Siegel nula - Siegel zero

v matematika, konkrétněji v oblasti analytická teorie čísel, a Siegel nula, pojmenoval podle Carl Ludwig Siegel, je druh potenciálu protiklad do zobecněná Riemannova hypotéza, na nule Dirichletova funkce L..

Definice

Existují hypotetické hodnoty s a komplexní proměnná, velmi blízko (v kvantifikovatelném smyslu) k 1, takže

L(s, χ) = 0

pro Dirichletova postava χ modulu q říci.

Okamžitý důsledek

Možnost Siegelovy nuly z analytického hlediska vede k neúčinnosti odhad

L(1, χ)> C(ε)q^−ε

kde C je funkce ε, pro kterou důkaz neposkytuje žádné výslovné vyjádření dolní mez (vidět efektivní výsledky v teorii čísel ).

Dějiny

Důležité výsledky pro tento typ nuly an Funkce L. byly získány ve 30. letech 20. století Carl Ludwig Siegel, od koho berou své jméno (nebyl první, kdo je považoval, a někdy se jim říká Nuly Landau – Siegel ocenit také práci Edmund Landau ).^[1]

Důležitost

Důležitost možných nul Siegel je vidět ve všech známých výsledcích v oblastech bez funkcí nuly L-funkcí: vykazují jakési „odsazení“ blízko s = 1, zatímco jinak se obecně podobá tomu pro Funkce Riemann zeta - to znamená, že jsou nalevo od řádku Re(s) = 1 a asymptotické. Kvůli vzorec čísla analytické třídy, údaje o nule Siegel mají přímý dopad na problém s číslem třídy, dávat dolní meze pro čísla tříd. Tato otázka sahá až k C. F. Gauss. Siegel ukázal, že takové nuly jsou určitého typu (totiž že se mohou vyskytovat pouze pro χ a nemovitý znak, který musí být a Jacobi symbol ); a to pro každý modul q může být maximálně jeden takový.^[2] To bylo argumentem „zkroucení“, implicitně o funkci L funkce dvojkvadratická pole. To v jistém smyslu izolovalo Siegelovou nulu jako speciální případ GRH (což by dokázalo, že neexistovala). V následném vývoji však podrobné informace o nule Siegel neprokázaly, že je to nemožné. Práce na problému s číslem třídy místo toho postupovala metodami od Kurt Heegner práce od teorie transcendentních čísel, a pak Dorian Goldfeld práce spojená s Gross-Zagierova věta na Heegner body.

Viz také

Fenomén Deuring – Heilbronn

Reference

^ Táfula, Christian (2019). "Na nulách a výškách singulárních modulů Landau-Siegel". arXiv:1911.07215 [math.NT ]. (Viz strany 12–13.)
^ Broughan, Kevin (2. listopadu 2017). Ekvivalenty Riemannovy hypotézy: Svazek 2, Analytické ekvivalenty. Cambridge University Press. p. 291. ISBN 978-1-108-18702-2.

Siegel, Carl Ludwig (1935). „Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper“ [O číslech tříd kvadratických polí]. Acta Arithmetica (v němčině). 1 (1): 83–86. doi:10,4064 / aa-1-1-83-86.

[1] Táfula, Christian (2019). "Na nulách a výškách singulárních modulů Landau-Siegel". arXiv:1911.07215 [math.NT ]. (Viz strany 12–13.)

[Broughan2017-2] Broughan, Kevin (2. listopadu 2017). Ekvivalenty Riemannovy hypotézy: Svazek 2, Analytické ekvivalenty. Cambridge University Press. p. 291. ISBN 978-1-108-18702-2.

[1]

[2]