generátoři těchto skupin nám dávají čtyři operátoři s vlastním nastavením, ${ displaystyle P_ {0}, P_ {j}}$, j = 1, 2, 3, které se pod homogenní skupinou transformují jako čtyři vektory, se nazývají čtyři vektory energie-hybnosti.

Druhá část nulového axiomu Wightmana spočívá v reprezentaci U(A, A) splňuje spektrální podmínku - že simultánní spektrum energetické hybnosti je obsaženo v předním kuželu:

${ displaystyle P_ {0} geq 0, tečky, P_ {0} ^ {2} -P_ {j} P_ {j} geq 0.}$

Třetí část axiomu spočívá v tom, že v Hilbertově prostoru existuje jedinečný stav, představovaný paprskem, který je invariantní působením skupiny Poincaré. Říká se tomu vakuum.

W1 (předpoklady o doméně a kontinuitě pole)

Pro každou testovací funkci F, existuje sada operátorů ${ displaystyle A_ {1} (f), ldots, A_ {n} (f)}$ které jsou spolu s jejich sousedstvími definovány na husté podmnožině Hilbertova stavového prostoru obsahující vakuum. Pole A jsou oceněny operátorem temperované distribuce. Stav Hilberta je rozložen polními polynomy působícími na vakuum (podmínka cyklickosti).

W2 (zákon transformace pole)

Pole jsou kovariantní při akci Poincaré skupina, a transformují se podle nějaké reprezentace S z Skupina Lorentz, nebo SL (2,C) pokud spin není celé číslo:

${ displaystyle U (a, L) ^ { dagger} A (x) U (a, L) = S (L) A (L ^ {- 1} (x-a)).}$

W3 (lokální komutativita nebo mikroskopická kauzalita)

Pokud jsou podpory dvou polí vesmírný oddělená, pak pole buď dojíždějí, nebo dojíždějí.

Cyklickost vakua a jedinečnost vakua jsou někdy zvažovány samostatně. Existuje také vlastnost asymptotické úplnosti - že Hilbertův stavový prostor je překlenut asymptotickými prostory ${ displaystyle H ^ {in}}$ a ${ displaystyle H ^ {out}}$, objevující se při srážce S matice. Další důležitou vlastností teorie pole je hromadná propast což axiomy nevyžadují - spektrum energie a hybnosti má mezeru mezi nulou a kladným číslem.

Masová propast

v kvantová teorie pole, hromadná propast je rozdíl v energii mezi vakuem a nejbližší nejnižší energetický stav. Energie vakua je z definice nulová a za předpokladu, že všechny energetické stavy lze považovat za částice v rovinných vlnách, je hmotnostní mezera hmotou nejlehčí částice.

Pro dané skutečné pole ${ displaystyle phi (x)}$, můžeme říci, že teorie má hromadnou propast, pokud dvoubodová funkce má majetek

${ Displaystyle langle phi (0, t) phi (0,0) rangle sim sum _ {n} A_ {n} exp left (- Delta _ {n} t right)}$

s ${ displaystyle Delta _ {0}> 0}$ což je nejnižší energetická hodnota ve spektru hamiltoniánu a tím i mezera hmoty. Toto množství, které lze snadno zobecnit na jiná pole, je to, co se obecně měří v mřížkových výpočtech. Tímto způsobem se prokázalo, že Teorie Yang – Mills vyvine hromadnou mezeru na mřížce.^[5][6]

Důležitost teorie Yang – Mills

Nejznámější a netriviální (tj. Interakční) kvantové teorie pole ve 4 rozměrech jsou efektivní teorie pole s odříznout měřítko. Protože beta funkce je pro většinu modelů pozitivní, zdá se, že většina takových modelů má a Landauův pól protože není vůbec jasné, zda mají netriviální UV pevné body. To znamená, že pokud takový QFT je dobře definován na všech stupnicích, protože musí být splněn axiomy axiomatická kvantová teorie pole, muselo by to být triviální (tj teorie volného pole ).

Kvantová teorie Yang-Mills s neabelský měřicí skupina a žádné kvarky nejsou výjimkou, protože asymptotická svoboda charakterizuje tuto teorii, což znamená, že má triviální UV pevný bod. Jedná se tedy o nejjednodušší netriviální konstruktivní QFT ve 4 rozměrech. (QCD je složitější teorie, protože zahrnuje kvarky.)

Uzavření kvarku

Na úrovni přísnosti teoretická fyzika, bylo dobře prokázáno, že kvantová teorie Yang – Mills pro neabeliana Lež skupina vykazuje vlastnost známou jako vězení; ačkoli správné matematická fyzika má náročnější požadavky na důkaz. Důsledkem této vlastnosti je to, že nad porodní stupnice, barevné náboje jsou propojeny pomocí trubice chromodynamického toku což vede k lineárnímu potenciálu mezi náboji. Proto zdarma barevný poplatek a zdarma gluony nemůže existovat. Při absenci vězení bychom očekávali, že uvidíme bezhmotné gluony, ale protože jsou omezeny, viděli bychom jen barevně neutrální vázané stavy gluonů, tzv. lepicí koule. Pokud lepicí koule existují, jsou masivní, a proto se očekává hromadná propast.

Reference

Další čtení

• Streater, R .; Wightman, A. (1964). PCT, Spin a Statistics a tak dále. W. A. ​​Benjamin.
• Osterwalder, K .; Schrader, R. (1973). "Axiomy pro funkce Euklidea Greena". Komunikace v matematické fyzice. 31 (2): 83–112. Bibcode:1973CMaPh..31 ... 83O. doi:10.1007 / BF01645738.
• Osterwalder, K .; Schrader, R. (1975). "Axiomy pro funkce euklidovské zeleně II". Komunikace v matematické fyzice. 42 (3): 281–305. Bibcode:1975CMaPh..42..281O. doi:10.1007 / BF01608978.
• Bogoliubov, N .; Logunov, A .; Oksak; Todorov, I. (1990). Obecné principy teorie kvantového pole. Kluver.
• Strocchi, F. (1994). Vybraná témata obecných vlastností kvantové teorie pole FF. World Scientific.
• Dynin, A. (2014). „Kvantová dynamika Yang-Mills-Weyl v Schroedingerově paradigmatu“. Ruský žurnál matematické fyziky. 21 (2): 169–188. Bibcode:2014RJMP ... 21..169D. doi:10.1134 / S1061920814020046.
• Dynin, A. (2014). „K problému hromadných rozdílů v Yang-Mills“. Ruský žurnál matematické fyziky. 21 (3): 326–328. Bibcode:2014RJMP ... 21..326D. doi:10.1134 / S1061920814030042.
• Bushhorn, G .; Wess, J. (2004). Heisenbergovo sté výroční sympozium „Vývoj v moderní fyzice“. Springer.

externí odkazy

• Problémy s cenou tisíciletí: Yang – Mills a Mass Gap